湖南省衡陽市城區(qū)2023-2024學年九年級上學期數(shù)學期末考試試卷

湖南省衡陽市城區(qū)2023-2024學年九年級上學期數(shù)學期末考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．要使二次根式3x-9有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x>3 B．x≥3 C．x<3 D．x≤32．已知實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點位置如圖，則化簡|a-1|-(a-2A．2a-3 B．-1 C．1 D．3-2a3．關(guān)于x的一元二次方程(m-3)x2+A．0 B．±3 C．3 D．-34．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在格點上，如果將△ABC沿y軸翻折，得到△A'B'C'，那么點B的對應點B'的坐標為（）A．(0，2) B．(3，1) C．5．已知x1，x2是方程x2A．5 B．10 C．11 D．136．如圖，若l1A．BCAC=EFDF B．ABAC=7．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AM的長為1.2km，則M，C兩點間的距離為（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km8．小亮是一名職業(yè)足球隊員，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，小亮進球率為10%，他明天將參加一場比賽，下面幾種說法正確的是（）A．小亮明天的進球率為10% B．小亮明天每射球10次必進球1次C．小亮明天有可能進球 D．小亮明天肯定進球9．如圖，一艘潛水艇在海面下300米的點A處發(fā)現(xiàn)其正前方的海底C處有黑匣子，同時測得黑匣子C的俯角為30°，潛水艇繼續(xù)在同一深度直線航行960米到點B處，測得黑匣子C的俯角為60°，則黑匣子所在的C處距離海面的深度是（）A．(4803+300)米 B．C．780米 D．1260米10．如圖，能使△ABC∽△AED成立的條件是（）A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C．ACAD=AB11．如圖，四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，若OA'：OA=3：5，四邊形A'B'C'D'的面積為9cm2，則四邊形A．15cm2 B．25cm2 C．1812．我們已經(jīng)學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應用．

例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式2x2-12x+14的值的范圍．

解：2x2-12x+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6x+32-32)+14

=2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2-18+14=2(x-3A．有最大值-1 B．有最小值-1 C．有最大值1 D．有最小值1二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。13．若最簡二次根式x+2和3-x是同類二次根式，則x的值為14．一元二次方程3(x-2)2=x(x-2)15．已知關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a16．如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，已知AB=12，CD=6，則EF=．17．如圖是一位同學設(shè)計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么該古城墻的高度CD是米．18．“健康荊州，你我同行”，市民小張積極響應“全民健身動起來”號召，堅持在某環(huán)形步道上跑步．已知此步道外形近似于如圖所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB與BC間另有步道DE相連，D地在AB正中位置，E地與C地相距1km.若tan∠ABC=34，∠DEB=45°，小張某天沿A→C→E→B→D→A路線跑一圈，則他跑了三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19．計算：（1）312-248+8； 20．解方程：x221．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC=∠A．

（1）求證：△BDC∽△ABC；（2）若BC=4，AC=8，求CD的長．22．我市某中學舉行“法制進校園”知識競賽，賽后將學生的成績分為A、B、C、D四個等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題.（1）成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)有名；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，表示“D等級”的扇形的圓心角度數(shù)為，圖中m的值為；（3）學校決定從本次比賽獲得“A等級”的學生中選出2名去參加市中學生知識競賽.已知“A等級”中有1名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出女生被選中的概率.23．某淘寶網(wǎng)店銷售臺燈，每個臺燈售價為60元，每星期可賣出300個，為了促銷，該網(wǎng)店決定降價銷售．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣30個．已知該款臺燈每個成本為40元，（1）若每個臺燈降x元(x>0),則每星期能賣出個臺燈，每個臺燈的利潤是元．（2）在顧客得實惠的前提下，該淘寶網(wǎng)店還想獲得6480元的利潤，應將每件的售價定為多少元？24．閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．

構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應用，例如：在計算tan15°時，可構(gòu)造如圖1所示的圖形.在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，設(shè)AC=x(x>0)，延長CB至點D，使得BD=AB，連結(jié)AD，易知∠D=15°，CD=BD+BC=AB+BC=2x+3x，所以tan15°=tanD=…

