【學案】《6.1-基本立體圖形（一）》

高中數(shù)學精選資源2/2§1基本立體圖形LLL1．1構成空間幾何體的基本元素LLL1．2簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺課程內(nèi)容標準學科素養(yǎng)凝練1．認識棱柱、棱錐、棱臺等幾何體的結構特征．2．能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.通過學習簡單多面體的結構特征，提升數(shù)學抽象及直觀想象素養(yǎng).1．多面體的概念有些幾何體是由平面多邊形圍成的，稱為多面體.這些多邊形稱為多面體的面，兩個相鄰的面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點稱為多面體的頂點．2．棱柱的結構特征定義兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，由這些面圍成的幾何體稱為棱柱．圖形及表示eq\a\vs4\al(如圖可記作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′)相關概念底面：兩個互相平行的面．側面：其余各面．側棱：相鄰側面的公共邊．頂點：側面與底面的公共頂點．對角線：既不在同一底面上也不在同一個側面上的兩個頂點的連線．分類直棱柱：側面平行四邊形都是矩形的棱柱；正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；斜棱柱：其他的棱柱；平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱、……3．棱錐的結構特征定義其中一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體稱為棱錐．圖形及表示eq\a\vs4\al(如圖可記作：棱錐S-ABCD)相關概念底面：多邊形面．側面：有公共頂點的各個三角形面．側棱：相鄰兩個側面的公共邊．頂點：各側面的公共點．高：頂點到底面的距離．斜高：正棱錐中各側面等腰三角形底邊上的高．分類正棱錐：底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上；按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐、……4．棱臺的結構特征定義用一個平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺．圖形及表示eq\a\vs4\al(如圖可記作：棱臺ABCD-A′B′C′D′)相關概念上底面：原棱錐的截面．下底面：原棱錐的底面．側面：其余各面．側棱：相鄰兩個側面的公共邊．頂點：側面與上(下)底面的公共頂點．高：上底面、下底面之間的距離．分類正棱臺：由正棱錐截得的棱臺為正棱臺；由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)多面體的面都是平的，多面體沒有曲面．(√)(2)三棱錐也叫四面體．(√)(3)棱錐的側棱長都相等．(×)(4)棱臺的上下底面互相平行，各側棱延長線一定相交于一點．(√)2．(教材P198練習1改編)下面有關棱臺說法中，正確的是()A．上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺B．棱臺的所有側面都是梯形C．棱臺的側棱長必相等D．棱臺的上下底面可能不是相似圖形B[由棱臺的結構特征知，B正確．]3．下列幾何體中棱柱有()A．5個 B．4個C．3個 D．2個D[由棱柱的定義知，①③為棱柱．]探究一棱柱的結構特征[知能解讀]棱柱的結構特征(1)兩個面互相平行；(2)其余各面都是平行四邊形；(3)每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點．(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，說明理由．解(1)長方體是棱柱，是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分有兩個平行的平面BB1M與平面CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M-CC1N；另一部分有兩個平行的平面ABMA1與平面DCND1，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是四棱柱，可用符號表示為四棱柱ABMA1-DCND1．[變式]若用一個平面去截本例中的四棱柱，能截出三棱錐嗎？解如圖，幾何體B-A1B1C1就是三棱錐．[方法總結]在判斷是否是棱柱時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征．[訓練1]根據(jù)下列關于空間幾何體的描述，說出幾何體名稱：(1)由6個平行四邊形圍成的幾何體；(2)由8個面圍成，其中兩個面是平行且全等的六邊形，其余6個面都是平行四邊形．解(1)這是一個上、下底面是平行四邊形，四個側面也是平行四邊形的四棱柱．(2)該幾何體是六棱柱．探究二棱錐、棱臺的結構特征下列關于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是________．①②[①正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．][方法總結]判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法：結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點[訓練2]如圖，三棱臺A′B′C′-ABC截去三棱錐A′-ABC后剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱臺 D．四棱柱B[剩余部分是四棱錐A′-BB′C′C．]探究三多面體的側面展開圖在一長方體中，a，b，c為棱長，且a>b>c，求沿長方體表面從P到Q的最小距離(其中P，Q是長方體對角線的兩個端點)．解題流程：第一步泛讀題目明確待求結論：沿長方體表面從P到Q的最小距離．第二步精讀題目挖掘已知條件：長方體中，a，b，c為棱長，且a>b>c．第三步建立聯(lián)系尋找解題思路：利用長方體的側面展開圖求解，注意分情況進行討論．第四步書寫過程規(guī)范養(yǎng)成習慣．解將長方體展開，有三種情況(如圖)．d1＝eq\r(a2＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc)，d2＝eq\r(c2＋a＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ab)，d3＝eq\r(b2＋a＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ac)，因為a>b>c，故dmin＝d1＝eq\r(a2＋b＋c2)．[方法總結]多面體表面展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其表面展開圖．(2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．[訓練3]如圖所示，已知三棱錐P-ABC的底面是正三角形且三條側棱兩兩成30°角，側棱長為18cm，從點A引一條絲帶繞側面一周回到A點，設D，E分別為絲帶經(jīng)過PC，PB時的交點，則△ADE周長的最小值為多少？解把三棱錐P-ABC的側面沿