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文檔簡(jiǎn)介
2025屆吉林省長(zhǎng)春市十一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.52.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對(duì)比;環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2019年12月份,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D.2018年11月的全國居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國居民消費(fèi)價(jià)格4.如圖,圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),,則的最大值為()A. B. C.2 D.5.秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.6.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對(duì)應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.169.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.10.下列不等式正確的是()A. B.C. D.11.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.412.已知函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.14.雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為________,離心率為________.15.已知,則__________.16.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項(xiàng)和,,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí),高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.(1)設(shè)事件為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).①求函數(shù)在處的切線方程;②定義其中,求;(2)當(dāng)時(shí),設(shè),(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍.20.(12分)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)在x軸上的射影是D,點(diǎn)M滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程,并說明軌跡是什么圖形;(2)過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.21.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.22.(10分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,且,,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對(duì)于任意,有,求實(shí)數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關(guān)系,利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域?yàn)榛?,(且)令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以B錯(cuò)誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國居民消費(fèi)價(jià)格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,屬于中檔題.4、C【解析】
建立坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用,以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.5、C【解析】
由題意,模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時(shí),不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運(yùn)行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.7、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項(xiàng),又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對(duì)數(shù)的比較大小問題,其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.12、B【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像,分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況:易知為的一個(gè)零點(diǎn);對(duì)于當(dāng)時(shí),由代入解析式解方程可求得零點(diǎn),結(jié)合即可求得的范圍;對(duì)于當(dāng)時(shí),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點(diǎn),即.由圖像可知,,所以是的一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,若,則,即,所以,解得;當(dāng)時(shí),,則,且若在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),則,綜上可得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法,函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.14、22【解析】
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,根據(jù)周長(zhǎng)為,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長(zhǎng)為:.當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立,故,即實(shí)軸長(zhǎng)為,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長(zhǎng)的最值問題,離心率,實(shí)軸長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、【解析】
首先利用,將其兩邊同時(shí)平方,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到,從而求得,利用誘導(dǎo)公式求得,得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,即,所以,故答案?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式,倍角公式,誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題目.16、【解析】
依題意,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點(diǎn)處切線的斜率,所以在點(diǎn)處的切線方程是,即.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析:將,求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明,求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式,利用當(dāng)時(shí),得,下面證明:解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,,切點(diǎn)為.由,所以,所以曲線在處的切線方程為,即(Ⅱ)由,令,則(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)).故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),所以恒成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),由于,,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,必存在,使得,由于在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,故在上不恒成立,所以不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為(III)證明:由由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),,故,故.下面證明:因?yàn)槎?,所以,,即:點(diǎn)睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立,借助第二問的證明過程,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式,在求解的過程中還要求出數(shù)列的和,計(jì)算較為復(fù)雜,本題屬于難題.18、(1);(2)見解析【解析】
(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超幾何分布求解即可【詳解】(1)因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人,該年級(jí)分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人,則抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值為0,1,2,3,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,考查超幾何分布及期望,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題19、(1)①;②8079;(2).【解析】
(1)①時(shí),,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根據(jù)若對(duì)任意給定的,,在區(qū)間,上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,得到函數(shù)在區(qū)間,上不單調(diào),從而求得的取值范圍.【詳解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切線方程為.②,.令,則,.因?yàn)棰?所以②,由①+②得,所以.所以.(2),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減∵,,所以,函數(shù)在上的值域?yàn)?因?yàn)?,,故,,①此時(shí),當(dāng)變化時(shí)、的變化情況如下:—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵,,∴對(duì)任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件,即令,,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減所以,對(duì)任意,有,即②對(duì)任意恒成立.由③式解得:④綜合①④可知,當(dāng)時(shí),對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題,會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值,掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件.不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決.20、(1)點(diǎn)M的軌跡C的方程為,軌跡C是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)可求得,代入圓的方程可得所求軌跡方程;根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓;(2)設(shè),與橢圓方程聯(lián)立,利用求得;利用韋達(dá)定理表示出與,根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,消去后得到軌跡方程;根據(jù)求得的取值范圍,進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】(1)設(shè),則由知:點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌
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