湖南省常德市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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湖南省常德市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.2.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)3.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.4.正項(xiàng)等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點(diǎn),則()A. B.1 C. D.25.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%6.是正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),為棱中點(diǎn),記與平面成角為定值,若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線,則()A. B. C. D.7.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.58.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④9.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.10.設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.11.設(shè)點(diǎn),,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件12.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過(guò)點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長(zhǎng)是______.14.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.15.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________(用具體數(shù)據(jù)作答).16.的展開(kāi)式中含的系數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字填寫答案)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(),將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線.(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.18.(12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且.求直線的方程.20.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的面積.21.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),若,求直線l的斜率k.22.(10分)已知矩陣,,若矩陣,求矩陣的逆矩陣.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個(gè)零點(diǎn),即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出.【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意,排除D;然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.2、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.3、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長(zhǎng)為2,

該幾何體的表面積:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點(diǎn),也就是的兩個(gè)根∴又是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用,屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),求出面的法向量,設(shè)的坐標(biāo),求出向量,求出線面所成角的正弦值,再由角的范圍,結(jié)合為定值,得出為定值,且的軌跡為一段拋物線,所以求出坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而求出正切值.【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為,設(shè)為的中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,以為軸,過(guò)垂直于面的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則可得,,取的三等分點(diǎn)、如圖,則,,,,所以、、、、,由題意設(shè),,和都是等邊三角形,為的中點(diǎn),,,,平面,為平面的一個(gè)法向量,因?yàn)榕c平面所成角為定值,則,由題意可得,因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值,則也為定值,,可得,此時(shí),則,.故選:B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法,及正切值為定值時(shí)的情況,屬于中等題.7、C【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】

因?yàn)?,所以①不正確;因?yàn)?,所以,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)?,所以,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.9、A【解析】

用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn),,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長(zhǎng)是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.14、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,故,故的系數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù),注意利用通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算,本題屬于容易題.16、【解析】由題意得,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)的極坐標(biāo)方程為,普通方程為;(2)【解析】

(1)根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得,,可得曲線的普通方程,再運(yùn)用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為,利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化的公式可得方程;(2)法一:將代入曲線的極坐標(biāo)方程得,運(yùn)用韋達(dá)定理可得,根據(jù),可求得的范圍;法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為直線的傾斜角),代入曲線的普通方程得,運(yùn)用韋達(dá)定理可得,根據(jù),可求得的范圍;【詳解】(1),,即曲線的普通方程為,依題意得曲線的普通方程為,令,得曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)法一:將代入曲線的極坐標(biāo)方程得,則,,,異號(hào),,,;法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為直線的傾斜角),代入曲線的普通方程得,則,,,異號(hào),,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程,極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,求解幾何量的取值范圍,關(guān)鍵在于明確極坐標(biāo)系中極徑和極角的幾何含義,直線的參數(shù)方程,參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.18、(1),;(2).【解析】

(1)令可求得的值,令,由得出,兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式,運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)可得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,得,即,所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,.;(2)由(1)知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,.,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用,注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和法和裂項(xiàng)相消求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)將消去參數(shù)t可得直線的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程.(2)利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線l的方程為:.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化,考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查分析能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)的值為或.(2)【解析】

(1)分類討論,當(dāng)時(shí),線段與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),能取得最小值,利用拋物線的焦半徑公式即可求解;當(dāng)時(shí),線段與拋物線有公共點(diǎn),利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.(2)由題意可得軸且設(shè),則,代入拋物線方程求出,再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題,,若線段與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn),即時(shí),設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)共線時(shí),的最小值為,此時(shí)若線段與拋物線有公共點(diǎn),即時(shí),則三點(diǎn)共線時(shí),的最小值為:,此時(shí)綜上,實(shí)數(shù)的值為或.因?yàn)椋暂S且設(shè),則,代入拋物線的方程解得于是,所以【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式、直線

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