高考數(shù)學證明線線、線面垂直的方法綜合試題(解析版)

高考數(shù)學證明線線、線面垂直的方法綜合試題（解析版）數(shù)學綜合試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．用一個平面去截正方體，如果截面是三角形，則截面三角形的形狀不可能是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【正確答案】A【思路點撥】畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，結合正方體的性質，即可判斷.【步步為營】如圖1，易知為正三角形，于是答案B,C,D都有可能，對A，如圖2，若為直角三角形，根據(jù)正方體的對稱性，不妨假設EF⊥FG，由正方體的性質可知：，，所以平面，而平面，于是過同一點作出了一個平面的兩條垂線，顯然不成立，A錯誤.故選：A.2．如圖，四邊形是正方形，平面，則圖中互相垂直的平面共有（）A．4組 B．5組 C．6組 D．7組【正確答案】D【思路點撥】首先由線面垂直的判定得到圖中的線和面的關系，再由面面垂直的判定得到結論．【步步為營】解：因為平面，且平面，，都經(jīng)過直線，由面面垂直的判定得到平面，，都垂直于平面，而平面四邊形為正方形，又可得到垂直于面，所以面垂直于面，同理可得垂直于平面，垂直于平面，即可得到平面垂直于，垂直于．而，，，則平面，又平面，可得平面平面．又為直角，所以二面角為鈍角，故圖中互相垂直的平面共有7組．故選：D．3．下列四個命題：①所在平面外一點P到角的兩邊距離相等，若點P在平面上的射影H在的內部，則H在的平分線上；②P是所在平面外一點，點P到三個頂點的距離相等，則點P在平面上的射影O是的外心；③P是所在平面外一點，點P到三邊的距離相等，則點P在平面上的射影O是的內心；④P是所在平面外一點，點，，兩兩垂直，且，則點P在平面上的射影O是的中心.其中，正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】D【思路點撥】①,如圖所示，證明，,,即得結論正確；②,如圖所示，證明,即得結論正確；③,如圖所示，證明在的平分線上，所以點是的內心,即得結論正確；④,如圖所示，證明,點是的垂心,即得結論正確.【步步為營】①,如圖，由題得，因為平面,所以,因為平面,所以平面,所以,同理,所以H在的平分線上，所以該結論正確；②，如圖所示，平面,O是的外心,所以該結論正確；③,如圖所示，由題得，同①方法可證在的平分線上，同理可證在的平分線上，所以點是的內心,所以該結論正確；④，如圖所示，點，，兩兩垂直，且，所以,因為平面,所以平面,所以,設是中點，所以,又，平面,所以平面,所以,同理,所以點是的垂心.又，所以點是的中心.所以該結論正確.故選：D4．在正方體中，Q是正方形內的動點，，則Q點的軌跡是（）A．點 B．線段 C．線段 D．平面【正確答案】B【思路點撥】如圖，連接,證明,又，即得解.【步步為營】如圖，連接,因為平面,所以平面,又平面,所以,又.所以點在線段上.故選：B5．在三棱錐中，，，則（）A． B． C． D．【正確答案】D【思路點撥】若為中點，連接，由已知易得、，根據(jù)線面垂直的判定及性質可證，即可得.【步步為營】若為中點，連接，由知：；由知：，即有，又，則面，而面，∴，即.故選：D6．如圖，在長方體中，，，E，F(xiàn)分別是平面與平面的對角線交點，則點E到直線AF距離為（）A． B． C． D．【正確答案】C【思路點撥】中，由長方體性質求得三邊長，再由余弦定理求得的余弦，然后求得正弦后可得所求距離．【步步為營】連接，因為是長方體，因此其棱與相應的面垂直，從而垂直于該面中的直線，，，，，，，則，設到的距離為，則．故選：C．7．已知是三條不同的直線，是三個不同平面，則下列說法正確是（）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【正確答案】B【思路點撥】對于A，C，D，舉特例說明即可判斷；對于B，利用線面垂直的判定即可判斷作答.【步步為營】對于A，直三棱柱的一條側棱所在直線為c，底面三角形兩邊所在直線分別為a，b，顯然有，而a與b相交，A不正確；對于B，因，則過直線a作兩個相交平面，，，因，則，又，即，因此，，而c與m相交，，于是得，B正確；對于C，因，令，在平面內作直線，則，顯然與不平行，C不正確；對于D，直三棱柱的兩個側面所在平面分別為平面，底面所在平面為平面，顯然有，而與相交，D不正確.故選：B8．已知正方體中，點分別是線段上的動點，觀察直線與，與，得出下列結論：①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在點，使得；其中正確的結論是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【正確答案】A【思路點撥】根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關系，結合正方體的性質，分別分析選項，利用排除法可得結論.【步步為營】對于①，當點與重合時，,，且，∴平面，∵對于任意給定的點，都有平面，所以對于任意給定的點，存在點，使得，故①正確．對于②，只有平面，即平面時，才能滿足對于任意給定的點，存在點，使得，∵過點與平面垂直的直線只有一條，而，故②錯誤．對于③，只有垂直于在平面中的射影時，，故③正確．對于④，只有平面時，④才正確，因為過點的平面的垂線與無交點，故④錯誤．綜上，正確的結論是①③，故選：A．【化龍點睛】方法點睛：垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.9．