2024-2025學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學模擬預測試卷（含解析）

2024-2025學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學模擬預測試卷注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試卷共4頁。2.答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置。待監(jiān)考老師粘貼好條形碼后，再認真核對條形碼上的信息與自己準考證上的信息是否一致。3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。4.試卷考試內(nèi)容：高考范圍。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題所給的A、B、C、D四個選項中，只有一項符合題意。1．已知集合，則A． B． C． D．2．若復數(shù)z滿足，則z的虛部為A．2i B．4i C．2 D．43．若樣本x1，x2，x3，?，xn的平均數(shù)為10，方差為20，則樣本2x1?2，2xA．16，40 B．20，40 C．16，80 D．20，804．已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實數(shù)的值為A．1B．C．1或 D．或5．甲、乙、丙、丁、戊5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為A．44 B．46 C．48 D．546．正方體棱長為2，是棱的中點，是四邊形內(nèi)一點（包含邊界），且，當三棱錐的體積最大時，與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．7．一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則此動圓圓心的軌跡方程為A． B． C． D．8．定義在上的偶函數(shù)y=fx的導函數(shù)為y=f'x，當時，，且，則不等式的解集為A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題所給的A、B、C、D四個選項中，有多個選項符合題意，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分。9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則A．的圖象關于中心對稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象10．已知拋物線的焦點為，準線為，、是上異于點的兩點（為坐標原點）則下列說法正確的是A．若、、三點共線，則的最小值為4B．若，則的面積為C．若，則直線過定點D．若，過的中點作于點，則的最小值為11．對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的對稱中心.已知函數(shù).若有三個零點，且在點處切線的斜率為，則下列結(jié)論正確的是A．的極大值點為B．的極小值為?25C．D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。請將答案填寫在答題卡對應題號后的橫線上。12．已知cos(＋α)＝，，則的值為▲.13．設等比數(shù)列的前項和為.令，若也是等比數(shù)列，則▲.14．已知函數(shù)，（），若的圖象與的圖象在上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是▲．四、解答題：本大題共5小題，其中第15題13分，第16、17題每小題15分，第18、19題每小題17分，共77分。在解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求銳角的大?。唬?）若，且的周長為，求的面積.16．（15分）如圖，在長方體中，點分別在上，且.（1）求證：平面平面；（2）當時，求平面與平面的夾角的余弦值.17．（15分）已知橢圓的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點，且.（1）求橢圓C的方程；（2）設點P是橢圓C上一個動點，且點P在y軸右側(cè)，直線PA，PB與直線交于M，N兩點，若以MN為直徑的圓與x軸交于E，F(xiàn)兩點，求點P橫坐標的取值范圍.18．（17分）甲、乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．（1）若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學期望為依據(jù)作決策，當小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．19．（17分）已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且定義數(shù)列的“相鄰數(shù)列”為，其中或（1）已知，數(shù)列，寫出的所有“相鄰數(shù)列”；（2）已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且的所有“相鄰數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求這樣的數(shù)列的個數(shù)；（3）已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且存在的一個“相鄰數(shù)列”，對任意的，求的最小值．答案及解析1．【正確答案】A【分析】先確定兩個集合中元素，再根據(jù)交集的定義求解，【詳解】因為，所以.故選A．2．【正確答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的概念求解即可.【詳解】由，故z的虛部為4．故選D.3．【正確答案】C【詳解】因為樣本x1，x2，3，...，xn的平均數(shù)為所以樣本2x1?2，2x2?2，2x3?2，?，2x4．【正確答案】B【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)，再根據(jù)向量同向進行取舍.【詳解】因為與共線，所以，解得或,若，則，，所以，所以與方向相反，所以舍去，若，則，，所以，所以與方向相同，所以為所求.故選B.5．【正確答案】B【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結(jié)合組合數(shù)分析求解；解法二：利用間接法，根據(jù)題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結(jié)合組合數(shù)分析求解.【詳解】解法一：多重限制的排列問題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優(yōu)先元素分類計數(shù)，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學可能的名次排情況種數(shù)為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學可能的名次排情況種數(shù)為種.故選B.6．【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標系，設出，利用向量的數(shù)量積及體積最大值求得，從而得到與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖，A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，設，，則，由于為定值，要想三棱錐的體積最大，則F到底面ADE的距離最大，其中，所以當時，取得最大值，因為，所以的最大值為，所以，，平面的法向量，所以與平面所成角的正弦值為：.