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2025屆湖南省瀏陽(yáng)一中、醴陵一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.向量,,且,則()A. B. C. D.2.甲乙丙丁四人中,甲說(shuō):我年紀(jì)最大,乙說(shuō):我年紀(jì)最大,丙說(shuō):乙年紀(jì)最大,丁說(shuō):我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.4.正的邊長(zhǎng)為2,將它沿邊上的高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù),的定義域都為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)7.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.8.的展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.639.音樂(lè),是用聲音來(lái)展現(xiàn)美,給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì),他證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述,它們是一些形如的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音,其余的為泛音.由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂(lè)音的是()A. B. C. D.10.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.2712.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},則A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率________.14.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為_(kāi)_______.15.已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí),的內(nèi)心的軌跡方程為_(kāi)_________.16.已知數(shù)列滿足對(duì)任意,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長(zhǎng).18.(12分)某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品,如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖:設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表:設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷(xiāo)毀后,對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品,每件售價(jià)240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品,每件售價(jià)180元;其他的合格品定為三等品,每件售價(jià)120元,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,,,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.20.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,是棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù),將的圖象向左移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,的一條對(duì)稱軸是,求在的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.2、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話,結(jié)合其他人的說(shuō)法,看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說(shuō)謊,丙也說(shuō)謊,而丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故甲說(shuō)的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說(shuō)謊,丙說(shuō)真話,丁也說(shuō)真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故乙說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說(shuō)真話,甲說(shuō)謊,丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故丙在說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,那么甲也說(shuō)謊,說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說(shuō)謊,說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4、D【解析】

如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,的外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,利用正弦定理可得,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,最后利用勾股定理可求外接球的半徑,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)為,外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,則平面,.因?yàn)?,故,因?yàn)?,?由正弦定理可得,故,又因?yàn)?,?因?yàn)?,故平面,所以,因?yàn)槠矫?,平面,故,故,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,故外接球的半徑為,外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算,還考查正弦定理和余弦定理,折疊問(wèn)題注意翻折前后的變量與不變量,外接球問(wèn)題注意先確定外接球的球心的位置,然后把半徑放置在可解的直角三角形中來(lái)計(jì)算,本題有一定的難度.5、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:是奇函數(shù),是偶函數(shù),,,,故函數(shù)是奇函數(shù),故錯(cuò)誤,為偶函數(shù),故錯(cuò)誤,是奇函數(shù),故正確.為偶函數(shù),故錯(cuò)誤,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.7、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.8、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.則①出,則出,該項(xiàng)為:;②出,則出,該項(xiàng)為:;③出,則出,該項(xiàng)為:;綜上所述:合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí),考查理解能力,計(jì)算能力,分類(lèi)討論和應(yīng)用意識(shí).9、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.10、D【解析】

對(duì)于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對(duì)于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對(duì)于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.11、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

解出集合A和B即可求得兩個(gè)集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查求集合的并集,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式,根據(jù)描述法表示的集合,準(zhǔn)確寫(xiě)出集合中的元素.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問(wèn)題的常用方法.14、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二:因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.15、【解析】

考查更為一般的問(wèn)題:設(shè)P為橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn),為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為△PF1F2的內(nèi)心,求點(diǎn)I的軌跡方程.解法一:如圖,設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點(diǎn)為H,半徑為r,且F1H=y,F(xiàn)2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,則.直線IF1與IF2的斜率之積:,而根據(jù)海倫公式,有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義,可得I點(diǎn)的軌跡是以F1F2為長(zhǎng)軸,離心率e滿足的橢圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二:令,則.三角形PF1F2的面積:,其中r為內(nèi)切圓的半徑,解得.另一方面,由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得:從而有.消去θ得到點(diǎn)I的軌跡方程為:.本題中:,代入上式可得軌跡方程為:.16、【解析】

由可得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項(xiàng)公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:由于圖形是正四棱錐,因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O,則以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可用空間向量法解決問(wèn)題.(1)只要證明=0即可證明垂直;(2)設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量為,利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得.試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻A=AB=,則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因?yàn)椋?,所以MN⊥AD(2)解:因?yàn)镸在PA上,可設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).設(shè)平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一組解為x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取=(λ-1,0,λ).因?yàn)槠矫鍭BD的法向量為=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,從而M,N,所以MN==.考點(diǎn):用空間向量法證垂直、求二面角.18、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】

(1)由頻率分布直方圖中所有頻率(小矩形面積)之和為1可計(jì)算出值;(2)由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.,選2件產(chǎn)品,支付的費(fèi)用的所有取值為240,300,360,420,480,由相互獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算出概率,得概率分布列,由公式計(jì)算出期望.【詳解】解:(1)據(jù)題意,得所以(2)據(jù)表1分析知,從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分別為.隨機(jī)變量的所有取值為240,300,360,420,480.隨機(jī)變量的分布列為240300360420480所以(元)【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖,頻數(shù)分布表,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,解題時(shí)掌握性質(zhì):頻率分布直方圖中所有頻率和為1.本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)由直徑所對(duì)的圓周角為,可知,通過(guò)計(jì)算,利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形,所以有.由已知可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面,利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量,利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式,可以求出二面角的余弦值.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn),所以.在中,分別為的中點(diǎn),所以,且.于是在中,,所以為直角三角形,且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)椋?,,所以平?又平面,所以平面平面.(2)由已知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得.設(shè)平面的法向量,則即,取,得.所以,又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問(wèn)題.20、(1);(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【解析】

(1)的面積最大時(shí),是短軸端點(diǎn),由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計(jì)算,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解

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