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文檔簡介
貴州省貴陽市普通中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.982.把函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個命題①的值域為②的一個對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.43.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.54.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.5.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個6.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.7.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動,記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)9.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.10.已知集合,集合,則()A. B. C. D.11.下列函數(shù)中既關(guān)于直線對稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.12.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)為偶函數(shù),則.14.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則15.已知圓,直線與圓交于兩點(diǎn),,若,則弦的長度的最大值為_______.16.設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點(diǎn),且.(1)求證:;(2)設(shè)平面與交于點(diǎn),求證:為的中點(diǎn).18.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運(yùn)會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會的相關(guān)知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運(yùn)會知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎勵方案:得分低于的可以獲得1次抽獎機(jī)會,得分不低于的可獲得2次抽獎機(jī)會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記Y為他參加活動獲得紀(jì)念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)19.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲,每次由一個小孩與其一位家長參與,測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序,然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD,家長猜測的序號依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄冊谝惠営螒蛑校瑢λ姆N食物排出的序號完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡要說明方法,不用寫出詳細(xì)計算過程);(2)若有一組小孩和家長進(jìn)行來三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解,說明理由.20.(12分)如圖,已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)N到平面CDM的距離.21.(12分)已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個極值點(diǎn)為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.22.(10分)如圖,在直棱柱中,底面為菱形,,,與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計算即可,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗法判斷②③;對求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域為,①錯誤;當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確;當(dāng)時,,所以的一個對稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.3、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學(xué)生的計算能力.4、D【解析】
根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因為,,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.6、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.8、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.9、D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.10、C【解析】
求出集合的等價條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點(diǎn),利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當(dāng)時,,所以不關(guān)于直線對稱,則錯誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯誤;D中,,而,則,所以不關(guān)于直線對稱,則錯誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點(diǎn)時,其截距最大,此時最大得,當(dāng)時,故選:B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。?4、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).15、【解析】
設(shè)為的中點(diǎn),根據(jù)弦長公式,只需最小,在中,根據(jù)余弦定理將表示出來,由,得到,結(jié)合弦長公式得到,求出點(diǎn)的軌跡方程,即可求解.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn),在中,,①在中,,②①②得,即,,.,得.所以,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、相交弦長的最值,解題的關(guān)鍵求出點(diǎn)的軌跡方程,考查計算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】
由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時,,即單調(diào)遞減;當(dāng)時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為,所以.又因為,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以.(2)因為平面與交于點(diǎn),所以平面.因為分別為的中點(diǎn),所以∥.又因為平面,平面,所以∥平面.又因為平面,平面平面,所以∥,又因為是的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,是一道容易題.18、(1),,;(2)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布表計算出平均數(shù),進(jìn)而計算方差,從而X~N(65,142),計算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個取值對應(yīng)的概率,列出分布列,計算期望,進(jìn)而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布表計算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、(1)(?。áⅲ┓植急硪娊馕觯唬?)理由見解析【解析】
(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,家長的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率.
(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序為1234的情況,家長的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.
(2)假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,先考慮小孩的排序為xA,xB,xC,xD為1234的情況,家長的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByCyD的情況即可,其實這樣處理后與第一種情況的計算結(jié)果是一致的,∴他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率為.(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序為1234的情況,家長的排序一共有24種情況,列出所有情況,分別計算每種情況下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)這位家長對小孩的飲食習(xí)慣比較了解.理由如下:假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,由(1)可知,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為()3=,這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小,∴這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)因為正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直,平面平面,,所以平面ABMN,因為平面ABMN,平面ABMN,所以,,因為,所以,因為,所以,所以,因為在直角梯形ABMN中,,所以,所以,所以,因為,所以平面.(2)如圖,取BM的中點(diǎn)E,
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