現(xiàn)代控制理論第三章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性

第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性非線性系統(tǒng)------------>線性系統(tǒng)

線性化處理第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性３.１能控性的概念３.２線性定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)３.３線性定常系統(tǒng)的能觀測性３.４離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性３.５時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性３.６能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型３.７系統(tǒng)的能控性與能觀測性的對偶原理３.8線性系統(tǒng)的結構分解３.9傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)３.10傳遞函數(shù)中零極點對消與能控性與能觀測性的關系第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3.1問題的提出--能控性的概念

經典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出能控性和能觀測性的概念。

第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎上的，即用狀態(tài)方程和輸出方程來描述系統(tǒng)。狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y(t)的變化。由此可知，狀態(tài)空間描述從本質上提示了系統(tǒng)輸入輸出關系與內部結構的內在聯(lián)系，這為深入研究系統(tǒng)內部結構提供了可能性。更為重要的是60年代初期卡爾曼提出了能控性和能觀測性概念。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性能控性(Controllability)和能觀性(Observability)正是定性地分別描述輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力，輸出y(t)對狀態(tài)x(t)的反映能力。所謂能控性，是指外加控制作用u(t)對受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)和輸出變量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意轉移的問題。所謂能觀測性，是指由系統(tǒng)的量測輸出向量y(t)識別狀態(tài)向量x(t)的測辨能力，它回答了能否通過y(t)的量測值來識別x(t)的問題。當給定了初始狀態(tài)x(t0)以及控制作用u(t)后，系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)x(t)就唯一地確定下來。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性對于給定的系統(tǒng)，當外加控制及作用點確定之后，有些狀態(tài)分量能受外加控制作用u(t)的控制，有些狀態(tài)向量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的狀態(tài)稱為能控狀態(tài)，不受u(t)控制的狀態(tài)稱不能控狀態(tài)。同樣，對于給定的系統(tǒng)，有些狀態(tài)能夠通過輸出y(t)確定下來，有些狀態(tài)不能通過y(t)確定下來。能夠通過y(t)而確定下來的狀態(tài)稱為能觀狀態(tài)，不能通過y(t)而確定下來的狀態(tài)稱為不能觀狀態(tài)。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性能控性嚴格上說有兩種，一種是系統(tǒng)控制輸入U(t)對系統(tǒng)內部狀態(tài)X(t)的控制能力，另一種是控制輸入U(t)對系統(tǒng)輸出y(t)的控制能力。但是一般沒有特別指明時，指的都是狀態(tài)的能控?！拜斎肽芊窨刂茽顟B(tài)的變化”——能控性“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來”——能觀性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性能控性和能觀測性的概念在現(xiàn)代控制理論中無論是理論上還是實踐上都是非常重要的。事實上，能控性與能觀測性通常決定了最優(yōu)控制問題解的存在性。例如，在極點配置問題中，狀態(tài)反饋的存在性將由系統(tǒng)的能控性決定；在觀測器設計和最優(yōu)估計中，將涉及到系統(tǒng)的能觀測性條件。在最優(yōu)控制問題中，其任務是尋找輸入u(t)

，使狀態(tài)達到預期的軌線。就定常系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)不受控于輸入u(t)

，當然就無法實現(xiàn)最優(yōu)控制。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性為了改善系統(tǒng)的品質，在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息?？墒菭顟B(tài)x(t)的值通常是難以測取的，往往需要從測量到的y(t)中估計出狀態(tài)x(t)

；如果輸出y(t)不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)

，那么就無法實現(xiàn)對狀態(tài)的估計。狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)的一種完全的描述。判別系統(tǒng)的能控性和能觀測性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達式。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性

分析：上述動態(tài)方程寫成方程組形式：【例】（1）第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性22u第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性從狀態(tài)方程來看，輸入u不能控制狀態(tài)變量x1，所以狀態(tài)變量x1是不能控的；從輸出方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量x2

，所以狀態(tài)變量x2是不能觀測的。即狀態(tài)變量x1不能控、可觀測；狀態(tài)變量x2能控、不可觀測。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性（2）

