2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷本試卷共19題，共150分，考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效.4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺.不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合M={x|-1≤x≤4}，N={x|x≤-a2}，若M∩N={x|-1≤x≤3}，則a=A.-6 B.-2 C.2 D.62.已知a=1?bi1+i，其中a，b為實(shí)數(shù)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知AB=(1，2)，AC=(4，m)，若AB⊥AC，則|BC|=（）A.2 B.3 C.5 D.124.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一次針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人(編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有空缺)，則獲得精品足球的人數(shù)為（）A.102 B.103 C.104 D.1055.已知sin(π2+α)=-38，α∈(2π，3π)，則sinαA.-114 B.114 C.-74 6.若四棱錐E-ABCD的棱AB，BC的長(zhǎng)均為2，其余各棱長(zhǎng)均為2，則該四棱錐的高為（）A.12 B.22 C.32 7.某高校舉行一場(chǎng)智能機(jī)器人大賽，該高校理學(xué)院獲得8個(gè)參賽名額，已知理學(xué)院共有4個(gè)班，每個(gè)班至少要有一個(gè)參賽名額，則該理學(xué)院參賽名額的分配方法共有（）A.20種 B.21種 C.28種 D.35種8.已知函數(shù)f(x)=kex-lnx+1的圖象與函數(shù)g(x)=xekx+kx-elnx的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.(-1e，-1e2)∪[0，+∞) B.(-1，-1C.(-1e，-1e2)∪[0，e) D.(-1，-1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}和{Sn}均為等差數(shù)列，且a5=18，則A.a1=6 B.a8=30 C.S5=60 D.S7=9810.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x+4)+f(x)=0，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=2x+a2A.a=-1 B.a=-2C.f(-33)<f(40)<f(19) D.f(40)<f(-33)<f(19)11.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期T<π，f(π5)=1，且f(x)在x=π10A.sinφ=2B.ω的最小值為152C.若函數(shù)f(x)在(π20，π4)上存在零點(diǎn)，D.函數(shù)f(x)在(13π20，11π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.近年來(lái)，理財(cái)成為了一種趨勢(shì)，老黃在今年買(mǎi)進(jìn)某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品，設(shè)該產(chǎn)品每個(gè)季度的收益率為X，且各個(gè)季度的收益之間互不影響，根據(jù)該產(chǎn)品的歷史記錄，可得P(X>0)=2P(X≤0).若老黃準(zhǔn)備在持有該理財(cái)產(chǎn)品4個(gè)季度之后賣(mài)出，則至少有3個(gè)季度的收益為正值的概率為.

13.已知拋物線C：y=x24，直線l1：y=-2，l2：3x-4y-6=0，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到l1與l2的距離之和的最小值為14.已知數(shù)列{an}滿足2an+2=2an+12+1an(n∈N*)，且a1=a2=1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則a5+a四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)某公司為響應(yīng)《中國(guó)制造2025》中提出的堅(jiān)持“創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人才為本”的基本方針，準(zhǔn)備加大研發(fā)投資.市場(chǎng)部對(duì)同類產(chǎn)品連續(xù)5個(gè)月的銷售單價(jià)xi和月銷售量yi(i=1，2，3，4，5)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得如下統(tǒng)計(jì)表：月銷售單價(jià)xi/(元/件)12345月銷售量yi/萬(wàn)件2823m1510統(tǒng)計(jì)時(shí)，不慎將m處的數(shù)據(jù)丟失，但記得0<m<39，且月銷售量的平均數(shù)與中位數(shù)相等.(1)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是0.5元/件，月銷售單價(jià)x(其中x∈N*)為何值時(shí)，公司月利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大?回歸方程y＾=b＾x+a＾中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式：b＾=i=1n16.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=9，an+1=an+2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn=anan+1，求證：b1+b1b2+b1b2b3+…+b1b2b3…bn≥(n+1)·(17.(15分)如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，AD=2，DD1=D1A1=A1A=1.(1)求證：AD1⊥平面CDD1C1.(2)點(diǎn)M在直線BB1上，且AD⊥平面MCD，求MC1與平面CDD1C1所成角的正弦值.18.(17分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax(1)求a，b的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知F(x)=xexf(x)?ex+mxx2-x，19.(17分)已知橢圓C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1(1)求橢圓C的方程；(2)直線l1，l2均過(guò)點(diǎn)A，且互相垂直，直線l1與圓O：x2+y2=a2交于M，N兩點(diǎn)，直線l2與橢圓C交于另一點(diǎn)B，求△MBN面積的最大值.

