【學(xué)案】《1.1-周期變化》

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2§1周期變化課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)凝練了解三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù).通過實例及具體函數(shù)，研究函數(shù)的周期性，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).一、周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有x＋T∈D且滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個函數(shù)的周期．二、最小正周期如果在周期函數(shù)y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就稱作函數(shù)y＝f(x)的最小正周期.1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的變化是周期變化． ()(2)鐘表的分針每小時轉(zhuǎn)一圈，它的運行是周期變化． ()(3)我國每年夏季小麥的產(chǎn)量是周期變化的． ()答案(1)√(2)√(3)×2．(教材P3練習(xí)1改編)鐘表的分針每小時轉(zhuǎn)一圈，則它周期變化最小正周期為________.60分鐘[因為分針每小時轉(zhuǎn)一圈，且重復(fù)旋轉(zhuǎn)，所以是周期變化，最小正周期為60分鐘．]3．觀察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”尋找規(guī)律，則第25個數(shù)字是________.2[觀察可知2,0,1,7每隔四個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)一次，具有周期性，故第25個數(shù)字為2.]探究一周期變化的判斷[知能解讀]周期變化的作用1．應(yīng)用周期變化中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡”“化無限為有限”的目的；2．只要確定好周期變化中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”，就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個周期內(nèi)解決．判斷下列現(xiàn)象是否為周期變化，并說明理由．(1)地球的自轉(zhuǎn)；(2)連續(xù)拋擲一枚骰子，朝上一面的點數(shù)；(3)鐘表的秒針的轉(zhuǎn)動；(4)某段高速公路每天通過的車輛數(shù)．解(1)地球每天自轉(zhuǎn)一圈，并且每一天內(nèi)的任何時段總會重復(fù)前一天內(nèi)相同時段的動作，因此是周期變化．(2)連續(xù)拋擲一枚骰子，朝上一面的點數(shù)有可能為1,2，…，6，并且前一次出現(xiàn)的點數(shù)，下一次可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，故出現(xiàn)的點數(shù)是隨機的，因此不是周期變化．(3)鐘表的秒針的轉(zhuǎn)動，每一分鐘轉(zhuǎn)一圈，并且每分鐘總是重復(fù)前一分鐘的動作，因此是周期變化．(4)某段高速公路每天通過的車輛數(shù)，會因時間、天氣、交通狀況等因素而發(fā)生變化，沒有確定的規(guī)律，因此不是周期變化．[方法總結(jié)]周期變化的判斷關(guān)鍵：首先要認(rèn)真審題，明確題目的實際背景，然后牢牢抓住“間隔相同，現(xiàn)象(或值)重復(fù)出現(xiàn)”這一重要特征進(jìn)行判斷．[訓(xùn)練1]判斷下列現(xiàn)象是否為周期變化：(1)交通路口的紅綠燈變化；(2)北京天安門廣場的國旗每天日出時升旗，日落時降旗，每天的升旗時間；(3)中央電視臺每晚7：00的新聞聯(lián)播．解(1)紅綠燈按一定順序有規(guī)律的變化，是周期變化．(2)北京每天的日出、日落隨節(jié)氣變化，并非恒定，相鄰兩天的升旗時間間隔是變化的，不是常數(shù)，所以不是周期變化．(3)每24小時，新聞聯(lián)播重復(fù)一次，所以是周期變化．探究二周期性的應(yīng)用2020年5月1日是星期五，問2020年10月1日是星期幾？解按照公歷記法，2020年5,7,8這三個月份都是31天，6、9月份各30天，因此從2020年5月1日到9月30日共有153天．因每星期有7天，故由153＝22×7－1知，從2020年5月1日再過154天恰好與5月1日都是星期五，這一天是2020年10月2日，因此2020年10月1日是星期四．[變式1]試確定自2020年5月1日再過200天是星期幾？解由200＝28×7＋4知，自2020年5月1日再過200天是星期二．[變式2]從2020年5月1日到2020年10月1日經(jīng)過了幾個星期五？幾個星期一？解因為從2020年5月1日到2020年10月1日的154天中有22個完整的周期，在每個周期中有且僅有一個星期五和一個星期一，故共經(jīng)過了22個星期一，22個星期五．[變式3]試確定自2020年5月1日再過7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期幾？解每隔七天，周一至周日依次循環(huán)，故7k天后為周五，7k＋3天后為星期一．[方法總結(jié)]應(yīng)用周期性解決實際問題的兩個要點提醒：計算兩個日期的間隔時間時要注意幾月有30天，幾月有31天，二月有28天(或29天)．[訓(xùn)練2]受日月的引力影響，海水會發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫作潮汐．已知某海濱浴場的海浪高度y(m)是時間t(0≤t≤24，單位：時)的函數(shù)，記作y＝f(t)，下表是某日部分時間的浪高數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度不低于1m時才對沖浪愛好者開放，判斷一天內(nèi)對沖浪愛好者能開放幾次？時間最長的一次是什么時段？有多長時間？解由題中表格可知，一天內(nèi)能開放三次，時間最長的一次是上午9時至下午3時，共6個小時．探究三周期函數(shù)的定義及應(yīng)用[知能解讀]常見周期函數(shù)的形式周期函數(shù)除常見的定義式f(x＋T)＝f(x)外，還有如下四種形式：(1)f(x＋a)＝－f(x)；(2)f(x＋a)＝eq\f(1,fx)；(3)f(x－a)＝－eq\f(1,fx)；(4)f(x－a)＝f(x＋a)．以上四種形式的函數(shù)都是以2a為周期的周期函數(shù)．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式．解題流程：第一步泛讀題目明確待求結(jié)論：證明f(x)是周期函數(shù)并求f(x)在x∈[2,4]上的解析式．第二步精讀題目挖掘已知條件：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)．第三步建立聯(lián)系尋找解題思路：利用f(x＋2)＝－f(x)求出函數(shù)的周期，并利用函數(shù)的周期求函數(shù)在x∈[2,4]上的解析式．第四步書寫過程規(guī)范養(yǎng)成習(xí)慣．(1)證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]．∴4－x∈[0,2]．∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8.故當(dāng)x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.[方法總結(jié)]利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題．[訓(xùn)練3]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，當(dāng)x∈[0,3]時，f(x)單調(diào)遞增，則f(x)在下列哪個區(qū)間上單調(diào)遞減()A．[3,7] B．[4,5