《概率》核心素養(yǎng)梳理

高中數(shù)學(xué)精選資源1/25《概率》核心素養(yǎng)梳理知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)核心素養(yǎng)梳理一、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：在理解運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能借助運(yùn)算方法有效解決實(shí)際問題，能通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.本章利用古典概型的概率公式、互斥事件的加法公式、對立事件的概率公式、相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算概率都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例1甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對于給定的實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣、如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘2后再減去6；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上6，這樣就可得到一個新的實(shí)數(shù)，對實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個新的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為，則的取值范圍是_________.解析由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，可得如下情況：當(dāng)，其出現(xiàn)的概率為；當(dāng)，其出現(xiàn)的概率為；當(dāng)，其出現(xiàn)的概率為；當(dāng)，其出現(xiàn)的概率為.因?yàn)榧撰@勝的概率為，即的概率為，則滿足或整理得或.答案例2袋中有五張卡片，這五張卡片除顏色外完全相同，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1，2.（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片（此卡片與其他卡片除顏色外完全相同），從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.解析（1）將標(biāo)號為1，2，3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號為1，2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E.寫出試驗(yàn)“從五張卡片中任取兩張”的樣本空間，找出滿足條件“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4”的樣本點(diǎn)，利用古典概型的概率公式計(jì)算概率.（2）列出試驗(yàn)“將標(biāo)號為0的綠色卡片記為F.從這六張卡片中任取兩張”的所有可能的結(jié)果，并計(jì)算個數(shù)，找出滿足條件“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4”的樣本點(diǎn)，利用古典概型的概率公式計(jì)算概率.答案（1）將標(biāo)號為1，2，3的三張紅色卡片分別記為，標(biāo)號為1，2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E.從這五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為，共10種.由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.從這五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為，共3種.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.（2）將標(biāo)號為0的綠色卡片記為F.從這六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為共15種.由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.從這六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為，共8種.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.二、邏輯推理邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比，一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.本章分析事件之間的關(guān)系體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).例3袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個（這些球除顏色外完全相同），現(xiàn)從中取出兩個球.設(shè)事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論正確的是（）A.P與R是互斥事件B.P與Q是對立事件C.Q和R是對立事件D.Q和R是互斥事件，但不是對立事件解析袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個（這些球除顏色外完全相同），現(xiàn)從中取出兩個球，取球的方法共有如下幾類：①取出的兩球都是黑球；②取出的兩球都是白球；③取出的球一黑一白.事件R包括①③兩類情況，所以事件P是事件R的子事件，故A不正確；事件Q與事件R互斥且對立，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確；事件P與事件Q互斥，但不是對立事件，所以選項(xiàng)B不正確.答案C例4甲、乙兩顆衛(wèi)星同時獨(dú)立監(jiān)測臺風(fēng)在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報臺風(fēng)的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為（）A.0.95B.0.6C.0.05D.0.4解析方法一：在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確可分為：①甲預(yù)報準(zhǔn)確，乙預(yù)報不準(zhǔn)確；②甲預(yù)報不準(zhǔn)確，乙預(yù)報準(zhǔn)確；③甲預(yù)報準(zhǔn)確，乙預(yù)報準(zhǔn)確.這三個事件彼此互斥，故至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為.方法二：“在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確”的對立事件是“在同一時刻兩顆衛(wèi)星預(yù)報都不準(zhǔn)確”，故至少有顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為.答案A三、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.本章根據(jù)實(shí)際情境建立概率模型求解有關(guān)概率問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).例5某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.