14.1.1 同底數(shù)冪的乘法課件 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

14.1整式的乘法14.1.1同底數(shù)冪的乘法第十四章整式的乘法與因式分解1.乘方的意義？求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。naan=a·a·

…

·an個(gè)a指數(shù)底數(shù)冪2.指出下列各式的底數(shù)與指數(shù)：（1）43

；（2）b

3

；（3）（a+b）2；（4）（-3）3；（5）-331.初探法則：(1)102×103;(2)105×108;(3)10m×10n(m,n都是正整數(shù))問(wèn)題1根據(jù)乘方的意義，嘗試計(jì)算102×103.

102×103＝×（10×10×10）（10×10）5個(gè)10=102+3類似地可以得出：(2)105×108=1013=105+8(3)10m×10n=10m+n問(wèn)題2

乘法算式中兩個(gè)冪因數(shù)有何特點(diǎn)？把底數(shù)換成其他數(shù)試一試：(4)2m×2n=(5)（-3）m×（-3）n=(6)a2×a3

=a

2+3=2m+n（-3）m+na5兩個(gè)冪的底數(shù)相同，稱為同底數(shù)冪。問(wèn)題3

結(jié)果和算式中兩個(gè)冪有什么關(guān)系？底數(shù)和前面相同，指數(shù)則是左邊兩個(gè)指數(shù)的和。請(qǐng)同學(xué)們觀察下面各題左右兩邊，底數(shù)、指數(shù)有什么關(guān)系？

102×103=10（）

105×108=10（）

a2×a3=a（）

=10（）；

=10（）；=a（）.

5

135猜想:am·an=(m，n都是正整數(shù)).

5+8

2+3

2+3am+n猜想:am·an=(m，n都是正整數(shù))

am·

an=m個(gè)an個(gè)a=a·a·…·a=am+n(m+n)個(gè)aam·an=am+n(m，n都是正整數(shù))（a·a·…·a）（a·a·…·a）am+n（乘方的意義）（乘法結(jié)合律）（乘方的意義）×同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.即am·an=am+n(m，n都是正整數(shù))同底數(shù)冪的乘法法則:條件：①乘法②同底數(shù)冪結(jié)果：①底數(shù)不變②指數(shù)相加當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，是否也具有這一性質(zhì)呢？怎樣用公式表示？am·an·ap=（m，n，p都是正整數(shù)）

am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+pam+n+p

=(a·a·

…

·a)(a·a·

…

·a)(a·a·

…

·a)

am·an·apn個(gè)am個(gè)a

p個(gè)a=am+n+p或【例】計(jì)算：（1）105×106；

（2）a·a3；（3）a·a3·a5（4）x·x2+x2·x【解析】（1）105×106=105+6=1011；（2）a·a3=a1+3=a4；（3）a·a3·a5=a1+3+5=a9（4）x·x2+x2·x=x3+x3=2x3注意：計(jì)算結(jié)果可以用冪的形式表示．計(jì)算較簡(jiǎn)單時(shí)也可以計(jì)算出得數(shù)；a是a的一次方，不要漏掉這個(gè)指數(shù)1，x3+x3得2x3，不要忘記合并同類項(xiàng)．1.計(jì)算：（1）107×104.（2）x2·x5.【解析】（1）107×104=107+4=1011.

（2）x2

·x5=x2+5=x7.2.計(jì)算：（1）23×24×25.（2）y·y2·y3.【解析】（1）23×24×25=23+4+5=212.

（2）y·y2·y3=y1+2+3=y6.【跟蹤訓(xùn)練】3.計(jì)算:（1）（-a）2×a4.

（2）（-2）3×22.【解析】（1）原式

=a2×a4=a6.（2）原式

=-23×22=

-25.當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時(shí)，先化為同底數(shù)形式.思考:把化為同底數(shù)冪，應(yīng)該怎樣變形？例計(jì)算：思維拓展解：原式=（x-y）3(x-y)2=(x-y)3+2=(x-y)5(y-x)2=(x-y)2

計(jì)算：(1)(a+b)4·(a+b)7

;(2)(m-n)3·(m-n)5·(m-n)7

;(3)(x－y)2·(y－x)5.解析：當(dāng)兩個(gè)冪的底數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，把多項(xiàng)式看作一個(gè)整體仍可以運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。解：(1)(a+b)4·(a+b)7

=

(a+b)4+7=(a+b)11;

(2)(m-n)3·(m-n)5·(m-n)7

=(m-n)3+5+7=(m-n)15;(3)(x－y)2·(y－x)5=(y－x)2(y－x)5=(y－x)2+5=(y－x)7.跟蹤訓(xùn)練

例

已知=4，=3，求的值。amanam+n解：am+n=4×3=12an?am=am+n=am?an點(diǎn)撥：同底數(shù)冪乘法公式的逆用也很重要.思維拓展同底數(shù)冪的乘法法則am·an=am+n

(m,n都是正整數(shù)）注意同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整數(shù)）直接應(yīng)用法則常見(jiàn)變形：(-a)2=a2,(-a)3=-a3底數(shù)相同時(shí)底數(shù)不相同時(shí)先變成同底數(shù)再應(yīng)用法則1．下列運(yùn)算正確的是()CA．a(chǎn)4·a4＝2a4C．a(chǎn)4·a4＝a8B．a(chǎn)4＋a4＝a8D．a(chǎn)4·a4＝a16B2．計(jì)算－x3·x2的結(jié)果是(

A．x5B．－x5

C．x6

D．－x653．若a7·am＝a2·a10，則m＝__________.)C5.計(jì)算：（1）（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)]7（2）（m-n）3×(m-n)4×(n-m)7原式=（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)7]=-(a+b)13.原式=（m-n）3×(m-n)4×

[-(m-n)7]=-(m-n)14.【解析】當(dāng)?shù)讛?shù)為一個(gè)多項(xiàng)式的時(shí)候，我們可以把這個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體.

