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文檔簡介
2025屆河北省巨鹿縣第二中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強2.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則3.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg5.如圖所示,三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計,?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1086.若的二項展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.77.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.8.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.9.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.310.一個空間幾何體的正視圖是長為4,寬為的長方形,側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形,俯視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-812.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記為數(shù)列的前項和,若,則__________.14.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預(yù)測,第4個盒子里放的電影票為_________15.已知平行于軸的直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于,兩點,為坐標原點,若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為______.16.若且時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時,證明;(Ⅱ)已知點,點,設(shè)函數(shù),當(dāng)時,試判斷的零點個數(shù).18.(12分)在△ABC中,角所對的邊分別為向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.19.(12分)已知橢圓的焦點在軸上,且順次連接四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),過橢圓右焦點的直線交于、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.20.(12分)已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,滿足.有三個條件:①;②;③.其中三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件完成下面兩個問題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點,且,求的面積.21.(12分)已知數(shù)列的前n項和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列,求的值.22.(10分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點,當(dāng)點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當(dāng)時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準確判斷.3、B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.4、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過樣本點的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯誤.故選D.5、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,
則小正方形的邊長為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.6、B【解析】
先化簡的二項展開式中第項,然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令,則,∴,∴(舍)或.【點睛】本題考查二項展開式問題,屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】
作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.9、A【解析】
將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由三視圖確定原幾何體是正三棱柱,由此可求得體積.【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱,.故選:B.【點睛】本題考查三視圖,考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.11、B【解析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【點睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
當(dāng)時,最多一個零點;當(dāng)時,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時,,得;最多一個零點;當(dāng)時,,,當(dāng),即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當(dāng),即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.【點睛】遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-254【解析】
利用代入即可得到,即是等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即,所以。故答案為:【點睛】本題考查已知與的關(guān)系求,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道中檔題.14、A或D【解析】
分別假設(shè)每一個人一半是對的,然后分別進行驗證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點睛】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.15、2【解析】
根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式,從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知,,所以,得,所以雙曲線的離心率.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、【解析】
將不等式兩邊同時平方進行變形,然后得到對應(yīng)不等式組,對的取值進行分類,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負時求參數(shù)范圍,列出對應(yīng)不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以或,當(dāng)時,對且不成立,當(dāng)時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當(dāng)時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.【點睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨分離出來,再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時,討論的零點個數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒成立.∵在遞減,在遞增.∴.∵;(Ⅱ)∵點,點,∴,.①當(dāng)時,可知,∴∴,,∴.∴在單調(diào)遞增,,.∴在上有一個零點,②當(dāng)時,,,∴,∴在恒成立,∴在無零點.③當(dāng)時,,.∴在單調(diào)遞減,,.∴在存在一個零點.綜上,的零點個數(shù)為1..【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題,考查了分類討論思想,屬于壓軸題.18、(1)(2)2【解析】
(1)轉(zhuǎn)化條件得,進而可得,即可得解;(2)由化簡可得,由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)由已知條件列出關(guān)于和的方程,并計算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設(shè)出點和點坐標,運用點坐標計算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設(shè),.當(dāng)直線垂直于軸時,,且此時,,當(dāng)直線不垂直于軸時,設(shè)直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【點睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個變量的表達式進行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計算量.20、(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進而可得出,則①②中有且只有一個正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計算出和,計算出,可得出,進而可求得的面積.【詳解】(1)因為,所以,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個正確,③正確.顯然,得.當(dāng)①③正確時,由,得(無解);當(dāng)②③正確時,由于,,得;(2)如圖,因為,,則,則,.【點睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.21、(1)證明見解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求
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