分析：上述動態(tài)方程寫成方程組形式：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性由于狀態(tài)變量x1、x2都受控于輸入u，所以系統(tǒng)是能控的；輸出y能反映狀態(tài)變量x1，又能反映狀態(tài)變量x2的變化，所以系統(tǒng)是可觀測的。即狀態(tài)變量x1能控、可觀測；狀態(tài)變量x2能控、可觀測。2u第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3）

分析該系統(tǒng)的能控性及能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性

從狀態(tài)方程看，輸入u能對狀態(tài)變量x1、x2施加影響，似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是能控的；從輸出方程看，輸出y能反映狀態(tài)變量x1、x2的變化，似乎系統(tǒng)是可觀測的。實際上，這個系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量既不是完全能控的，也不是完全可觀測的。分析：上述動態(tài)方程寫成方程組形式：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性（1）狀態(tài)的能控性——定義定義若存在輸入信號，能在有限時間內，將系統(tǒng)的任意一個初始狀態(tài)轉移到終端狀態(tài)，那么，稱該系統(tǒng)的狀態(tài)變量在時刻是完全能控的，或簡稱系統(tǒng)在時刻t0

是能控的。否則，系統(tǒng)就是不完全能控的，或簡稱不能控的。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性（2）輸出能控性——定義若系統(tǒng)存在一個輸入信號在有限時間內，能將輸出量轉到任意給定的輸出則稱系統(tǒng)在時刻是輸出能控的。

第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性３.２線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的定義定義3.1（狀態(tài)能控性定義）：對于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間間隔[t0,tf]內，使得系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)x(t0)轉移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)

，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性關于能控性定義的說明：（1）上述定義可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明。假如相平面中的P點能在輸入的作用下轉移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點是能控狀態(tài)。假如能控狀態(tài)“充滿”整個狀態(tài)空間，即對于任意初始狀態(tài)都能找到相應的控制輸入u(t)，使得在有限時間間隔內，將此狀態(tài)轉移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全能控。PP3P1P2PnP40x1x2能控狀態(tài)的圖形說明第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性PP3P1P2PnP40x1x2能控狀態(tài)的圖形說明第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性二維系統(tǒng)狀態(tài)轉移過程如圖所示系統(tǒng)能控。（2）在能控性定義中，把系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為狀態(tài)空間中的任意有限點，而終端狀態(tài)也規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意點，這種定義方式不便于寫成解析形式。為了便于數(shù)學處理，而又不失一般性，我們把上面的能控性定義分兩種情況敘述：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性對于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在[t0,tf]有限時間間隔內，將系統(tǒng)由任意非零初始狀態(tài)x(t0)轉移到零狀態(tài)x(tf)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。①把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點，而終端目標規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點。于是原能控性定義可表述如下：任意初態(tài)零終態(tài)狀態(tài)完全能控第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性②把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點，即，終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限點，則可達定義表述如下：存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限時間間隔內，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)到任一指定的非零終端狀態(tài)是狀態(tài)完全可達的，簡稱系統(tǒng)是可達的（能達的）。對于給定的線性定常系統(tǒng)，如果轉移，則稱此系統(tǒng)任意初態(tài)零終態(tài)狀態(tài)完全可達第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性，能否把任意初始對于線性定常系統(tǒng)，能控性和可達性是等價的；在以后對能控性的討論中，均規(guī)定目標狀態(tài)為狀態(tài)空間中的原點，并且我們所關心的，只是是否存在某個分段連續(xù)的輸入狀態(tài)轉移到零狀態(tài)，并不要求算出具體的輸入和狀態(tài)軌線。注：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達性是等價的；離散系統(tǒng)、時變系統(tǒng)，嚴格地說兩者是不等價的，有可能系統(tǒng)不完全可控卻完全可達。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的判定直接由A，B矩陣的結構判斷系統(tǒng)的能控性用能控標準型判斷系統(tǒng)的能控性用對角標準型與約當標準型判斷系統(tǒng)的能控性直接由傳遞函數(shù)判斷系統(tǒng)的能控性只有少數(shù)簡單的系統(tǒng)可以從結構圖或信號流圖直接判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性，如果系統(tǒng)結構、參數(shù)復雜，只能借助于數(shù)學方法進行分析與研究，才能得到正確的結論。線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的判定方法第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性直接由A，B矩陣的結構判斷系統(tǒng)的能控性定理：系統(tǒng)

狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性矩陣

滿秩，即證：設系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控，則任意非零必為能控狀態(tài)。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性其解為如果系統(tǒng)在上完全能控，則有

第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性令因u為r維向量，則也為r維向量。即第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性1）必要性已知系統(tǒng)完全能控，證明rankQc=n，由（1），（2）式可知，要使系統(tǒng)能控，即在的時間間隔內，使系統(tǒng)由任意給定的初始狀態(tài)X(0)=X0

轉移到狀態(tài)空間原點的相應容許控制u(t)

存在，那么必須要求（2）式中的有一確定的解，這就要求能控性判別陣必須滿足即：2）充分性：略。。。。。。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】已知某系統(tǒng)如下，試判斷其是否能控。

解:

顯然其秩為1，不滿秩，故系統(tǒng)為不能控的。

第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】考察如下系統(tǒng)的能控性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性解：顯然故系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】試用能控性判據(jù)判斷圖3.1-1所示橋式電路的能控性圖3.1-1電橋電路第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性。電路的狀態(tài)方程如下：

解

選取狀態(tài)變量：能控性矩陣為

S3

2=n，系統(tǒng)能控；反之當，即電橋處于平衡狀態(tài)時，第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性

當時，rankS3系統(tǒng)不能控，顯然，u不能控制x2。，第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】試用能控性判據(jù)判斷圖3.1-２所示并聯(lián)網絡的能控性圖3.1-２并聯(lián)網絡第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性解：

網絡的微分方程為

式中，

,狀態(tài)方程為

實際上，設初始狀態(tài)，u只能使，而不能將與分別轉移到不同的數(shù)值，即不能同時控制住兩個狀態(tài)。當R1C1≠R2C2時，系統(tǒng)能控。當R1=R2,C1=C2，有R1C1=R2C2，，系統(tǒng)不能控；第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性于是第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判斷下列狀態(tài)方程的能控性

解

顯見S4矩陣的第二、三行元素絕對值相同，，系統(tǒng)不能控。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性故系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。或由第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性2.用能控標準型判斷系統(tǒng)的能控性

在研究狀態(tài)空間表達式的建立問題時，曾得到單輸入-單輸出定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性其能控性矩陣為與該狀態(tài)方程對應的能控性矩陣是一個右下三角陣，且其副對角線元素均為1，系統(tǒng)一定是能控的。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3.用對角標準型與約當標準型判斷系統(tǒng)的能控性設系統(tǒng)具有兩兩相異的特征值則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是系統(tǒng)經線性非奇異變換后的對角線規(guī)范形式1）對角標準型:中，不包含元素全為0的行。當A為對角陣且含有相同元素時，上述判據(jù)不適用，應根據(jù)能控性矩陣的秩來判斷。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判斷下列系統(tǒng)的能控性1）2）完全能控狀態(tài)不完全能控X2

狀態(tài)不能控3）狀態(tài)不完全能控第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3）4）5）狀態(tài)完全能控狀態(tài)不完全能控X2狀態(tài)不能控狀態(tài)完全能控第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。

解：在應用定理判別準時，應注意到“特征值互不相同”這個條件，如果特征值不是互不相同的，即對角陣應根據(jù)能控性矩陣的秩判據(jù)來判斷。對于本題：

，系統(tǒng)不能控。中含有相同元素時，上述判據(jù)不適用。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性設系統(tǒng)具有重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是，經非奇異變換后的約當規(guī)范形式為