答案1.A【命題意圖】本題考查集合的運(yùn)算，要求考生理解交集的含義.【解題分析】因?yàn)镸={x|-1≤x≤4}，M∩N={x|-1≤x≤3}，所以-a2=3，2.D【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，要求考生掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義.【解題分析】由a=1?bi1+i，得a(1+i)=1-bi，即a+ai=1-bi，所以a=13.C【命題意圖】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，要求考生掌握平面向量的坐標(biāo)表示，能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件.【解題分析】因?yàn)锳B⊥AC，所以1×4+2m=0，所以m=-2，即AC=(4，-2)，所以BC=AC-AB=(3，-4)，所以|BC|=5.4.C【命題意圖】本題考查不等式的性質(zhì)，要求考生了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系.【解題分析】因?yàn)槟鼙?整除余1且被7整除余1的數(shù)就是能被14整除余1的數(shù)，所以獲得精品足球的人的會(huì)員編號(hào)可設(shè)為14n-13，n∈N*.由1≤14n-13≤1456，得1≤n≤146914，故項(xiàng)數(shù)為104，5.A【命題意圖】本題考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式，要求考生能運(yùn)用二倍角公式.【解題分析】sin(π2+α)=cosα=-38，則1-2sin2α2=-38，故sin2α2=1116，又α∈(2π，3π)6.B【命題意圖】本題考查棱錐問(wèn)題，要求考生認(rèn)識(shí)四棱錐的結(jié)構(gòu)特征.【解題分析】設(shè)點(diǎn)O為點(diǎn)E在底面ABCD內(nèi)的射影，因?yàn)镋A=EB=EC=ED=2，所以O(shè)A=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，因?yàn)樗倪呅蜛BCD關(guān)于BD對(duì)稱，所以線段BD為四邊形ABCD外接圓的直徑，所以BD=6，所以四棱錐的高h(yuǎn)=(2)27.D【命題意圖】本題考查排列組合，要求考生理解排列、組合的概念，能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【解題分析】8個(gè)參賽名額分給4個(gè)班，每個(gè)班至少得到一個(gè)，可以將8個(gè)名額一字排開(kāi)，并在中間7個(gè)空中任意插3塊板，且一個(gè)空不能同時(shí)隔入多個(gè)板子，即有C78.A【命題意圖】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，要求考生能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【解題分析】由題意可知，kex-lnx+1=xekx+kx-elnx有兩個(gè)不同的根，即ekx+lnx-(e-1)(kx+lnx)-1=0有兩個(gè)不同的根.令t=kx+lnx，即方程et-(e-1)t-1=0有且僅有兩個(gè)根t1=0，t2=1，則方程kx+lnx=0與kx+lnx=1一共有兩個(gè)不同的根，即直線y=-kx、直線y=-kx+1與曲線y=lnx一共有兩個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)k≥0時(shí)，顯然符合題意.當(dāng)k<0時(shí)，此時(shí)先分析兩種臨界情況：①若直線y=-kx與曲線y=lnx相切，如圖1所示，易知兩條直線與曲線y=lnx一共只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)k=-1e；②若直線y=-kx+1與曲線y=lnx相切，如圖2所示，易知兩條直線與曲線y=lnx一共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)k=-1e2，故當(dāng)k∈(-1e，-綜上所述，k∈(-1e，-1e29.BD【命題意圖】本題考查等差數(shù)列，要求考生理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.【解題分析】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n.因?yàn)閧Sn}為等差數(shù)列，所以a1-d2=0，即d=2a1，又a5=a1+4d=9a1=18，所以a1=2，從而d=2a1=410.AC【命題意圖】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求考生理解函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)奇偶性的含義，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.【解題分析】因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)=1+a1+1=0，得a=-1，所以當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=2x-12x+1=1-22x+1，所以當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.由f(x+4)+f(x)=0，即f(x+4)=-f(x)可知8為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，所以f(-33)=f(-1)，f(40)=f(0)，f(19)=f(3).把x=-3代入f(x+4)=-f(x)可得，f(1)=-f(-3)11.ACD【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，要求考生理解三角函數(shù)的性質(zhì)，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.【解題分析】因?yàn)橹芷赥<π，所以2πω<π，所以ω>2.因?yàn)閒(x)在x=π10處取得最大值，所以π10ω+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π2-π10ω(k∈Z)，又f(π5)=1，則f(0)=1，所以2sinφ=1，即sinφ=22，A正確；又sinφ=sin(π2-π10ω)=22，所以cosωπ10=22，所以π10ω=2kπ±π4(k∈Z)，所以ω=20k±52(k∈Z)，因?yàn)棣?gt;2，所以ω的最小值為52，B不正確；當(dāng)ω=52時(shí)，φ=2kπ+π4(k∈Z)，則f(x)=2sin(52x+π4)，此時(shí)函數(shù)f(x)在(π20，π4)上不存在零點(diǎn)，當(dāng)ω=352時(shí)，φ=2kπ-5π4(k∈Z)，則f(x)=2sin(352x-5π4)，此時(shí)函數(shù)f(x)在(π20，π4)上存在零點(diǎn)，C正確；由f(7π1012.1627【命題意圖】本題考查概率問(wèn)題，要求考生理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，【解題分析】∵P(X>0)=2P(X≤0)，P(X>0)+P(X≤0)=1，∴P(X>0)=23，則至少有3個(gè)季度的收益為正值的概率為C43(23)3·13+(213.3【命題意圖】本題考查拋物線的定義與運(yùn)算，要求考生了解拋物線的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【解題分析】由y=x24，得x2=4y，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為l3：y=-1.