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文檔簡介
2025屆云南省玉第一中高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標(biāo)原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.2.已知集合,集合,則A. B.或C. D.3.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若曲線在點處的切線方程為,則實數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.25.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于6.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內(nèi),點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心7.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設(shè)送報人到達(dá)的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.10.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為則()A. B. C. D.11.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點,則該點取自水下的概率為()A. B. C. D.12.已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項為______.14.已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項公式________.15.函數(shù)的值域為_________.16.已知實數(shù)、滿足,且可行域表示的區(qū)域為三角形,則實數(shù)的取值范圍為______,若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1,則實數(shù)等于______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點,的頂點也在曲線上運動,求面積的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點為極點、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.20.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.21.(12分)已知橢圓的右焦點為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點的連線相互垂直.(1)求橢圓的方程;(2)若圓上存在兩點,,橢圓上存在兩個點滿足:三點共線,三點共線,且,求四邊形面積的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若在上是減函數(shù),求實數(shù)的最大值;(2)若,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標(biāo),然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.2、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.3、A【解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù).4、B【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.5、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.6、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.7、A【解析】
對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.8、B【解析】
化簡復(fù)數(shù)為的形式,然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限,即可求得答案.【詳解】對應(yīng)的點的坐標(biāo)為在第二象限故選:B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.10、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點,則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由二項式系數(shù)性質(zhì)求出,由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù),從而得常數(shù)項.【詳解】由題意,.展開式通項為,由得,∴常數(shù)項為.故答案為:.【點睛】本題考查二項式定理,考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項展開式通項公式是解題關(guān)鍵.14、【解析】
由可得,利用等比數(shù)列的通項公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項公式,屬于中檔題.15、【解析】
利用換元法,得到,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到函數(shù)的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在為增函數(shù),在為減函數(shù),又,,,故函數(shù)的值域為:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與預(yù)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最小值,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖,則要為三角形需滿足在直線下方,即,;目標(biāo)函數(shù)可視為,則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),該直線截距最大在過點時,此時,直線:,與:的交點為,該點也在直線:上,故,故答案為:;.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)求解出導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可;(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點,判斷出的單調(diào)性,從而可確定,利用以及的單調(diào)性,可確定出之間的關(guān)系,從而的值可求.【詳解】(1)證明:∵,∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,,則在上單調(diào)遞減,,故.令,則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.∴.由(*)式得.∴,顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù),方程有且僅有唯一的解,把代入(*)式,得,∴,即所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù),難度較難.(1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)時,可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點的存在性定理進(jìn)行判斷;(2)函數(shù)的“隱零點”問題,可通過“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.18、(1):,:;(2)【解析】
(1)由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由即可得的底,由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值,即可得解.【詳解】(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為,由得,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線即,圓心到直線的距離,所以,又點到直線的距離的最大值為,所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)利用消參法以及點求解出的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程;(2)將的坐標(biāo)設(shè)為,利用點到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時對應(yīng)的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標(biāo)方程為(2)的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當(dāng),時取得最小值即,∴【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù),難度一般.(1)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式:;(2)求解曲線上一點到直線的距離的最值,可優(yōu)先考慮將點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式,然后再去求解.20、(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析.【解析】
(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時的邊際成本.(2)將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得不等式成立.(3)利用(2)的結(jié)論,判斷出,由此結(jié)合對數(shù)運算,證得.【詳解】(1)因為所以當(dāng)時,(2)要證,只需證,即證,設(shè)則所以在上單調(diào)遞減,所以所以,即;(3)因為又由(2)知,當(dāng)時,所以所以所以【點睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查放縮法證明數(shù)列不等式,屬于難題.21、(1);(2)【解析】
(1)又題意知,,及即可求得,從而得橢圓方程.(2)分三種情況:直線斜率不存在時,的斜率為0時,的斜率存在且不為0時,設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,用韋達(dá)定理和弦長
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