（1）確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（2）求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率（將頻率視為概率）.解析（1）根據(jù)條件“100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%”構(gòu)建關(guān)于x，y的方程組解出x，y的值，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì).（2）將頻率視為概率進(jìn)行計(jì)算，事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”是互斥事件，利用互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解.答案（1）由已知得，所以.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為（分鐘）.（2）記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”將頻率視為概率得.因?yàn)?，且是互斥事件，所?故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為.例6計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”并頒發(fā)“合格證書”.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為,在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為,所有考試是否合格相互之間沒有影響.（1）若甲、乙、丙三人同時進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，則誰獲得“合格證書”的可能性大？（2）求甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得“合格證書”的概率.解析（1）記“甲獲得‘合格證書’”為事件A，“乙獲得合格證書’”為事件B，“丙獲得‘合格證書’”為事件C，利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算概率.（2）恰有兩人獲得“合格證書”包含三種情況，甲、乙兩人獲得丙未獲得，甲、丙兩人獲得乙未獲得，乙、丙兩人獲得甲未獲得.利用互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解.答案（1）記“甲獲得‘合格證書’”為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B，“丙獲得‘合格證書’”為事件C，則，,從而，所以丙獲得“合格證書”的可能性大.（2）記“甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得‘合格證書’”為事件D，則.故甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得“合格證書”的概率為.四、數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識.主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息、利用圖表展示數(shù)據(jù)、構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)、解釋數(shù)據(jù)獲取知識.其中數(shù)據(jù)包括記錄、調(diào)查和試驗(yàn)獲得的數(shù)集，還包括通過互聯(lián)網(wǎng)、文本、聲音、圖象、視頻等數(shù)字化得到的數(shù)集.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升獲取有價值信息的意識和能力，適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識.本章統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合的問題體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).例7食品有限公司對生產(chǎn)的某種面包按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)分成五個不同等級，等級系數(shù)X依次為.現(xiàn)從該種面包中隨機(jī)抽取20件樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：從等級系數(shù)為的樣品中一次性任取兩件（假定每件樣品被取出的可能性相同）.（1）求取出的兩件樣品是等級系數(shù)為A與D的概率；（2）求取出的兩件樣品是不同等級的概率.解析（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出A級、D級、E級所取的樣品數(shù)，將等級系數(shù)為A的2件樣品分別記為，等級系數(shù)為D的3件樣品分別記為，等級系數(shù)為E的2件樣品分別記為，列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，利用古典概型的概率公式計(jì)算概率.（2）找出滿足條件“取出的兩件樣品是不同等級”的樣本點(diǎn)，利用古典概型的概率公式計(jì)算概率.答案（1）A級所取的樣品數(shù)為，D級所取的樣品數(shù)為，E級所取的樣品數(shù)為.將等級系數(shù)為A的2件樣品分別記為；等級系數(shù)為D的3件樣品分別記為；等級系數(shù)為E的2件樣品分別記為.現(xiàn)從這7件樣品中一次性任取兩件，共有21個不同的結(jié)果，分別為.記事件M為“取出的兩件樣品是等級系數(shù)為A與D”，則事件M所包含的樣本點(diǎn)有6個，分別為.所以事件M的概率.（2）方法一：記事件N為“取出的兩件樣品是等級系數(shù)為A與E”，則事件N所包含的樣本點(diǎn)有4個，分別為，所以事件N的概率.記事件Q為“取出的兩件樣品是等級系數(shù)為D與E”，則事件Q所包含的樣本點(diǎn)有6個，分別為，所以事件Q的概率.因?yàn)槭录榛コ馐录匀〕龅膬杉悠肥遣煌燃壍母怕蕿?方法二：記事件L為“取出的兩件樣品是不同等級”，則事件為“取出的兩件樣品是同等級”，所以事件所含的樣本點(diǎn)有5種，分別為，所以事件的概率.即取出的兩件樣品是不同等級的概率為.例82019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，按閱讀時間分組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制了頻率分布直方圖如圖所示已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍.（1）求a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人參加?！爸腥A詩詞比賽”.經(jīng)過比賽后，從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來自不同組別的概率.解析（1）由頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1計(jì)算出a的值，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為每個小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘對應(yīng)矩形的高之和，可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值.（2）從第三、四、五組抽取的人數(shù)分別為3，2，1，從第三組抽取的3人設(shè)為，從第四組抽取的2人設(shè)為D,E，從第五組抽取的1人設(shè)為F，列出