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文檔簡介
桂林市重點中學2025屆高三一診考試數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線上一點的縱坐標為4,則點到拋物線焦點的距離為()A.2 B.3 C.4 D.52.若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若曲線在點處的切線方程為,則實數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標為(c,0),點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點,O為坐標原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.2335.在中,“”是“為鈍角三角形”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.87.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.8.在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.在鈍角中,角所對的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.10.已知拋物線:的焦點為,準線為,是上一點,直線與拋物線交于,兩點,若,則為()A. B.40 C.16 D.11.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內(nèi),點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心12.設、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設第一象限內(nèi)的點(x,y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_____.14.已知等差數(shù)列滿足,,則的值為________.15.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為__________.16.的展開式中,常數(shù)項為______;系數(shù)最大的項是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?18.(12分)[選修45:不等式選講]已知都是正實數(shù),且,求證:.19.(12分)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),常數(shù)),曲線的極坐標方程是.(1)寫出的普通方程及的直角坐標方程,并指出是什么曲線;(2)若直線與曲線,均相切且相切于同一點,求直線的極坐標方程.20.(12分)己知圓F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圓F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)證明:圓F1與圓F1有公共點,并求公共點的軌跡E的方程;(1)已知點Q(m,0)(m<0),過點E斜率為k(k≠0)的直線與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點,記直線QM的斜率為k1,直線QN的斜率為k1,是否存在實數(shù)m使得k(k1+k1)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.21.(12分)已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點P在底面上的射影為的中點G,點E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:拋物線焦點在軸上,開口向上,所以焦點坐標為,準線方程為,因為點A的縱坐標為4,所以點A到拋物線準線的距離為,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點:本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離,考查學生的運算求解能力.點評:拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運算.2、B【解析】
利用復數(shù)乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法運算,考查復數(shù)模的計算,屬于基礎題.3、B【解析】
求出函數(shù)的導數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.4、C【解析】
計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.5、C【解析】分析:從兩個方向去判斷,先看能推出三角形的形狀是銳角三角形,而非鈍角三角形,從而得到充分性不成立,再看當三角形是鈍角三角形時,也推不出成立,從而必要性也不滿足,從而選出正確的結果.詳解:由題意可得,在中,因為,所以,因為,所以,,結合三角形內(nèi)角的條件,故A,B同為銳角,因為,所以,即,所以,因此,所以是銳角三角形,不是鈍角三角形,所以充分性不滿足,反之,若是鈍角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以為既不充分也不必要條件,故選D.點睛:該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題,在解題的過程中,需要用到不等式的等價轉化,余弦的和角公式,誘導公式等,需要明確對應此類問題的解題步驟,以及三角形形狀對應的特征.6、B【解析】
利用列舉法,結合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎題.7、B【解析】
推導出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.8、B【解析】
化簡復數(shù)為的形式,然后判斷復數(shù)的對應點所在象限,即可求得答案.【詳解】對應的點的坐標為在第二象限故選:B.【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎題.9、B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因為,所以因為所以,即,,時故選:【點睛】本題考查正弦定理的應用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應用,屬于中檔題.10、D【解析】
如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學生的計算能力和轉化能力.11、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳驗椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應用。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時,目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當且僅當時取等號,則的最小值為.14、11【解析】
由等差數(shù)列的下標和性質(zhì)可得,由即可求出公差,即可求解;【詳解】解:設等差數(shù)列的公差為,,又因為,解得故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應用,屬于基礎題.15、【解析】
將四面體補充為長寬高分別為的長方體,體對角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補體法,由空間點坐標可知,該四面體的四個頂點在一個長方體上,該長方體的長寬高分別為,長方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長方體的體對角線,所以球半徑為,體積為.【點睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補體法,通過補體得到長方體的外接球從而得解,屬于基礎題.16、【解析】
求出二項展開式的通項,令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項;求出項的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為:;.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解,同時也考查了系數(shù)最大項的求解,涉及展開式通項的應用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學語言,為容易題.18、見解析【解析】試題分析:把不等式的左邊寫成形式,利用柯西不等式即證.試題解析:證明:∵,又,∴考點:柯西不等式19、(1),,表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)的直角坐標方程,利用,即得的直角坐標方程;(2)由直線與拋物線相切,求導可得切線斜率,再由直線與圓相切,故切線與圓心與切點連線垂直,可求解得到切點坐標,即得解.【詳解】(1)消去參數(shù)的直角坐標方程為:.的極坐標方程.∵,.當時表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線.(2)設切點為,由于,則切線斜率為,由于直線與圓相切,故切線與圓心與切點連線垂直,故有,直線的直角坐標方程為,所以的極坐標方程為.【點睛】本題考查了極坐標,參數(shù)方程綜合,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.20、(1)見解析,(1)存在,【解析】
(1)求出圓和圓的圓心和半徑,通過圓F1與圓F1有公共點求出的范圍,從而根據(jù)可得點的軌跡,進而求出方程;(1)過點且斜率為的直線方程為,設,,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,根據(jù)韋達定理以及,,可得,根據(jù)其為定值,則有,進而可得結果.【詳解】(1)因為,,所以,因為圓的半徑為,圓的半徑為,又因為,所以,即,所以圓與圓有公共點,設公共點為,因此,所以點的軌跡是以,為焦點的橢圓,所以,,,即軌跡的方程為;(1)過點且斜率為的直線方程為,設,由消去得到,則,,①因為,,所以,將①式代入整理得因為,所以當時,
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