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2025屆湖南省張家界市高三第二次模擬考試數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知曲線且過定點,若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.3.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③4.已知雙曲線,過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點,以線段PQ為直徑的圓過右焦點F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.5.下列選項中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件6.已知雙曲線:(,)的右焦點與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.37.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點,若為線段的中點,且(為坐標原點),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.10.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?11.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.12.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.若實數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值為________.15.已知F為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),則△PMF周長的最小值是_____.16.如圖,在矩形中,,是的中點,將,分別沿折起,使得平面平面,平面平面,則所得幾何體的外接球的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,若存在實數(shù)使成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.(1)若,且恰為的左焦點,求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點,求證:在軸上不存在這樣的點,使得.19.(12分)已知橢圓()經(jīng)過點,離心率為,、、為橢圓上不同的三點,且滿足,為坐標原點.(1)若直線、的斜率都存在,求證:為定值;(2)求的取值范圍.20.(12分)已知中,角,,的對邊分別為,,,已知向量,且.(1)求角的大??;(2)若的面積為,,求.21.(12分)設函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點為,證明:.22.(10分)已知數(shù)列的前項和和通項滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式,屬于基礎題.2、A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點,確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,,當且僅當時等號成立,即時取得最小值.故選:A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式求最值,意在考查轉化與變形,基本計算能力,屬于基礎題型.3、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.4、B【解析】

求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點坐標的關系,根據(jù)列方程,化簡后求得離心率.【詳解】設,依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡得,故,設焦點坐標為,由于以為直徑的圓經(jīng)過點,故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點,考查圓的直徑有關的幾何性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.5、D【解析】

對于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對于C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對于D根據(jù)元素與集合的關系即可做出判斷.【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用,涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡單題.6、A【解析】

由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關系,考查學生的運算能力,是一道容易題.7、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點,∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用,對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式,轉化為的齊次式,然后轉化為關于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).8、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎題.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當時,;又當時,,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時,,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關系,屬于中檔題.10、B【解析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點:交集及其運算.11、B【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標,據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算,屬于中等題.12、A【解析】

由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由題意先求得的值,可得,再令,可得結論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點,通過給二項式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,屬于基礎題.14、3【解析】

作出可行域,可得當直線經(jīng)過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域(如下圖陰影部分),聯(lián)立,可求得點,當直線經(jīng)過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想,屬于基礎題.15、5【解析】

△PMF的周長最小,即求最小,過做拋物線準線的垂線,垂足為,轉化為求最小,數(shù)形結合即可求解.【詳解】如圖,F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),拋物線C:x2=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=﹣2.過作準線的垂線,垂足為,則有,當且僅當三點共線時,等號成立,所以△PMF的周長最小值為55.故答案為:5.【點睛】本題考查拋物線定義的應用,考查數(shù)形結合與數(shù)學轉化思想方法,屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)題意,畫出空間幾何體,設的中點分別為,并連接,利用面面垂直的性質(zhì)及所給線段關系,可知幾何體的外接球的球心為,即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得,,均為等腰直角三角形,如圖所示,設的中點分別為,連接,則,.因為平面平面,平面平面,所以平面,平面,易得,則幾何體的外接球的球心為,半徑,所以幾何體的外接球的體積為.故答案為:.【點睛】本題考查了空間幾何體的綜合應用,折疊后空間幾何體的線面位置關系應用,空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】試題分析:先將問題“存在實數(shù)使成立”轉化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析:存在實數(shù)使成立,等價于的最大值大于,因為,由柯西不等式:,所以,當且僅當時取“”,故常數(shù)的取值范圍是.考點:柯西不等式即運用和轉化與化歸的數(shù)學思想的運用.18、(1);(2);(2)見解析.【解析】

(1)由圓的方程求出點坐標,得雙曲線的,再計算出后可得漸近線方程;(2)設,由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標,計算;(3)由已知得,設,由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設,由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設由得:,,由得,解得,,,所以,,,當且僅當三點共線時,等號成立,∴軸上不存在點,使得.【點睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運算,本題對學生的運算求解能力要求較高,解題時都是直接求出交點坐標.難度較大,屬于困難題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程,設、、點坐標,根據(jù)利用坐標表示出即可得證;(2)設直線方程,再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理表示出,即可求出范圍.【詳解】(1)依題有,所以橢圓方程為.設,,,由為的重心,;又因為,,,,(2)當?shù)男甭什淮嬖跁r:,,,代入橢圓得,,,當?shù)男甭蚀嬖跁r:設直線為,這里,由,,根據(jù)韋達定理有,,,故,代入橢圓方程有,又因為,綜上,的范圍是.【點睛】本題主要考查了橢圓方程的求解,三角形重心的坐標關系,直線與橢圓所交弦長,屬于一般題.20、(1);(2).【解析】試題分析:(1)利用已知及平面向量數(shù)量積運算可得,利用正弦定理可得,結合,可求,從而可求的值;(2)由三角形的面積可解得,利用余弦定理可得,故可得.試題解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.21、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)依題意在上存在兩個極值點,等價于在有兩個不等實根,由參變分類可得,令,利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值,從而得到參數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:,即:,只需證:,設,即證:,再分別證明,即可;【詳解】解:(Ⅰ)由題意可知,,在上存在兩個極值點,等價于在有兩個不等實根,由可得,,令,則,令,可得,當時,,所以在上單調(diào)遞減,且當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減;所以是的極大值也是最大值,又當,當大于0趨向與0,要使在有兩個根,則,所以的取值范圍為;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:即:,只需證:設,即證:要證,只需證:令,則在上為增函數(shù),即成立;要證,只需證明:令,則在上為減函數(shù),,即成立成立,所以成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單

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