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2025屆江西省撫州市重點(diǎn)中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若所有點(diǎn),所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.2.設(shè)集合,則()A. B. C. D.3.已知雙曲線,過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點(diǎn),以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.4.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15605.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則A.3 B.4 C.5 D.67.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.408.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.9.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.10.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切11.已知橢圓,直線與直線相交于點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.12.的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.14.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則_______.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A0,a,B3,a+416.若滿足約束條件,則的最小值是_________,最大值是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過(guò)的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.18.(12分)在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對(duì)所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.20.(12分)設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對(duì)任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(shù)(,)有兩個(gè)相異的零點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)[2018·石家莊一檢]已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域?yàn)?,繼而可得,解之即可.【詳解】解:,因?yàn)?,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域?yàn)椋驗(yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.2、C【解析】
解對(duì)數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得,故,設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn),考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和,利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設(shè)該數(shù)列為,令,設(shè)的前項(xiàng)和為,又令,設(shè)的前項(xiàng)和為.易,,進(jìn)而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用,考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.5、B【解析】試題分析:對(duì)于選項(xiàng)A,,,,而,所以,但不能確定的正負(fù),所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B,,,兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.6、C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因?yàn)?,所以,則.故選C.7、C【解析】
設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.8、A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】,則故選D.10、D【解析】
由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),判斷出直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出,判斷出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn),所以.直線過(guò)點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn),由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開(kāi)式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
令可得各項(xiàng)系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開(kāi)式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開(kāi)式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開(kāi)式中含項(xiàng),可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和,二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng),賦值法,屬于中檔題.14、【解析】試題分析:由坐標(biāo)系可知考點(diǎn):復(fù)數(shù)運(yùn)算15、(-53,【解析】
求出AB的長(zhǎng)度,直線方程,結(jié)合△ABC的面積為5,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可.【詳解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設(shè)△ABC的高為h,則∵△ABC的面積為5,∴S=12|AB|h=即h=2,直線AB的方程為y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圓x2+y2=9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C,則圓心O到直線4x﹣3y+3a=0的距離d=|3a|則應(yīng)該滿足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案為:(-53,【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,求出直線方程和AB的長(zhǎng)度,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.16、06【解析】
作不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求出結(jié)果.【詳解】作出可行域,如圖中的陰影部分:求的最值,即求直線在軸上的截距最小和最大時(shí),當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),軸上截距最大,即z取最小值,.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),軸上截距最小,即z取最大值,.故答案為:0;6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】
(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,從而可證明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如圖的空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量為,平面的法向量為,由可得到答案.【詳解】(1)證明:在等腰梯形,,易得在中,,則有,故,又平面,平面,,即平面,故平面丄平面.(2)在梯形中,設(shè),,,,而,即,.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖的空間坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的法向量為,由得,取,得,,同理可求得平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩平面垂直的判定,考查了利用空間向量的方法求二面角,考查了棱錐的體積的計(jì)算,考查了空間想象能力及計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或(2)【解析】
(1)令,由此求得的值,進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).(2)設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo),利用勾股定理求得的表達(dá)式,利用三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo),由,得,∵∴或,所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或(2)由題意可設(shè),.由,得,.故時(shí),的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法,考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法,屬于中檔題.19、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明:,通過(guò)換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),,當(dāng)時(shí),f′(x)<2,當(dāng)時(shí),f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因?yàn)閤≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時(shí),1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時(shí),2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時(shí),g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時(shí),1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時(shí),,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因?yàn)椋?,故.法二?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,即,則n=k+1時(shí),,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對(duì)任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項(xiàng)公式;4、數(shù)列的前項(xiàng)和;5、不等式的證明.20、(1)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)【解析】
(1)據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;(2)分離參數(shù),可得對(duì)任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;(3)先求導(dǎo),再分類(lèi)討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)由,得,由于,所以對(duì)任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對(duì)任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得.由第(2)小題,知:當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以.②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),.所以,②式中的,又由①式,得.由第(1)小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即.當(dāng)時(shí),(?。┯捎?所以得,又因?yàn)?且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);(ⅱ)由于,令,設(shè),,由于時(shí),,,所以設(shè),即.由①式,得,當(dāng)時(shí),,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn).綜上
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