由拋物線的定義可知，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)F的距離，所以點(diǎn)M到l3與l2的距離之和的最小值為點(diǎn)F到l2的距離d=|-4-6|32+(?4)214.5222023+1【命題意圖】本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，要求考生了解數(shù)列的概念，【解題分析】由2an+2=2an+12+1an，知anan+2-an+12=12，故an-1an+1-an2=12，則anan+2-an+12=an-1an+1-an2，anan+2+an2=an-1an+1+an+12，即an+2+anan+1=an+1+an-1an，n≥2，又a3=2a22+12a1=32，所以an+an-2a所以(a2-12a1)+(a3-12a2)+…+(a2024-12a2023)=2-1+20+…+22021=22022又(a2-12a1)+(a3-12a2)+…+(a2024-12a2023)=a2024+12S即a2024+12S2023-a1=22022-12，故2a2024+S2023=215.【命題意圖】本題考查線性回歸方程，要求考生了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.【解題分析】(1)y?=28+23+m+15+105=m+765，∵0<m<39，∴765<m+765<23，即15<m又x?=1+2+3+4+55=3，y∴b＾=28+46+57+60+50?5×3×1912+2故a＾=y?-b＾x?=19+225×3=1615，y關(guān)于x的線性回歸方程為y＾(2)設(shè)公司月利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為z，則由(1)可得，z=(x-0.5)y=(x-0.5)(-225x+1615)=-225(x-4311)2+1125因?yàn)閤∈N*，所以當(dāng)x=4時(shí)，z取得最大值，最大值為51.1萬(wàn)元.13分16.【命題意圖】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，要求考生掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的關(guān)系.【解題分析】(1)由an+1=an+2，得an+1-an=2，所以數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列.2分又S3=a1+a2+a3=3a2=9，所以a2=3，所以an=a2+(n-2)d=2n-1.4分(2)(法一)由(1)可知，bn=anan+1=令cn=b1b2b3…bn，則cn+1=2n+12n+2cn，所以(2n+2)cn+1=2ncn+cn，cn=(2n+2)cn+1所以c1=4c2-2c1，c2=6c3-4c2，c3=8c4-6c3，…，cn=(2n+2)cn+1-2ncn，相加可得c1+c2+c3+…+cn=(2n+2)cn+1-2c1.11分又cn+1=12·34·56·…·2n-12n·2n+12n+2，當(dāng)n≥1時(shí)，c又c1=b1=12，所以(2n+2)cn+1-2c1≥(n+1)·(34)n即b1+b1b2+b1b2b3+…+b1b2b3…bn≥(n+1)·(34)n-1.15分17.【命題意圖】本題考查面面垂直與空間向量，要求考生理解空間中面面垂直的判定定理，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.【解題分析】(1)將四棱臺(tái)補(bǔ)成如圖所示的四棱錐P-ABCD.在△PAD中，AD∥A1D1，且AD=2，DD1=D1A1=A1A=1，∴△PAD為等邊三角形，且D1為PD的中點(diǎn)，∴AD1⊥PD.3分又∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AD1.又∵PD∩CD=D，∴AD1⊥平面PCD，即AD1⊥平面CDD1C1.5分(2)以AD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O平行于CD的直線為x軸，直線AD，OP分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)BM=λBB1，M(xM，yM，zM)，則A(0，-1，0)，P(0，0，3)，B(2，-1，0)，B1(1，-12，32)，C(2，1，0)，C1(1，12，32)，D(0，1，0)，D1故BB1=(-1，12，32)，BM=(xM-2，yM+1，zM)，由BM=λBB1，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2-λ，-1+λ∵AD⊥平面MCD，所以AD⊥MC，即AD·MC=4-λ=0，故λ=4，M(-2，1，23)，則MC1=(3，-12，-33又由(1)知AD1⊥平面CDD1C1，即AD1是平面CDD1C1∴cos<AD1，MC1>=0?34-943×4=-34，故MC18.【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，要求考生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)求函數(shù)的最值.【解題分析】(1)因?yàn)閒'(x)=1x-ax2，f'(1)=1-a=0，所以a=1，所以切線方程為y=1，所以b=1，所以f(x)=lnx+1x，則f'(x)=1x-1當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x≥1時(shí)，f'(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增.綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞).5分(2)F(x)=xexf(x)?ex+mxx2-x=xexlnx①當(dāng)x>1時(shí)，exlnx+mx-1>x+1等價(jià)于exlnx+m>x2設(shè)g(x)=exlnx-x2+m+1(x>1)，則g'(x)=ex(lnx+1x)-2x=ex(lnx+1x-由(1)可知，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=lnx+1x單調(diào)遞增，設(shè)h(x)=2xex，則h'(x)=2(1?x)ex，當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0，所以h(x)在(1，+∞)上