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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】集合,所以.故選:C.2.已知集合,,若中恰有三個(gè)元素,則由a的取值組成的集合為()A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹星∮腥齻€(gè)元素,所以或或,結(jié)合集合中元素的互異性,解得或或(舍去)或.故選:D.3.若,則一定有()A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A,若,令,,則,,,故A不正確;對(duì)于B、C,令,,,但,,故B、C不正確;對(duì)于D,,則,,所以,故D正確.故選:D.4.已知命題,,若為假命題,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意可知,為真命題,由于時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:D.5.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得,故,所以.故選:A.6.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)是奇函數(shù),不符合題意;函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,不符合題意;函數(shù)是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減,符合題意.故選:D.7.函數(shù),和的圖象如圖所示,則下列四個(gè)說法錯(cuò)誤的是()A.如果,那么 B.如果,那么C.如果,那么 D.如果時(shí),那么【答案】B【解析】,和的圖象都過點(diǎn),的圖象都過點(diǎn).A選項(xiàng),如果,根據(jù)圖象可知:,A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng),如果,根據(jù)圖象可知:或,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng),如果,根據(jù)圖象可知:,C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng),如果時(shí),根據(jù)圖象可知:,D選項(xiàng)正確.故選:B.8.如圖,點(diǎn)在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng),是的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),,當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),,當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),,其中A選項(xiàng)符合要求,B、C、D都不符合要求,故A正確.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)或不選的得0分.9.下列敘述正確的是()A若,則B.C.,,則D.有個(gè)非空子集【答案】BD【解析】是個(gè)集合,所以,A錯(cuò)誤;是的一個(gè)子集,所以,B正確;是點(diǎn)集,是數(shù)集,所以集合與集合沒有關(guān)系,C錯(cuò)誤;的非空子集有,與,共3個(gè),D正確.故選:BD.10.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),定義若,,下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是()A.函數(shù)是偶函數(shù)B.方程有三個(gè)解C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)與,畫出函數(shù)的圖象,如圖:由圖象可知,函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱,所以A項(xiàng)正確;函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),所以方程有三個(gè)解,所以B項(xiàng)正確;函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確.故選:ABD.11.已知正數(shù),滿足,則()A.有最大值 B.有最小值8C.有最小值4 D.有最小值【答案】ACD【解析】A:,則當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),正確;B:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),錯(cuò)誤;C:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),正確;D:,故最小值為,正確.故選:ACD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.設(shè),,若是的充分不必要條件,則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?,所以,所?又因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件,所以是的真子集,所以,所以.13.當(dāng)時(shí),不等式的解集為___________.【答案】【解析】依題意,,且函數(shù)的開口向下,兩個(gè)零點(diǎn)為和,所以不等式的解集為.14.設(shè),則________.【答案】7【解析】,其中,.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.集合,,.(1)求(2)現(xiàn)有兩個(gè)條件:①,②條件,,若是的充分不必要條件;在這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填到橫線上,并解答本題,選擇多個(gè)條件作答時(shí),按第一選擇給分.已知___________,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1),,或,或.(2)選①,由可得,當(dāng)時(shí),解得,當(dāng)時(shí),解得綜上所述,.選②,由是的充分不必要條件,可得且即,當(dāng)時(shí),解得,當(dāng)時(shí),且兩等號(hào)不能同時(shí)取得,解得,綜上所述,.16.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若,的解集為,求最小值.解:(1)當(dāng)時(shí),,則,即,解得或,所以不等式的解集為.(2)因?yàn)榈慕饧癁?,所以方程的解為,且,則,因?yàn)?,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),所以最小值為.17.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷在上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明.解:(1)由得,由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得即,聯(lián)立解得,,,經(jīng)過檢驗(yàn),滿足題意.故.(2)在上單調(diào)遞減.,,且,,,,又,,,,,,即,在上單調(diào)遞減.18.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為,已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸,最大為110噸.(1)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;(2)若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬元,且產(chǎn)品能全部售出,則年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤?并求最大利潤.解:(1),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即取“=”,符合題意,∴年產(chǎn)量為100噸時(shí),平均成本最低為16萬元.(2),又,∴當(dāng)時(shí),.答:年產(chǎn)量為110噸時(shí),最大利潤為860萬元.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,若存在區(qū)間,使得,則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.如:函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?,則為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.(1)請(qǐng)直接寫出函數(shù)的所有的“和諧區(qū)間”;(2)在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象;(3)若為函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”,求的值.解:(1)設(shè)函數(shù)一個(gè)“和諧區(qū)間”為,所以在上的值
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