其中與每個約當小塊的最后一行相應的所有元素不完全為零。２）約當標準型：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】考察如下系統(tǒng)的能控性狀態(tài)完全能控當A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當塊時，例如，以上判據(jù)不適用，能控性矩陣的秩來判斷。或者有以下判別方法應根據(jù)2）約當規(guī)范型系統(tǒng)（有重特征值）可控性判別當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的最后一行組成的矩陣是行線性無關的。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3）約當型：若系統(tǒng)矩陣A為約當型，則系統(tǒng)能控的充要條件是：輸入矩陣B中對應于互異的特征值的各行，沒有一行的元素全為零；輸入矩陣B中與每個約當塊最后一行相對應的各行，沒有一個行的元素全為零第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性1）2）狀態(tài)不完全能控X2狀態(tài)不能控狀態(tài)完全能控狀態(tài)完全能控第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性4）3）狀態(tài)完全能控狀態(tài)不能控第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性4.直接由傳遞函數(shù)判斷系統(tǒng)的能控性狀態(tài)能控的條件也可用輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)或傳遞矩陣描述。狀態(tài)能控性的充要條件是在輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。如果發(fā)生相約，那么在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不能控。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】考慮下列傳遞函數(shù)：在此傳遞函數(shù)的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統(tǒng)狀態(tài)不能控。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性將該傳遞函數(shù)寫為狀態(tài)方程，可得到同樣的結論。狀態(tài)方程為由于能控性矩陣的秩為1，狀態(tài)不能控。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性３.１能控性的概念３.２線性定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)３.３線性定常系統(tǒng)的能觀測性３.４離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性３.５時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性３.６能控規(guī)范型和可觀測規(guī)范型３.７系統(tǒng)的能控性與能觀測性的對偶原理３.8線性系統(tǒng)的結構分解３.9傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)３.10傳遞函數(shù)中零極點對消與能控性與能控觀測性的關系第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性控制系統(tǒng)大多采用反饋控制形式。在現(xiàn)代控制理論中，其反饋信息是由系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成。但并非所有系統(tǒng)的狀態(tài)變量在物理上都能測取到，于是便提出能否通過對輸出的測量獲得全部狀態(tài)變量的信息，這便是系統(tǒng)的能觀測問題。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀測性的定義定義

系統(tǒng)方程為：若對任意給定的輸入u(t)，總能在有限的時間段[t0,tf]內，根據(jù)系統(tǒng)觀測y(t)，能唯一地確定時刻t0的狀態(tài)X(t0)，那么稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)可觀測的。若系統(tǒng)在所討論時間段內每一時刻都能觀測，則稱是完全能觀測的。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的任意形式的運動均可由輸出完全反映。含義：能觀測性是研究狀態(tài)和輸出量的關系，即通過輸出量在有限時間內的量測，能否把系統(tǒng)的狀態(tài)識別出來。狀態(tài)能觀測第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性說明：1）在定義中之所以把能觀測性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定，這是因為一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定輸入，利用狀態(tài)方程的解

就可以求出各個瞬間狀態(tài)。

2）能觀性表示的是輸出y(t)反映狀態(tài)矢量x(t)的能力，與控制作用沒有直接關系，所以分析能觀性問題時，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)即可，即第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測性的判別準則

1、能觀測性判別準則Ⅰ

，

線性定常連續(xù)系統(tǒng)可觀測的充分必要條件是由A、C構成的能觀測性判別矩陣其狀態(tài)完全滿秩，即第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性證明：1）必要性：已知系統(tǒng)完全能觀測，求證滿秩。輸出可表示為：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性由上式可見，要使系統(tǒng)能觀測，即在時間間隔內，根據(jù)觀測得到的y(t)而唯一確定X0，則必須要求滿秩2）充分性略。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】系統(tǒng)動力學方程為

試判斷能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性解：故此系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能觀測的。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】設系統(tǒng)方框如圖所示，試判斷其能控性與能觀測性解：系統(tǒng)方程為向量形式：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性故系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測。故系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判別下列系統(tǒng)的能觀測性

