2025屆上海市外國語附屬外國語學(xué)校高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆上海市外國語附屬外國語學(xué)校高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.2.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.4.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.5.若集合,,則A. B. C. D.6.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.7.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則8.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合;②雙曲線E與過點的冪函數(shù)的圖象交于點Q,且該冪函數(shù)在點Q處的切線過點F關(guān)于原點的對稱點.則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.9.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲11.集合,,則()A. B. C. D.12.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術(shù)”,則()A.48 B.63 C.99 D.120二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的值域為_____.14.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.15.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.16.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列,,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了響應(yīng)國家號召,促進垃圾分類,某校組織了高三年級學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識問卷作答隨機抽出男女各20名同學(xué)的問卷進行打分,作出如圖所示的莖葉圖,成績大于70分的為“合格”.(Ⅰ)由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表,是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)?男女總計合格不合格總計(Ⅱ)從上述樣本中,成績在60分以下(不含60分)的男女學(xué)生問卷中任意選2個,記來自男生的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(12分)在平面直角坐標系中,設(shè),過點的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點.(1)當在區(qū)間上變動時,求中點的軌跡;(2)設(shè)拋物線焦點為,求的周長(用表示),并寫出時該周長的具體取值.19.(12分)已知數(shù)列滿足,,,且.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.20.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績,某公司設(shè)計了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后,對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個,對比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長的百分點分成5組:,分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.(1)請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤,通過分析上一年度的售價(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價定為多少時日利潤可以達到最大.附①:附②:對應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.21.(12分)在平面直角坐標系中,已知拋物線的焦點為,準線為,是拋物線上上一點,且點的橫坐標為,.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線與拋物線交于、兩點,過點且與直線垂直的直線與準線交于點,設(shè)的中點為,若、、四點共圓,求直線的方程.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對任意,都有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對一切,都有成立.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)出兩人到達小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運算能力.2、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達,利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.3、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D;根據(jù)特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B;【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,,此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負等有關(guān)性質(zhì)進行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.4、B【解析】

先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.5、C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或,,所以,故選C.【點睛】本題考查集合的交運算,屬于容易題.6、A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于,當為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,但,錯誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,錯誤.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點為,F(xiàn)關(guān)于原點的對稱點;,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,難度一般.9、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算,化簡得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運算,可得,所對應(yīng)的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則,準確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運算即可.【詳解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故選A.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算,涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念,屬于中檔題.12、C【解析】

觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選:C.【點睛】本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用配方法化簡式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的值域為故答案為:【點睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題,屬基礎(chǔ)題。14、,,【解析】

化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.15、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學(xué)生分析問題的能力,難度一般.16、27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當且僅當時取得最小值.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)填表見解析,有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān);(Ⅱ)分布列見解析,【解析】

(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表,計算得到答案.(Ⅱ),計算,,,得到分布列,再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖可得:男女總計合格101626不合格10414總計202040,故有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結(jié)果””有關(guān).(Ⅱ)從莖葉圖可知,成績在60分以下(不含60分)的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人,從中任意選2人,基本事件總數(shù)為,,,,012.【點睛】本題考查了獨立性檢驗,分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、(1).(2)的周長為,時,的周長為【解析】

(1)設(shè)的方程為,根據(jù)題意由點到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設(shè)?坐標分別是?,利用韋達定理以及中點坐標公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)的方程為于是聯(lián)立設(shè)?坐標分別是?則設(shè)的中點坐標為,則消去參數(shù)得:(2)設(shè),,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長為時,的周長為【點睛】本題考查了動點的軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義、弦長公式,考查了計算能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列,并求得其通項公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項公式.(2)利用錯位相減求和法求得數(shù)列的前項和【詳解】(1)已知,則,且,則為以3為首相,3為公比的等比數(shù)列,所以,.(2)由(1)得:,,①,②①-②可得,則即.【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查錯位相減求和法,屬于中檔題.20、(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)①;②元時【解析】

(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過計算,可判斷精英店與采用促銷活動是否有關(guān).(2)①代入表中數(shù)據(jù),結(jié)合公式求出;②由①中所得的線性回歸方程,若售價為,單價利潤為,日銷售量為,進而可求出日利潤,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷中精英店的數(shù)量為,采用促銷中非精英店的數(shù)量為;沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為,沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計精英店352055非精英店153045合計5050100因為有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若售價為,單件利潤為,日銷售為,故日利潤,解得.當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.故當售價元時,日利潤達到最大為元.【點睛】本題考查了獨立性檢驗,考查了線性回歸方程的求法,考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時,常用的方法有:函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.21、(1)(2)【解析】

(1)由拋物線的定義可得,即可求出,從而得到拋物線方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,列出韋達定理,表示出中點

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