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文檔簡介
江西省臨川市第一中學(xué)2025屆高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.2.在中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),且,,則()A. B. C. D.3.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.5.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),為的零點(diǎn),為圖象的對稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.7.若雙曲線:繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象,則的離心率等于()A. B. C.2或 D.2或8.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.9.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.10.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.1011.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位12.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.5050二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_________.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.15.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______.16.如圖,在中,已知,為邊的中點(diǎn).若,垂足為,則的值為__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大小.20.(12分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.21.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)記關(guān)于的方程的兩根分別為,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及,計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)量積的性質(zhì),屬于中檔題.3、D【解析】
首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.4、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.5、D【解析】
化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點(diǎn),為圖象的對稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時(shí),由為圖象的對稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點(diǎn),同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性,屬于中檔題.7、C【解析】
由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,所以或,由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸,又可在軸上,所以或,或.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的概念,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.8、D【解析】
列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.9、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.10、C【解析】
取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.11、D【解析】
直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛?、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、;【解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,所以計(jì)算出邊長,表面積是考點(diǎn):1.三視圖;2.幾何體的表面積.14、【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
寫出展開式的通項(xiàng)公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí),對應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為:,令,所以,所以常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)的取值.16、【解析】
,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.點(diǎn)睛:本題考查平面向量的綜合應(yīng)用.本題中存在垂直關(guān)系,所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系,得到,所以本題轉(zhuǎn)化為求長度,利用余弦定理和面積公式求解即可.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由在處取得極值1,可得且.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;
(2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行二次求導(dǎo).由知,則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知有唯一零點(diǎn),且.由此判斷出時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,則,即.由得,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.【詳解】解:(1)由題知,∵函數(shù)在,處取得極值1,,且,,,令,則為增函數(shù),,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,則令,則,,,在上單調(diào)遞增,且,有唯一零點(diǎn),且,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增.,由整理得,令,則方程等價(jià)于而在上恒大于零,在上單調(diào)遞增,.,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,證明不等式,解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù),是解題的關(guān)鍵,屬于綜合性很強(qiáng)的難題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當(dāng)時(shí),時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應(yīng)用能力.19、(1)當(dāng)時(shí),直線l方程為x=-1;當(dāng)時(shí),直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】
(1)對直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),直線l的普通方程為x=-1;當(dāng)時(shí),消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程,考查直線與曲線的關(guān)系,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)椋瑒t,因?yàn)椋?,故,解得,故,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1),(2)0【解析】
(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿足△..【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.22、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),對參數(shù)討論,得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極值;(2)是方程的兩根,代入方程,化簡換元,構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】(1)依題意,;若,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)既無極大值,也
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