【解析】6.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，每個(gè)人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有3.34×1019個(gè)水分子，那么，每個(gè)人每年要用去多少個(gè)水分子？【解析】3.34×1019×106=3.34×1019+6=3.34×1025每個(gè)人每年要用去3.34×1025個(gè)水分子．7.(1)若m，n是正整數(shù)，且2m·2n＝32，求m，n的值；【解析】2m·2n＝32＝25，∴m＋n＝5，又m，n都是正整數(shù)，(2)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求(6－m)2015的值．【解析】m＝7，(6－m)2015＝－1.1.冪的意義:a·a·…·an個(gè)a=an2.同底數(shù)冪乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.am·an=am+n(m，n都是正整數(shù)).3.計(jì)算(1)a3·a4(2)（x+y）2·（x+y）3(3)bn·b3n·b5n

1．理解冪的乘方的意義及運(yùn)算法則．2．讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用法則，熟練進(jìn)行冪的乘方的運(yùn)算．3．經(jīng)過(guò)知識(shí)點(diǎn)的專題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力．1.64表示______個(gè)_______相乘.(62)4表示_______個(gè)_______相乘.a3表示_________個(gè)________相乘.(a2)3表示_______個(gè)________相乘.

（am）n表示______個(gè)_______相乘.464623a3a2nam填一填2.（32）3=

×

×

=

（a2）3=

×

×

=

(am)3=

×

×

=32323236a2a2a2a6amamama3m請(qǐng)你觀察上述結(jié)果的底數(shù)與指數(shù)有何變化?請(qǐng)同學(xué)們猜想并通過(guò)以上方法驗(yàn)證：am·am·am.……·amn個(gè)am=

am+m+……+mn個(gè)m=amn（am）n

=符號(hào)語(yǔ)言：(am)n=amn

(m，n都是正整數(shù)）文字語(yǔ)言：冪的乘方，底數(shù)＿＿，指數(shù)＿＿.不變相乘冪的乘方法則公式中的a可代表一個(gè)數(shù)、字母、式子等.多重乘方可以重復(fù)運(yùn)用上述法則：

（m，n都是正整數(shù)）．

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．

冪的乘方性質(zhì)：（p是正整數(shù)）．例1

計(jì)算：（1）（103）5

；

解:(1)(103)5=103×5

=1015；(2)(a2)4

=a2×4=a8；(3)(am)2

=am·2=a2m；（3）（am）2；（2）（a2）4；典例精析（4）-（x4）3；(4)-(x4)3

=-x4×3=-x12；(6)[(﹣x)4]3.(5)[(x+y)2]3；(5)[(x+y)2]3=

(x+y)2×3

=(x+y)6；

(6)[(﹣x)4]3=

(﹣x)4×3

=(﹣x)12=x12.1.判斷下列等式是否正確？①(a4)3=a7（）②a4?a3=a12（）③(a2)3+(a3)2=(a6)2（）④(-x3）2=（-x2）3（）2.下列運(yùn)算正確的是（）A.（a4）4=a4?a4 B.(a2)6=(a4)4C.(a6)2=(a4)8 D.(a2)6=(a3)4××××D跟蹤訓(xùn)練3.計(jì)算(1)(xn)5(2)(24)3

(3)[(xy)3]3m+1(4)[(x+y)3]2

解：（1）(xn)5=x5n

（2）(24)3=24×3=212

（3）[(xy)3]3m+1=(xy)3·(3m+1)=(xy)9m+3

（4）[(x+y)3]2=(x+y)3×2=(x+y)627例2

計(jì)算：(1)(x4)3·x6;(2)a2.a2(-a2)3＋a10.解:(1)(x4)3·x6=x12·x6=x18；

(2)a2.a2(－a2)3＋a10

=

-a2·a2·a6＋a10

=

-a10＋a10

=

0.先乘方，再乘除先乘方，再乘除，最后算加減典例精析1.計(jì)算：(1)(x4)3·x6;(2)a2(－a)2(－a2)3＋a10.解:(1)(x4)3·x6

=x12·x6

=x18；

(2)a2(－a)2(－a2)3＋a10

=

-a2·a2·a6＋a10

=

-a10＋a10

=

0.跟蹤訓(xùn)練2.計(jì)算：

(1)(x2)4＋(x3)2·x2；解：2x8(2)5(a4)3－15(a2)6.解：－10a12例3已知求下列各式的值.（1）（2）（3）

（1）逆用典例精析（2）（3）練習(xí)（2）已知求.解:

練習(xí)（1）已知，求的值.解:

原式.原式.跟蹤訓(xùn)練冪的乘方法則（am）n=amn(m,n都是正整數(shù)）注意冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別：(am)n=amn

am

·an=am+n冪的乘方法則的逆用：amn=(am)n=(an)m1．(1)計(jì)算－（－3a）2的結(jié)果是（）A．－6a2B．－9a2C．6a2D．9a2【解析】－(－3a)2=(2)在①－(a4)3；②－a5·[(－a)2]3；③a4·(－a)3；④(－a2)3·(a3)2中，計(jì)算結(jié)果為－a12的是(

)A．①②B．②③C．①④D．③④(3)計(jì)算[(－x)2]n