如圖1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在線段PC上，AD⊥PC．將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，設PB的中點為N，如圖2．對于圖2，下列選項錯誤的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN【正確答案】A【思路點撥】由已知利用平面與平面垂直的性質得到PD⊥平面ABCD，判定C正確；進一步得到平面PCD⊥平面ABCD，結合BC⊥CD判定B正確；再證明AB⊥平面PAD，得到△PAB為直角三角形，判定D正確；可證明平面⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，則平面PAB與平面PDC的交線⊥平面PBC，矛盾，可判斷A【步步為營】圖1中AD⊥PC，則圖2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，則PD⊥AC，故選項C正確；由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故選項B正確；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，則AB⊥PA，即△PAB是以PB為斜邊的直角三角形，而N為PB的中點，則PB＝2AN，故選項D正確．由于BC⊥平面PDC，又平面∴平面⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，則平面PAB與平面PDC的交線⊥平面PBC由于平面PDC，則平面PAB與平面PDC的交線顯然不與平面PBC垂直，故A錯誤故選：A10．已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內過點B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點D的變化，點P的軌跡長度為（）A． B． C． D．π【正確答案】C【思路點撥】根據(jù)題意，先確定點P軌跡的形狀，進而求出軌跡的長度即可.【步步為營】由題意，在平面BCD內作BQ⊥CD，交CD于Q，因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD與平面ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q兩點重合，于是隨著點D的變化，BP⊥CD始終成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始終成立，即得點P的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分，由題意知隨著點D的變化，∠BCD的范圍為，可得點P的軌跡是以BC為直徑（半徑為1）的圓的，即得點P的軌跡長度為.故選：C.二、填空題11．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有下列結論：①；②；③；④.其中正確的有______.（填序號）【正確答案】①③④【思路點撥】對于①③④可以證明線面垂直，線線垂直即得證；對于②，假設，證明,與矛盾，所以錯誤.【步步為營】還原正方體如圖所示，①，在正方體中，平面,平面,所以，所以正確；②，假設，又，平面,所以平面，所以,與矛盾，所以錯誤；③，因為平面,所以平面,所以，所以正確；④，因為平面,所以平面,所以，所以正確.故答案為：①③④12．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．當＝__時，D1E⊥平面AB1F．【正確答案】1【思路點撥】要D1E⊥平面AB1F，先確定D1E⊥平面AB1F內的兩條相交直線，由三垂線定理易證D1E⊥AB1，同理證明D1E⊥AF即可．【步步為營】解：連接A1B，則A1B是D1E在面ABB1A內的射影，∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF．連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內的射影．∴D1E⊥AF，，因為，所以平面，又平面，所以DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中點．∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF，即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F．∴＝1時，D1E⊥平面AB1F．故答案為：1.13．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起，設折起后點A的位置為A′，且平面A′BD⊥平面BCD，則下列四個命題中正確的是__．①A′D⊥BC；②三棱錐A′﹣BCD的體積為；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BD⊥平面A′DC．【正確答案】③④【思路點撥】直接利用線面垂直和線線垂直及面面垂直之間的轉換，等體積轉換判斷出正確的結論．【步步為營】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示：對于①：取BD中點E,連接A′E，AD＝AB＝1，則A′E⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD平面BCD=BD，則A′E⊥平面BCD,A′E⊥BC,若A′D⊥BC，A′DA′E=A′，BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD,與已知矛盾，故①錯誤．