天津市部分區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意空間向量，，則.故選：A.2.已知直線：與直線：平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B. C.1或 D.不存在【答案】A【解析】當(dāng)直線與不相交時，，解得或，當(dāng)時，直線：與直線：平行，因此；當(dāng)時，直線：與直線：重合，不符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為1.故選：A3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：此拋物線的焦點(diǎn)落在y軸正半軸上，且，可知，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：B.4.在等比數(shù)列中，，，則的公比為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意（分別為等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比）.故選：B.5.若雙曲線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，而雙曲線過，所以，得，由雙曲線的一條漸近線方程為可得，則，于是，即.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)為.故選：D.6.過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】圓，即圓的圓心坐標(biāo)，半徑分別為，顯然過點(diǎn)且斜率不存在的直線為，與圓相切，滿足題意；設(shè)然過點(diǎn)且斜率存在的直線為，與圓相切，所以，所以解得，所以滿足題意的直線方程為或.故選：D.7.在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，,,,,,,設(shè)平面的法向量為，,即，取，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.8.已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則C的離心率的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，以為直徑的圓的方程為，要使得圓與橢圓有交點(diǎn)，需，即，得，即，由，解得，所以橢圓的離心率的最小值為.故選：C9.設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，則，兩式相減得，所以，又，所以，，所以數(shù)列前10項(xiàng)和為.故選：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.已知空間向量，，則__________.【答案】9【解析】由題意知，.故答案為：911.直線的傾斜角為_______________.【答案】【解析】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.12.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則_________.【答案】39【解析】由題意為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，所以，而成等差數(shù)列，所以.故答案為：39.13.已知空間三點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】因，，，所以，與同向的單位方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：14.圓與圓的公共弦長為___________.【答案】【解析】兩圓方程分別為：①，②，由-可得：，即，兩圓的公共弦所在的直線方程為：，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到公共弦的距離為：，公共弦長為：.綜上所述，公共弦長為：故答案為：.15.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，若直線與圓交于C，D兩點(diǎn)，且，則直線的一個斜率為___________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】由題意知，的斜率存在，且不為，設(shè)的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，所以，圓的圓心，半徑，且直線過圓心，所以，由得，，故答案為：（或，答案不唯一）..三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若是等比數(shù)列，且，，求的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，，，解得，所以；（2）設(shè)等比數(shù)列公比為，，，得，解得，所以.17.已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O.（1）求圓C的方程；（2）垂直于直線的直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（1）由題意可知，所以圓C是以，中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以圓C的方程為.（2）因?yàn)榇怪庇谥本€的直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且，所以不妨設(shè)滿足題意方程為，所以圓心到該直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為或18.如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且，D，E，F(xiàn)分別是，，的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求證：平面；（3）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題意側(cè)棱平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，且，D，E，F(xiàn)分別是，，的中點(diǎn).所以，，所以，設(shè)直線與所成角為，所以.（2）由（1），所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?（3）由（2）可知平面，即可取平面的一個法向量為，由（1）可知，不妨設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，解得，即可取平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則.19.在數(shù)列中，，.（1）求，；（2）記（i）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，，得，所以，，即，.（2）（i）由和得，，所以是，公差為的等差數(shù)列；因?yàn)椋?，?（ii）由（i）得，當(dāng)為奇數(shù)，即時，，設(shè)前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為，前項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和為所以①，②，由①②得：，，，即，則；當(dāng)為偶數(shù)，即時，，所以.綜上所述，.20.已知橢圓：，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求C方程：（2）過點(diǎn)M且斜率大于零的直線與橢圓交于另一個點(diǎn)N（點(diǎn)N在x軸下方），且的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.解：（1）橢圓：，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，則有，解得，所以橢圓C的方程為.