（1）請根據(jù)上面的步驟，完成tan15°的計算；（2）請類比這種方法，計算圖2中tan22.5°的值．25．（1）問題背景：如圖(1)，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；（2）嘗試應用：如圖(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC與DE相交于點F.點D在BC邊上，ADBD=326．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，過點P作PE⊥AP，交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設(shè)BP=a．（1）當點P在線段BC上時(點P與點B，C都不重合)，試用含a的代數(shù)式表示CE；（2）當a=3時，連接DF，試判斷四邊形APFD的形狀，并說明理由；（3）當tan∠PAE=12

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵二次根式3x-9有意義，

∴3x-9≥0，

解得x≥3，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)二次根式的非負性得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可求解.2．【答案】A【解析】【解答】由數(shù)軸可得a>1，a<2，

∴a-1>0，a-2<0，

∴|a-1|-(a-2)2=a-1+(a-2)=2a-3,3．【答案】D【解析】【解答】一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化為一般形式得(m-3)x2+（m2-9）x-5=0，

4．【答案】B【解析】【解答】∵△A'B'C'由△ABC沿y軸翻折而得，

∴點B的對應點B'關(guān)于y軸對稱，

∵點B的坐標為（-3，1），

∴點B'的坐標為(3，1)，

故答案為：B.5．【答案】D【解析】【解答】∵x1，x2是方程x2-3x-2=0的兩根，

∴x1+x2=3，x1x2=-2，

∴x6．【答案】D【解析】【解答】∵l1//l2//l3，

∴BCAC=EFDF，ABAC=DEDF

故A、B選項說法正確，不符合題意；

∵AB7．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得MC=AM=1.2km．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M為AB的中點，∴MC=12【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵．8．【答案】C【解析】【解答】∵根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，小亮進球率為10%，∴他明天參加比賽，有可能進球。故答案為：C【分析】根據(jù)已知條件小亮進球率為10%，得出他明天參加比賽，有可能進球，即可得出答案。9．【答案】A【解析】【解答】過點C作AB延長線的垂線交于點E，交海面于點F，可得AB=960m，∠BAC=30°，∠EBC=60°，

∵∠BCA=∠EBC-∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC，

∴BC=AB=960m，

∴在Rt△BEC中，CE=BC·sin60°=960×32=4803m,

∴CF=CE+EF=(48010．【答案】C【解析】【解答】由圖可得∠A=∠A，

∴若添加∠A=∠A，得不到△ABC∽△AED，不符合題意；

若添加∠ADE=∠AED，得不到△ABC∽△AED，不符合題意；

若添加ACAD=ABAE，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得△ABC∽△AED，符合題意；

若添加BCED=ADAC，得不到11．【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，OA'：OA=3：5．∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為：25：9．∵四邊形A'B'C'D'的面積為9cm∴四邊形ABCD的面積為：25cm故答案為：B．【分析】根據(jù)相似圖形的面積之比是相似比的平方即可得．12．【答案】C【解析】【解答】由題意可得-3x2+12x-11=-3（x2-4x）-11=-3（x2-4x+22-22）-11，

=-3（x2-4x+22-22）-11=-3[（x-2]13．【答案】1【解析】【解答】∵最簡二次根式x+2和3-x是同類二次根式，

∴x+2=3-x，

解得x=12，

故答案為：114．【答案】x1=2【解析】【解答】3(x-2)2=x(x-2)，

移項得3(x-2)2-x（x-2）=0，

因式分解得（x-2）[3(x-2)-x]=0，即（x-2）(2x-6)=0，

解得x1=2，x215．【答案】a>-13【解析】【解答】∵關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴?=22-4×a×（-3）>0,且a≠0，

解得a>-13且16．【答案】3【解析】【解答】連接CF并延長交AB于點G，如圖，

∵AB//CD，

∴∠FDC=∠FBG，

∵E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，

∴DF=FB，CE=AE，

∵∠CFDC=∠GFB，

∴△FDC?△FBG(ASA),

∴BG=DC=6，CF=FG，

∴AG=AB-BG=12-6=6，

∵CE=AE，CF=FG，

∴EF=12AG=3,

故答案為：3.

