上海市長寧區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市長寧區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，.若，則實數(shù)a的值是______.【答案】9【解析】集合，，，，則a的值是9.2.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】由，解得或，所以定義域為.3.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是______.【答案】【解析】因為，則，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是.4.雙曲線的漸近線方程是___________.【答案】【解析】因為雙曲線方程為，所以雙曲線漸近線方程為，即.5.已知，，，，，則______.【答案】【解析】因為，，，，，所以.故答案為：.6.在的展開式中，含的項的系數(shù)為_________.【答案】10【解析】因的展開式的通項為，依題意，需使，解得，則.故答案為：10.7.記為數(shù)列的前項和，若，則______.【答案】【解析】因為為數(shù)列的前項和，且，則.8.為實數(shù)，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】因為不等式對任意的實數(shù)恒成立，則，由絕對值三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，所以，.故答案為：.9.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數(shù)是，第75百分位數(shù)為，則__________．【答案】【解析】由題意得，，所以．10.已知，，則______．【答案】【解析】由題意知：，，可得．11.已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則_______．【答案】【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，，又當(dāng)時，，所以，，所以,故答案為：.12.已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列，設(shè)，則的前項和為______.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為、、成等比數(shù)列，則，即，即，因為，解得，所以，，所以，，對任意的，，，，，所以，，因為，故數(shù)列bn的前項和為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分）每題有且正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置.13.“”是“”成立的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】由小范圍推大范圍可知為充分非必要條件，故選：A.14.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位【答案】A【解析】，則把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位即可，故選：A.15.被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；為信道帶寬，單位為Hz；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由條件可知，，.故選：D16.在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是線段B1C（含端點）上的一動點，則①OE⊥BD1；②OE面A1C1D；③三棱錐A1﹣BDE的體積不是定值；④OE與A1C1所成的最大角為90°．上述命題中正確個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】利用平面，可得OE⊥BD1，所以①正確；利用平面平面，可得OE面A1C1D，所以②正確；根據(jù)，且底面的面積為定值，且到平面的距離為定值，所以該棱錐的體積為定值，所以③不正確；當(dāng)在處時，OE與A1C1所成的的角為90°，所以④正確；所以上述命題中正確的個數(shù)為3，故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，b，c，．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面積．解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因為，所以，又，∴，所以，即，因為，所以；（2）因為b＝2，c＝2a，由余弦定理得，∴，解得，則，所以△ABC的面積.18.設(shè)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)m取值范圍．解：（1），令，解得或，當(dāng)或時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)綜上：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，恒成立，只需使在上最大值小于m即可由（1）知最大值為、端點值中的較大者.∴在上的最大值為,∴，所以實數(shù)m的取值范圍是19.如圖，在三棱柱中，平面，，分別為，的中點，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在三棱柱中，因為平面，平面，所以.又分別為的中點，則，所以.因為為中點，所以.又，平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）知，.又平面，所以平面.因為平面，所以，所以兩兩垂直.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則.于是.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的一個頂點為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、，直線、分別與軸交于點、，當(dāng)時，求的值.解：（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為.（2）依題意過點的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以Δ=16k所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.21.已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，均有，則稱函數(shù)為上的“M一類函數(shù)”.（1）試判斷是否為其定義域上的“M一類函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.（3）已知函數(shù)為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實數(shù)的最大整數(shù)值.解：（1）函數(shù)不是其定義域上的“M一類函數(shù)”.理由如下：的定義域為，存在，使得，故不是其定義域上“M一類函數(shù)”（2），所以.若函數(shù)在上為“M一類函數(shù)”，則在上恒成立，即在上恒成立.因為在上