故選C.7．【正確答案】C根據(jù)題意得到動圓圓心到兩個定圓圓心的距離之和為常數(shù)，且大于兩個定點的距離，故軌跡為橢圓，根據(jù)條件計算得到答案.【詳解】設動圓半徑為，圓心為，根據(jù)題意可知，和，，，，故動圓圓心的軌跡為焦點在y軸上橢圓，且焦點坐標為和，其中,，所以，故橢圓軌跡方程為:.故選C.【關鍵點撥】本題考查了橢圓的軌跡方程，確定軌跡方程的類型是解題的關鍵.8．【正確答案】A【分析】根據(jù)可變形為，構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性、單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】當時，，所以當時，，令，則當時，，故在時，單調(diào)遞減，又因為在上為偶函數(shù)，所以在上為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，因為，所以，當時，可變形為，即，因為在上單調(diào)遞減，所以且，得；當時，可變形為，即，因為在上單調(diào)遞減，所以且，得；綜上：不等式的解集為.故選A.9．【正確答案】ABD【詳解】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達式為，對于A，由于，即的圖象關于中心對稱，故A正確；對于B，當時，，由復合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BD【詳解】對于A選項，易知拋物線的焦點為，當直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，則，易知，，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，A錯；對于B選項，設點，，可得，所以，，則，所以，，B對；對于C選項，易知的斜率存在，設直線的方程為，設點、，由于直線不過原點，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，所以，，因為，則，解得，所以，直線的方程為，故直線過定點，C錯；對于D選項，過點作于點，過點作于點，設，，所以，因為，所以，則的最小值為，當且僅當時，等號成立，D對．故選：BD．11．【正確答案】BCD【分析】求得，得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，可判定A、B正確；求，，令f″x=0，可得，證明，結(jié)合倒序相加法，可判定C正確.求，，，即可求出，，，化簡，即可判斷D選項.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得：，令f'x>0，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，取得極大值，極大值為，的極大值點為，所以A錯誤；當時，取得極小值，極小值為，所以的極小值為?252，故B正確；由，可得，令f″x=0，可得又由，所以點12,1是函數(shù)的的對稱中心，所以，令，可得，則，所以，故C正確；對于D，因為有三個零點，則，，因為，所以，，，故D正確故選BCD.12．【正確答案】【詳解】由知：，又∴，，，故∴綜上，有故13．【正確答案】.【分析】首先求，再求，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，求得的值，再驗證等比數(shù)列的定義，即可求解.【詳解】若，則，，則是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，所以，則，所以，且，，，，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即，，當時，，，數(shù)列是等比數(shù)列，所以.故答案為.14．【正確答案】【分析】結(jié)合題意可得到在上恰有兩個不相等的實根，令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，則原問題等價于與在上恰有兩個不同的交點，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】關于軸對稱的函數(shù)為，因為的圖象與的圖象在上恰有兩對關于軸對稱的點，所以方程在上恰有兩個不相等的實根，即，即，即，即在上恰有兩個不相等的實根，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，故原問題等價于與在上恰有兩個不同的交點，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，，如圖，作出函數(shù)在上的大致圖象，要使函數(shù)與在上恰有兩個不同的交點，只要，因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為.方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式計算可得；（2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周長求出，即可得到，，再由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，因為，代入得，又因為，則，又因為為銳角，所以.（2）由可得，因為，則,由（1）可得，由正弦定理，其中，設比值為，則，，，因為的周長為，即，即，則，，所以的面積.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，即可得出答案．（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，,，設平面與平面夾角為，則，即可得出答案．【詳解】（1）由于平面，平面，故，根據(jù)題意可得，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，由于平面，平面，故，又，平面,故平面,平面，故，又，平面，平面，所以平面．平面，故平面平面；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系：所以，,4,，，,結(jié)合（1）知，平面的法向量為,又，,4,，設平面的法向量為,則，令，則，所以,3,，設平面與平面夾角為，則．17．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意知橢圓與y軸交于A，B兩點，且，故；橢圓離心率為，即，故橢圓方程為；（2）設，，則直線PA的方程為，同理直線PB的方程為，故直線PA與直線的交點為，直線PB與直線的交點為，故線段MN的中點坐標為，則以MN為直徑的圓的方程為，令，則，，代入上式得，即，由于以MN為直徑的圓與x軸交于兩點，則方程有兩實數(shù)根，故，結(jié)合，解得，即點P橫坐標的取值范圍為.18．【正確答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）分別求得小明報考甲、乙兩公司通過科目數(shù)的數(shù)學期望，列出關于的不等式，進而求得的取值范圍．【詳解】（1）設小明報考甲公司恰好通過一門筆試科目為事件A，小明報考乙公司恰好通過一門筆試科目為事件，根據(jù)題意可得，

.（2）設小明報考甲公司通過的科目數(shù)為X，報考乙公司通過的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機變量的分布