對于②：，故②錯誤；對于③：由于平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD平面BCD=BD，，所以DC⊥平面A′BD，故③正確；對于④：由于平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD平面BCD=BD，，所以DC⊥平面A′BD，由于DC?平面A′DC，所以平面A′BD⊥平面A′DC，故④正確．故：③④正確．故答案為：③④．14．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，從，到直線（庫底與水壩的交線）的距離和分別為和，的長為，甲乙之間拉緊的繩長為，則庫底與水壩所在平面夾角的余弦值為___________.【正確答案】【思路點撥】如圖所示，過點作,過點作,連接.先證明庫底與水壩所在平面夾角為或其補角，再求出，即得解.【步步為營】如圖所示，過點作,過點作,連接.由題得,所以庫底與水壩所在平面夾角為或其補角.由于所以,因為平面,所以平面,又平面,,所以,所以，所以庫底與水壩所在平面夾角的余弦值為.15．過所在平面外一點，作，垂足為，且點到此三角形三邊的距離相等，則點是的___________（內心，外心，重心，垂心）；【正確答案】內心【思路點撥】如圖：設分別垂直于于點，證明，進而可得，再證明，，，即可得點是的內心.【步步為營】如圖：設分別垂直于于點，由題意可得：，因為面，面，可得，，，在、和中，由，可得，所以，因為面，面，可得，又因為，，所以面，因為面，所以，同理可證：，，因為，所以點到三邊的距離相等，所以點是的內心，故答案為：內心.16．已知正六邊形的邊長為，線段垂直于此正六邊形所在的平面，且，則點到的距離等于______________.【正確答案】【思路點撥】連接，證明出平面，可得出，利用勾股定理求出，即為所求.【步步為營】如下圖所示：

因為六邊形為正六邊形，則，，，則，平面，平面，則，同理可得，，平面，平面，，因為，則，所以，.故答案為：.17．如圖，在矩形中，，．將，分別沿，向上翻折至，，則取最小值時，二面角的正切值是______．【正確答案】【思路點撥】分別取，中點為、，連接，，，，則可證明平面平面，平面平面，分別記，為點，在底面的投影，當且僅當為平面與平面的公垂線段時長度最小，此時，進而得也是平面與平面的公垂線，再根據(jù)幾何關系，尋找二面角的平面角，計算求解.【步步為營】分別取，中點為、，連接，，，．因為四邊形為矩形，，，所以翻折前，四邊形和四邊形都是正方形，則，因此，，即，，，，所以翻折后仍有，，，，又，且，平面，所以平面．同理，平面，且平面平面．又，且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以、都是平面與平面的公垂線．又，平面，所以平面平面，平面平面．分別記，為點，在底面的投影，則點在底面的投影落在直線上，且沿方向運動；點在底面的投影落在直線上，且沿方向運動．當且僅當為平面與平面的公垂線段時長度最小，此時，故平面，故．又∵，∴，，，共面，平面平面，也是平面與平面的公垂線，此時，∴，又，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴為的中點，∴為的中點，所以，因此，所以，將二面角單獨畫出如下圖．過點作于點，過點作于點，，，所以，因此，所以；同理，，則，過點作交于點，連接，則，所以即為二面角的平面角，則，因此，，又，，則為等腰直角三角形，所以，故，在中，，．故答案為：【化龍點睛】本題考查空間折疊問題的最值，線面垂直，面面垂直，二面角等，考查運算求解能力，邏輯推理能力，空間想象能力，是難題.本題解題的關鍵在于當且僅當為平面與平面的公垂線段時長度最小，進而求解.18．已知三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為_________．【正確答案】【思路點撥】本題首先可在中根據(jù)余弦定理得出，然后通過勾股定理得出，根據(jù)面面垂直的性質得出平面，外接球的球心到平面的距離為，再然后通過正弦定理求出的外接圓的半徑，最后根據(jù)求出外接球的半徑，即可求出外接球的表面積.【步步為營】在中，由余弦定理易知，，即，解得，因為，所以，因為平面平面且交于，平面，所以平面，外接球的球心到平面的距離為，設的外接圓的半徑為，外接球的半徑為，則由正弦定理得出，解得，，解得，外接球的表面積，故答案為：.【化龍點睛】關鍵點點睛：本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，考查面面垂直證明線面垂直，考查余弦定理與正弦定理的應用，考查數(shù)形結合思想，是難題.19．如圖所示，在平行四邊形中，為中點，，，.沿著將折起，使到達點的位置，且平面平面.若點為內的動點，且滿足，則點的軌跡的長度為___________.【正確答案】【思路點撥】根據(jù)給定條件探求出PB，PC在平面的射影PE，PD的關系，再在平面內建立平面直角坐標系，探討出動點P在內的軌跡即可作答.【步步為營】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，則平面，從而得PE，PD分別是PB，PD在平面內的射影，如圖，，，而，則，在所在平面內以點E為原點，射線ED、分別為x，y軸非負半軸建立平面直角坐標系，如圖，則，設，于是得，整理得，從而得點P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓M交分別于Q，N，顯然，圓M在內的部分是圓心角所對的弧，弧長為，所以點的軌跡的長度為.