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文檔簡介
2025屆福建省龍巖市上杭二中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)2.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.3.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.4.世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個(gè)正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個(gè)程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.5.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為()A. B. C. D.6.將函數(shù)向左平移個(gè)單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個(gè)根7.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖,為的中點(diǎn),則在原正四面體中,直線與直線所成角的余弦值為()A. B.C. D.8.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.29.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.假設(shè)10公里長跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________.14.若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為1的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是線段上一動點(diǎn),.給出下列四個(gè)結(jié)論:①為的重心;②;③當(dāng)時(shí),平面;④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結(jié)論的序號是________________.15.已知,滿足約束條件,則的最小值為__________.16.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面積.18.(12分)某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結(jié)果.19.(12分)如圖,底面是等腰梯形,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.20.(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.21.(12分)已知,求的最小值.22.(10分)如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,,分別為,的中點(diǎn),為棱上一點(diǎn),若平面.(1)求線段的長;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
首先判斷出為假命題、為真命題,然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷,考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)3、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時(shí),合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.4、C【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和,進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù),則,將向左平移個(gè)單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項(xiàng)中的對稱中心錯(cuò)誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當(dāng)時(shí),,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當(dāng),,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時(shí)僅有一個(gè)解為,所以D錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.7、C【解析】
將正四面體的展開圖還原為空間幾何體,三點(diǎn)重合,記作,取中點(diǎn),連接,即為與直線所成的角,表示出三角形的三條邊長,用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊,可得原正四面體如下圖所示,其中三點(diǎn)重合,記作:則為中點(diǎn),取中點(diǎn),連接,設(shè)正四面體的棱長均為,由中位線定理可得且,所以即為與直線所成的角,,由余弦定理可得,所以直線與直線所成角的余弦值為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角,將展開圖折疊成空間幾何體,余弦定理解三角形的應(yīng)用,屬于中檔題.8、C【解析】
推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.9、B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.14、①②③【解析】
①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點(diǎn),連接,則點(diǎn)在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設(shè),則由可得,然后對應(yīng)邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí),三棱錐的體積最大,而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)到平面的距離最大,此時(shí)為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋B接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設(shè)由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當(dāng)與重合時(shí),最大,為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.15、【解析】
作出約束條件所表示的可行域,利用直線截距的幾何意義,即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點(diǎn)處取最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的最值,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】
(1)利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡,根據(jù)余弦定理求解余弦值;(2)根據(jù)余弦定理求出b=1或b=3,結(jié)合面積公式求解.【詳解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化簡得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2+b2﹣c2ab,∴cosC;(2)把a(bǔ)=3,c,代入3a2+3b2﹣3c2=4ab得:b=1或b=3,∵cosC,C為三角形內(nèi)角,∴sinC,∴S△ABCabsinC3×bb,則△ABC的面積為或.【點(diǎn)睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形,關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進(jìn)行邊角互化,利用余弦定理求解邊長,根據(jù)面積公式求解面積.18、(1),頻率分布直方圖見解析;(2)分布列見解析,;(3)來自的可能性最大.【解析】
(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計(jì)算得到頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的有名,,,,則頻率分布直方圖如下:(2)收入在中贊成人數(shù)為,不贊成人數(shù)為,可能取值為,則;;,的分布列為:.(3)來自的可能性更大.【點(diǎn)睛】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)部分知識的綜合應(yīng)用,涉及到頻數(shù)、頻率的計(jì)算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計(jì)估計(jì)等知識;考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;(2)記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),,所以,因?yàn)?所以,所以四邊形是平行四邊形,因?yàn)?所以平行四邊形是菱形,所以,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面.因?yàn)槠矫?所以平面平面.(2)記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形,且,所以,則,設(shè)平面ABF的法向量為,則,不妨取,則,設(shè)平面DBF的法向
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