∴系統(tǒng)可觀。解：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判別下面系統(tǒng)的能觀測性，（2）（1），第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性解：（1），系統(tǒng)是不可觀測的。系統(tǒng)是不可觀測的。

，，（2），第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性2、能觀測性判別準則Ⅱ設線性定常連續(xù)系統(tǒng)，A陣具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經非奇異變換后的對角標準型中的矩陣中不含元素全為零的列。特別說明：當為對角陣但含有相同元素時，上述判據(jù)不適用，可根據(jù)能觀測性判別矩陣的秩來判別。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判別能觀測性，解：系統(tǒng)可觀測。解：系統(tǒng)不可觀測。（1），（2）第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性（3）（4）解：系統(tǒng)不可觀測。解：系統(tǒng)可觀測。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3、能觀測性判別準則Ⅲ設線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有重特征值，且每一個特征值只對應一個獨立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經非奇異變換后的約當標準型，A陣

，中的矩陣約當小塊首列相對應的那些列的中與每個元素不全為零。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】判別能觀測性，（2），，可觀測，

（1）可觀測。（3）（4）可觀測不可觀測第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性（5）系統(tǒng)狀態(tài)可觀測（6）狀態(tài)不完全可觀測不可觀測第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性4、可觀測標準型一個可觀測系統(tǒng)，當A、C陣不具有可觀測標準型時，可選擇適當?shù)淖儞Q化為可觀測標準型。動態(tài)方程中，A、C陣具有如下形式，稱為可觀測標準型：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性5、由傳遞函數(shù)判斷能觀性線性定常單輸入——單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件，其狀態(tài)——輸出的傳遞函數(shù)無相消因子，即無零極點相消現(xiàn)象。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】證明下列系統(tǒng)是不能觀測的。式中解：由于能觀測性矩陣第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性注意到即，故該系統(tǒng)是不能觀測的。

事實上，在該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中存在相約因子。由于又Y(s)和X1(s)之間的傳遞函數(shù)為故Y(s)與U(s)之間的傳遞函數(shù)為X1(s)和U(s)之間的傳遞函數(shù)為第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性注釋:

當且僅當系統(tǒng)是狀態(tài)能控和能觀測時，其傳遞函數(shù)才沒有相約因子。這意味著，可相約的傳遞函數(shù)不具有表征動態(tài)系統(tǒng)的所有信息。分子、分母多項式中的因子（s+1）可以約去。這意味著，該系統(tǒng)是不能觀測的，或者說一些不為零的初始狀態(tài)x(0)不能由y(t)的量測值確定。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】己知某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求對應的傳遞函數(shù)，并判斷能控性與能觀性。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性解：寫成矩陣形式，得第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性3.4離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性一、線性離散定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)1、能控性定義：如果對任意初態(tài)X(0)=X0，可找到一個容許控制u(k)，經過有限個采樣周期使X(k)=0，則稱此狀態(tài)是完全能控的。2、能控性判據(jù)：離散定常系統(tǒng),狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣滿秩即第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】設離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試分析能否找到控制作用，將初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)。解：利用遞推法：第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性為檢驗該系統(tǒng)能否在第一步由x(0)轉移到零狀態(tài)，對上式令x(1)=0，若能夠解出u(0)，則表示在第一步上就可以把給定初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)，且控制作用為u(0)。為此，令x(1)=0，則有u(0)+3=0，即

u(0)=-3,表明對該系統(tǒng)若取u(0)=-3，能將在第一步上轉移到零狀態(tài)。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】設離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試分析能否找到控制作用，將初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)。解：利用遞推法：若令X(1)=0，該方程解不出u(0)，不能在第一步由初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)，需再遞推一步。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性若令X(2)=0，該線性方程對u(0)、u(1)無解，說明該系統(tǒng)不能在第二步由初始狀態(tài)轉移到原狀態(tài)，還需再遞推一步。第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性第三章線性控制系統(tǒng)式的能控性和能觀測性【例】試判別下面離散系統(tǒng)的能控性。

解：

所以系統(tǒng)是不能控的。第三章線性控制