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文檔簡介
湖南省茶陵縣三中2025屆高考仿真模擬數學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.國家統計局服務業(yè)調查中心和中國物流與采購聯合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經理指數(PMI)如下圖所示.則下列結論中錯誤的是()A.12個月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個月的PMI值的平均值低于50%C.12個月的PMI值的眾數為49.4%D.12個月的PMI值的中位數為50.3%2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標為(c,0),點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點,O為坐標原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.2333.若為純虛數,則z=()A. B.6i C. D.204.設i是虛數單位,若復數是純虛數,則a的值為()A. B.3 C.1 D.5.在中,,,,點滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.76.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點在線段上,以為直徑的圓過點.若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.8.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.10.已知復數在復平面內對應的點的坐標為,則下列結論正確的是()A. B.復數的共軛復數是C. D.11.已知函數在上單調遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.12.一物體作變速直線運動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運動路程為()m.A.1 B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.14.已知為偶函數,當時,,則__________.15.已知等比數列的各項都是正數,且成等差數列,則=__________.16.不等式的解集為________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)設點,直線與曲線交于,兩點,求的值.18.(12分)已知數列{an}的各項均為正,Sn為數列{an}的前n項和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn,求數列{bn}的前n項和.19.(12分)(選修4-4:坐標系與參數方程)在平面直角坐標系,已知曲線(為參數),在以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)過點且與直線平行的直線交于,兩點,求點到,的距離之積.20.(12分)已知函數.(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設函數的極值點為,當變化時,點構成曲線,證明:過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.21.(12分)已知函數f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數x的取值范圍.22.(10分)如圖,在平面直角坐標系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標是.(1)求的值:(2)若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計、眾數、中位數,從而得到答案.【詳解】對A,從圖中數據變化看,PMI值不低于50%的月份有4個,所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對C,12個月的PMI值的眾數為49.4%,故C正確,;對D,12個月的PMI值的中位數為49.6%,故D錯誤故選:D.【點睛】本題考查頻率、平均值的估計、眾數、中位數計算,考查數據處理能力,屬于基礎題.2、C【解析】
計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.3、C【解析】
根據復數的乘法運算以及純虛數的概念,可得結果.【詳解】∵為純虛數,∴且得,此時故選:C.【點睛】本題考查復數的概念與運算,屬基礎題.4、D【解析】
整理復數為的形式,由復數為純虛數可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數,所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復數的類型求參數范圍,考查復數的除法運算.5、D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數量積.【詳解】在中,,,,點滿足,可得則==【點睛】本題考查了向量的數量積運算,關鍵是利用基向量表示所求向量.6、C【解析】
根據線面垂直的性質以及線面垂直的判定,根據勾股定理,得到之間的等量關系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設,,則.因為平面,平面,所以.又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡得.在中,,.所以.因為,當且僅當,時等號成立,所以.故選:C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用,考查空間想象能力以及數形結合思想,涉及線面垂直的判定和性質,屬中檔題.7、D【解析】
結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.8、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質,直線與圓相切的性質,離心率的求法,屬于中檔題.9、D【解析】
設圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.10、D【解析】
首先求得,然后根據復數乘法運算、共軛復數、復數的模、復數除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數,則,所以A選項不正確;復數的共軛復數是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復數的幾何意義,共軛復數,復數的模,復數的乘法和除法運算等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數形結合思想.11、B【解析】
由,可得,結合在上單調遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數的單調性的應用,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.12、C【解析】
由圖像用分段函數表示,該物體在間的運動路程可用定積分表示,計算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運動的路程公式,可得.所以物體在間的運動路程是.故選:C【點睛】本題考查了定積分的實際應用,考查了學生轉化劃歸,數形結合,數學運算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.14、【解析】
由偶函數的性質直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數的奇偶性,對數函數的運算,考查運算求解能力15、【解析】
根據等差中項性質,結合等比數列通項公式即可求得公比;代入表達式,結合對數式的化簡即可求解.【詳解】等比數列的各項都是正數,且成等差數列,則,由等比數列通項公式可知,所以,解得或(舍),所以由對數式運算性質可得,故答案為:.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的簡單應用,等比數列通項公式的用法,對數式的化簡運算,屬于中檔題.16、【解析】
通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得,解得,所以解集是?!军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)利用參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可;(2)將直線參數方程代入圓的普通方程,可得,,而根據直線參數方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】(1)直線的參數方程為(為參數),消去;得曲線的極坐標方程為.由,,,可得,即曲線的直角坐標方程為;(2)將直線的參數方程(為參數)代入的方程,可得,,設,是點對應的參數值,,,則.【點睛】本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化,直線參數方程的幾何意義,是一道容易題.18、(1)an=2n+1;(2)2.【解析】
(1)根據題意求出首項,再由(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,求得該數列為等差數列即可求得通項公式;(2)利用錯位相減法進行數列求和.【詳解】(1)∵an2+2an=4Sn+1,∴a12+2a1=4S1+1,即,解得:a1=1或a1=﹣1(舍),又∵an+12+2an+1=4Sn+1+1,∴(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,整理得:(an+1﹣an)(an+1+an)=2(an+1+an),又∵數列{an}的各項均為正,∴an+1﹣an=2,∴數列{an}是首項為1、公差為2的等差數列,∴數列{an}的通項公式an=1+2(n﹣1)=2n+1;(2)由(1)可知bn,記數列{bn}的前n項和為Tn,則Tn=1?5?(2n+1)?,Tn=1?5??…+(2n﹣1)?(2n+1)?,錯位相減得:Tn=1+2(?)﹣(2n+1)?=1+2,∴Tn()=2.【點睛】此題考查求等差數列的基本量,根據遞推關系判定等差數列,根據錯位相減進行數列求和,關鍵在于熟記方法準確計算.19、(1)曲線:,直線的直角坐標方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據三角函數平方關系消參數得曲線化為普通方程,再根據將直線的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)根據題意設直線參數方程,代入C方程,利用參數幾何意義以及韋達定理得點到,的距離之積試題解析:(1)曲線化為普通方程為:,由,得,所以直線的直角坐標方程為.(2)直線的參數方程為(為參數),代入化簡得:,設兩點所對應的參數分別為,則,.20、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)由恒成立,可得恒成立,進而構造函數,求導可判斷出的單調性,進而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,則,,進而可得,即曲線的方程為,進而只需證明對任意,方程有唯一解,然后構造函數,分、和三種情況,分別證明函數在上有唯一的零點,即可證明結論成立.【詳解】(1)由題意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,則.令,則,,,在上單調遞增,又,時,;時,,即時,;時,,時,單調遞減;時,單調遞增,時,取最小值,.(2)證明:由,令,由,結合二次函數性質可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的極值點,則,,,曲線的方程為.故只需證明對任意,方程有唯一解.令,則,①當時,恒成立,在上單調遞增.,,,存在滿足時,使得.又單調遞增,所以為唯一解.②當時,二次函數,滿足,則恒成立,在上單調遞增.,,存在使得,又在上單調遞增,為唯一解.③當時,二次函數,滿足,此時有兩個不同的解,不妨設,,,列表如下:00↗極大值↘極小值↗由表可知,當時,的極大值為.,,,,,..下面來證明,構造函數,則,當時,,此時單調遞增,,時,,,故成立.,存在,使得.又在單調遞增,為唯一解.所以,對任意,方程有唯一解,即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性的應用,考查不等式恒成立問題,考查利用單調性研究圖象交點問題,考查學生的計算求解能力與推理論證能力,屬于難題.21、≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,當且僅當(a+b)·(a-b)≥0時取等號,∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x-1|+|
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