故答案為：20．已知正三棱柱的各棱長都是4，點是棱的中點，動點在側棱上，且不與點重合，設二面角的大小為，則的最小值為_________.【正確答案】【思路點撥】過作于，利用直棱柱性質知⊥側面，連接，過作于，連接，根據(jù)三垂線定理得，且，設，在直角中，求出；在直角中，求出，進而可得的最小值．【步步為營】（Ⅰ）過作于，連接，由直棱柱的性質可知，底面⊥側面，∴⊥側面連接，過作于，連接，根據(jù)三垂線定理得∴是二面角的平面角即設，則，在直角中，，在直角中，故，又，∴故當時，達到最小值，此時與重合故答案為：【化龍點睛】思路點睛：本題考查了空間直線與平面的位置關系和二面角等基礎知識，解題時要利用二面角的定義找到是二面角的平面角，再構造的函數(shù)，進而求得最小值，考查學生的空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，屬于較難題.三、解答題21．如圖，在三棱柱中，底面，D為的中點，點P為棱上的動點（不包括端點），，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【思路點撥】（1）證出，，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）取的中點E，連接，根據(jù)，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設點P的坐標為，求出平面的一個法向量，再利用線面角的向量求法即可求解.【步步為營】（1）因為，，所以.因為底面，平面，所以.又因為，所以.因為，，，，平面，所以平面.（2）如圖，取的中點E，連接.由，可得平面，又由，可得，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.由，，可得，所以，，，，.設點P的坐標為，平面的法向量為.由，，有，取，則，，可得平面的法向量.又由，設直線與平面所成的角為.由，，，有.令，，有，故當時，，的最大值為，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.22．在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，直線平面，，，，點P在棱上.（1）求證：；（2）若P是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；（3）若，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【思路點撥】（1）先推導出，，從而平面，即可證明（2）以A為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標系.利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可【步步為營】（1）平面，，，，平面，又平面，.（2），，，以A為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標系.則，，，，，.設異面直線與所成的角為，.所以異面直線與所成角的余弦值為.（3）平面，所以平面的一個法向量為.，所以點P為的三等分點且此時.在平面中，，.設平面的一個法向量為，則，所以，令，則..又因為二面角的大小為銳角，二面角的余弦值為.23．如圖1所示，在邊長為12的正方形中，點B，C在線段上，且，作，分別交?于點?P，作，分別交?于點?Q，將該正方形沿?折疊，使得與重合，構成如圖2所示的三棱柱.（1）三棱柱中，求證：平面；（2）求平面將三棱柱分成上?下兩部分幾何體的體積之比；（3）試判斷直線是否與平面平行，并說明理由.【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）直線與平面不平行，理由見解析.【思路點撥】（1）根據(jù)，得到，再由，結合線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）由（1）知：平面，利用體積公式，進而求得上下兩部分的體積比；（3）以為原點，分別為軸，建立的空間直角坐標系，求得平面的法向量，結合，即可得到結論.【步步為營】（1）在三棱柱中，因為，所以，從而有，所以，又因為且，所以平面.（2）由（1）知：平面，又由，所以,所以,又因為，所以平面將三棱柱分成上、下兩部分幾何體的體積比為：.（3）直線與平面不平行.理由如下：以為原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，則，設平面的法向量為，則，取，可得，即，因為，所以直線與平面不平行.24．如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC＝6.如圖2，將圖1中△DAC沿AC折起，使得點D在平面ABC上的正投影G在△ABC內部，點E為AB的中點，連接DB，DE，三棱錐D-ABC的體積為12.對于圖2的幾何體.（1）求證：DE⊥AC；（2）求DB與平面DAC所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【思路點撥】（1）根據(jù)條件，先利用線面垂直的判定定理證明AC⊥平面DEF，進而證得DE⊥AC；（2）先用等積法算出DG，進而算出GF，然后建立空間直角坐標系，通過空間向量線面角的求法求得答案.【步步為營】（1）取AC的中點F，連接DF，CE，EF，則△DAC，△EAC均為等腰直角三角形.∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE?平面DEF，∴D