云南省楚雄市古城二中2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

云南省楚雄市古城二中2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對 B.3對C.4對 D.5對2.拋物線的焦點為,則經(jīng)過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有()A.1個 B.2個 C.0個 D.無數(shù)個3.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點,且∠POQ=120°(其中O為坐標原點),則k的值為()A. B. C.或- D.和-4.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.6.已知復數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.8.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.9.已知是等差數(shù)列的前項和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.2010.中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.11.雙曲線的右焦點為,過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點,與雙曲線的其中一個交點為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則()A. B. C.7 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若函數(shù)有個不同的零點,則的取值范圍是___________.14.已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為___________.15.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.16.若橢圓:的一個焦點坐標為,則的長軸長為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;(2)已知點是曲線上的任意一點,又直線上有兩點和,且,又點的極角為,點的極角為銳角.求:①點的極角;②面積的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;19.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求和的直角坐標方程;(2)已知為曲線上的一個動點,求線段的中點到直線的最大距離.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最大值為,且,求的最小值.21.(12分)某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下:獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個球,若摸到黑球則摸獎停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元,摸到白球或黃球獎勵10元,摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.2、B【解析】

圓心在的中垂線上,經(jīng)過點,且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等,圓心在拋物線上,直線與拋物線交于2個點,得到2個圓.【詳解】因為點在拋物線上,又焦點,,由拋物線的定義知,過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點,這樣的交點共有2個,故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種.故選:.【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì),本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置,看出圓心必須在拋物線上,且在垂直平分線上.3、C【解析】

直線過定點,直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點,且∠POQ=120°(其中O為原點),可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小,求得結(jié)果.【詳解】如圖,直線過定點(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,?∠1=120°,∠2=60°,∴由對稱性可知k=±.故選C.【點睛】本題考查過定點的直線系問題,以及直線和圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.4、D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).5、C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】分析:根據(jù)復數(shù)的運算,求得復數(shù)z,再利用復數(shù)的表示,即可得到復數(shù)對應的點,得到答案.詳解:由題意,復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-1,-1),位于復平面內(nèi)的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示,其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.7、C【解析】

可設(shè),根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設(shè),,且,根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調(diào)遞增,再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關(guān)系,從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解:因為,即,又,設(shè),根據(jù)條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C【點睛】考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程:設(shè),通過條件比較與,函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于中檔題.8、C【解析】

將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用等差通項,設(shè)出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.11、D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點,再利用,求出點,因為點在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因為,即可得到,故選:D.【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標運算,離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以,所以,故選:B【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線,如下圖所示,因為函數(shù)有個不同的零點,所以由圖象可知,,,所以.14、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程,右準線方程,得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.【詳解】解:雙曲線的右準線,漸近線,雙曲線的右準線與漸近線的交點,交點在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應用,是基本知識的考查,屬于基礎(chǔ)題.15、-15【解析】

是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計算.16、【解析】

由焦點坐標得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因為一個焦點坐標為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略,從而未對的兩個值進行取舍.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.的極坐標方程為(2)①②【解析】

(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對應的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標方程,由此求得點的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進而求得,從而求得點的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點到直線的距離的表達式,結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值,進而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因為則曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.所以的極坐標方程為,即.(2)①點的極角為,代入直線的極坐標方程得點極徑為,且,所以為等腰三角形,又直線的普通方程為,又點的極角為銳角,所以,所以,所以點的極角為.②解法1:直線的普通方程為.曲線上的點到直線的距離.當,即()時,取到最小值為.當,即()時,取到最大值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.解法2:直線的普通方程為.因為圓的半徑為2,且圓心到直線的距離,因為,所以圓與直線相離.所以圓上的點到直線的距離最大值為,最小值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.【點睛】本小題考查坐標變換,極徑與極角;直線,圓的極坐標方程,圓的參數(shù)方程,直線的極坐標方程與普通方程,點到直線的距離等.考查數(shù)學運算能力,包括運算原理的理解與應用、運算方法的選擇與優(yōu)化、運算結(jié)果的檢驗與改進等.也兼考了數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).18、(1)(2)當n為偶數(shù)時,;當n為奇數(shù)時,.(3)【解析】

(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.(3)分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當n為奇數(shù)時,.猜測:當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當時,命題成立;當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數(shù)時,的最大值是.②當n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學歸納法證明數(shù)列的應用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19、(1)..(2)最大距離為.【解析】

(1)直接利用極坐標方程和參數(shù)方程的公式計算得到答案.(2)曲線的參數(shù)方程為,設(shè),計算點到直線的距離公式得到答案.【詳解】(1)由,得,則曲線的直角坐標方程為,即.直線的直角坐標方程為.(2)可知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,則到直線的距離為,所以線段的中點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查了極坐標方程,參數(shù)方程,距離的最值問題,意在考查學生的計算能力.20、(1)(2)【解析】

(1)化簡得到,分類解不等式得到答案.(2)的最大值,,利用均值不等式計算得到答案.【詳解

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