【分析】連接CF并延長交AB于點G，利用ASA證明17．【答案】8【解析】【解答】根據(jù)題目中的條件易證△ABP∽△CDP，由相似三角形對應邊的比相等可得ABBP=CDPD，即2318．【答案】24【解析】【解答】過點D作DF⊥BC，如圖，

設(shè)EF=a（km），

∵∠DEB=45°，

∴EF=DF=a（km），

∵tan∠ABC=34=DFBF,

解得BF=43a（km），

由勾股定理可得：BD=BF2+DF2=(43a)2+a2=53a（km），

∵D地在AB正中位置，

∴AD=2BD=10319．【答案】（1）解：原式=63-83（2）解：原式=13×【解析】【分析】（1）先將二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可求解；

（2）利用乘法運算律進行去括號計算，再利用二次根式的性質(zhì)進行計算即可求解.20．【答案】解：方程整理得：x2-6x=18.2，

配方得：x2-6x+9=27.2，即(x-3)2=1365，

【解析】【分析】先將一元二次方程化為一般式，再進行配方、開方即可求解.21．【答案】（1）證明：∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，

∴△BDC∽△ABC；（2）解：∵△BDC∽△ABC，

∴BCAC=DCBC，

∵BC=4，【解析】【分析】（1）直接利用三角形相似的判定定理：有兩個角相等的三角形時相似三角形，即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式BCAC22．【答案】（1）5（2）72°；40（3）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：∴P（女生被選中）=4【解析】【解答】解：（1）學生總?cè)藬?shù)為3÷15%=20（人）∴成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)有20-3-8-4=5（人）故答案為：5；（2）“D等級”的扇形的圓心角度數(shù)為4m=820故答案為：72°；40；【分析】（1）學生總?cè)藬?shù)=A等級的人數(shù)÷A等級的人數(shù)所占的百分比，列式計算可求出學生的總?cè)藬?shù)；根據(jù)各組的頻數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)；

（2）“D等級”的扇形的圓心角度數(shù)=360°×“D等級”的人數(shù)所占的百分比，列式計算即可；

（3）由題意可知此事件是抽取不放回，列出樹狀圖，可得到所有的可能的結(jié)果數(shù)和女生被選中的情況數(shù)，然后利用概率公式可求解.23．【答案】（1）（300+30x）；（20-x）（2）解：設(shè)每個臺燈降x元，根據(jù)題意得，(20-x)(300+30x)=6480,解得x=8,x=2(舍去）∴定價為52元答：在顧客得實惠的前提下，該淘寶網(wǎng)店還想獲得6480元的利潤，應將每件的售價定為52元【解析】【解答】解：（1）∵每降價1元，每星期可多賣30個．∴每個臺燈降x元(x>0),則可多賣出30x個，∴每星期能賣出（300+30x）個臺燈，降價前每個臺燈的利潤為：60-40=20元，由于每個臺燈降價x元，所以降價后每個臺燈的利潤為：（20-x）元；【分析】（1）根據(jù)“每降價1元，每星期可多賣30個”求出降x元多賣出臺燈的個數(shù)，然后再加上300即可得出每星期賣出臺燈的總數(shù)；用降價前的利潤減去降價數(shù)即可得到每個臺燈的利潤；（2）設(shè)每個臺燈降x元，根據(jù)題意列出方程，求解后結(jié)合“顧客得實惠的前提”取舍即可.24．【答案】（1）解：由題知，

設(shè)AC=x(x>0)，延長CB至點D，使得BD=AB，連結(jié)AD，

因為∠ABC=30°，AB=BD，

所以∠D=∠DAB=15°．

在Rt△ABC中，

sin30°=ACAB，

則AB=2x，

同理可得，BC=3x，

所以CD=2x+3x．

在Rt△ACD中，

（2）解：延長CB到點D，使BD=BA，

因為∠ABC=45°，AB=DB，

所以∠D=∠DAB=22.5°．

令AC=x，則BC=x，AB=2x，

所以BD=AB=2x，

則CD=CB+DB=x+2x．

在Rt△ACD中，

【解析】【分析】（1）設(shè)AC=x(x>0)，延長CB至點D，使得BD=AB，連結(jié)AD，利用銳角三角函數(shù)的定義用含x的式子表示AB、CD的值，再利用銳角三角函數(shù)的定義得到tanD=ACAD，代入計算從而求解；

（2）延長CB到點D，使BD=BA，結(jié)合條件可得∠D=∠DAB=22.5°，令AC=x，則BC=x，AB=225．【答案】（1）證明：∵△ABC∽△ADE，

∴ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，ABAC（2）解：如圖1，連接EC，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，

∴△ABC∽△ADE，

由(1)知△ABD∽△ACE，

∴AECE=ADBD=3，∠