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黑龍江省安達(dá)市第七中學(xué)2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合,,則=()A. B.C. D.2.已知集合,,,則的子集共有()A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)3.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為4.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.5.雙曲線的左右焦點(diǎn)為,一條漸近線方程為,過點(diǎn)且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.26.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.設(shè)為非零實(shí)數(shù),且,則()A. B. C. D.8.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.9.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.10.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.11.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),為的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知全集,集合,則______.14.已知向量,且,則實(shí)數(shù)的值是__________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,圓.已知過原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線和,其中與圓相交于,兩點(diǎn),與圓相切于點(diǎn).若,則直線的斜率為_____________.16.若函數(shù)的圖像上存在點(diǎn),滿足約束條件,則實(shí)數(shù)的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說(shuō)明理由.18.(12分)隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示:根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.(1)如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入,現(xiàn)在有兩個(gè)方案,方案一:選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),方案二:選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺得哪個(gè)方案更合適?附:相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:(2)某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書,據(jù)統(tǒng)計(jì),在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中,只購(gòu)買電子書的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率,若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位,求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,,M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)若,,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.21.(12分)已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、,設(shè)為直線上一點(diǎn),且直線、的斜率的積為.證明:點(diǎn)在軸上.22.(10分)已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,B,結(jié)合并集計(jì)算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本道題考查了集合的運(yùn)算,考查了一元二次不等式解法,關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B,難度較?。?、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時(shí),集合子集的個(gè)數(shù)為,真子集個(gè)數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題,屬于中檔題.4、A【解析】
構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對(duì)稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動(dòng)一個(gè)單位得到,的定義域?yàn)?,且,所以為奇函?shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以圖像關(guān)于對(duì)稱.不等式等價(jià)于,等價(jià)于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對(duì)稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性解不等式,屬于中檔題.5、A【解析】
設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn),所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.7、C【解析】
取,計(jì)算知錯(cuò)誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計(jì)算知錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.8、C【解析】
由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】試題分析:由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.12、C【解析】
求出,直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意可得出,然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)題意知,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】∵=(1,2),=(x,1),則=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.點(diǎn)睛:由向量的數(shù)乘和坐標(biāo)加減法運(yùn)算求得,然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),則⊥?a1a2+b1b2=1,∥?a1b2﹣a2b1=1.15、【解析】
設(shè):,:,利用點(diǎn)到直線的距離,列出式子,求出的值即可.【詳解】解:由圓,可知圓心,半徑為.設(shè)直線:,則:,圓心到直線的距離為,,.圓心到直線的距離為半徑,即,并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用,可列式得到,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,并結(jié)合圓的方程,垂徑定理的基本知識(shí),屬于中檔題.16、1【解析】由題知x>0,且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點(diǎn)B(2,1),當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí),m取得最大值為1.點(diǎn)睛:線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三、一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)是定值,詳見解析【解析】
(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1)選取方案二更合適;(2)【解析】
(1)可以預(yù)見,2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌,前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù),而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值,所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系,從而可得結(jié)論;(2)求得購(gòu)買電子書的概率為,只購(gòu)買紙質(zhì)書的概率為,購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況:3人購(gòu)買電子書,2人購(gòu)買電子書一人只購(gòu)買紙質(zhì)書,由此能求出購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.【詳解】(1)選取方案二更合適,理由如下:①題中介紹了,隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙媒受到了強(qiáng)烈的沖擊,從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始,廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì),可以預(yù)見,2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌,前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1,線性相關(guān)性越強(qiáng),因?yàn)楦鶕?jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值,我們沒有理由認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系;而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值,所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)因?yàn)樵谠摼W(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中,只購(gòu)買電子書的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為,所以從該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中任取一位,購(gòu)買電子書的概率為,只購(gòu)買紙質(zhì)書的概率為,購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況:3人購(gòu)買電子書,2人購(gòu)買電子書一人只購(gòu)買紙質(zhì)書.概率為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查最優(yōu)方案的選擇,考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用,考查閱讀能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向,這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí),解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題,只有吃透題意,才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.19、(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,通過證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.是的中點(diǎn),,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設(shè),則,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為,則,則,?。本€與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值,求出,即可得答案;(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為,將直線代入曲線的方程,利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系,再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值.所以,所以,,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為.由,消去y可得,所以,即.直線AD的斜率,直線BC的斜率,所以,故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知條件得出、的值,進(jìn)而可得出
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