2024年人教版初中數(shù)學八年級下冊初二數(shù)學(人教版)-變量與函數(shù)-1教案

教案教學基本信息課題變量與函數(shù)學科數(shù)學學段：初中年級初二教材書名：數(shù)學（八年級下）出版社：人民教育出版社出版日期：教學目標及教學重點、難點教學目標：1.結(jié)合實例，理解變量與常量的概念，理解函數(shù)的概念.2.能在具體情境中找出變量，并會判斷兩個變量間是否存在函數(shù)關(guān)系.3.探索實際問題中的變化規(guī)律，經(jīng)歷“找出變量，建立函數(shù)模型表示變量之間的單值對應關(guān)系，解決實際問題”的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學模型.4.在利用函數(shù)刻畫實際問題中變化規(guī)律的過程中，滲透運動變化與聯(lián)系對應的思想，體會數(shù)學建模的思想，領(lǐng)略數(shù)學知識背后的人文素養(yǎng).教學重點：函數(shù)的概念.教學難點：理解函數(shù)概念的本質(zhì).教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設(shè)置意圖引入同學們好，我是北京師范大學亞太實驗學校的白月欣老師.在語文課本中，我們讀過刻舟求劍的故事，這個故事啟發(fā)我們要從運動變化的角度看待世界.那么用數(shù)學的視角怎么解讀這個故事呢？帶著這個問題，我將和同學們一起開啟變量數(shù)學的第一課：變量與函數(shù).通過寓言故事引入新課，換個視角研究問題知識概要產(chǎn)生變量數(shù)學的原因是我們處在一個萬物皆變的世界，行星在宇宙中的位置隨著時間而變化，氣溫隨著海拔而變化等；在數(shù)學中，也存在很多變化的過程，幾何方面比如圓的面積隨著半徑變化等；代數(shù)方面，比如代數(shù)式的值隨著x而變化等.在這些變化過程中，有些量發(fā)生變化，有些量不發(fā)生變化，為了研究這些變化的量之間的依賴關(guān)系，數(shù)學中逐漸形成了函數(shù)概念.在以后的學習中我們還會探究函數(shù)的不同表示方法以及包括一次函數(shù)在內(nèi)的特殊函數(shù)關(guān)系.了解產(chǎn)生函數(shù)的原因，為什么學習函數(shù)，本節(jié)課處于一個什么地位.關(guān)鍵內(nèi)容1.變量與常量概念的理解；2.函數(shù)概念的理解.了解這節(jié)課的重點.概念理解我們?nèi)绾卫斫膺@些概念呢？再來回看一下刻舟求劍的故事回看刻舟求劍的故事：戰(zhàn)國時，楚國有個人坐船渡江.船到江心，不慎把寶劍落入水中，馬上掏出一把小刀，在船舷上刻上個記號.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有記號的地方下水，去撈取掉落的寶劍.楚人撈了半天，始終不見寶劍的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是發(fā)生變化的？哪些量是沒有變的？繼續(xù)分析這個故事，為了方便計算，我們假設(shè)船是順流而行，并且勻速運動，速度為80m/min，水流速度為10m/min，設(shè)船行駛的路程為Sm，行駛時間為tmin.此時變化的量和沒有發(fā)生變化的量有哪些？他們之間有什么關(guān)聯(lián)？變化的量：船行駛的路程和時間；沒有變化的量：水流速度和船的速度經(jīng)過分析，可以得出：，即當行駛時間分別為1min，2min，3min，4min，5min時，楚國人掉落的寶劍距離他有多遠？為了更好的表示，我們用一個表格求值.在以上計算中，我們感受到S和t之間的一種數(shù)值對應關(guān)系.為了更深的體會這一點，我們再來看幾個例子.同學們在分析以下幾個題目時可以按暫停，自己做完再看看跟老師的答案一樣嗎？并且在填寫的過程中，思考三個問題：這個變化過程中，有哪些量？這些量有什么特征？它們之間有什么關(guān)系？例1電影《攀登者》，我們假設(shè)票價為40元/張.第一場售出150張，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元？設(shè)一場電影售出x張票，票房收入為y元.x/張150205310y/元來看看你求對了嗎？電影《攀登者》的票房可觀，是因為攀登珠峰的畫面感動著我們。那么為什么攀登珠峰會這么困難？我們來看下面這個例子.例2珠穆朗瑪峰北部在我國西藏定日縣境內(nèi)，適宜在5月份攀登.為了便于計算，我們假設(shè)當?shù)仄骄０?km，5月份平均最低溫度為℃，下表表示了溫度隨海拔而變化的情況.補充完整。海拔h/km45678…溫度t/℃1…根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)我們可以得出結(jié)論：海拔每上升1千米，溫度就下降6℃，因此計算出海拔8千米時的溫度是-23℃.可以看出攀登珠峰時會遇到的困難之一是溫度比較低.我們繼續(xù)往下看.例3一定質(zhì)量的氣體在體積不變時，假若溫度降低到，作為熱力學溫度的零度，熱力學溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數(shù)量關(guān)系：T=t+273，.t取定一些值時，T為多少？填寫下表：t/℃0317T/K我們要關(guān)注到這個例子中有一個表達式，表格中的數(shù)值都可以根據(jù)這個表達式求出.例4摩天輪轉(zhuǎn)動時，坐在座位上的人離開的高度是怎么變化的？下圖反映了摩天輪上一點的高度h/m與旋轉(zhuǎn)時間t/min之間的關(guān)系.根據(jù)圖形，填寫下表：t/min012345…h(huán)/m…這個例子中我們要關(guān)注到圖象的特征，根據(jù)圖象給出的信息填表時可以用在圖象上畫豎線的方法準確地找到h的值.【歸納1】這些問題反映了不同事物的變化過程.其中有些量的數(shù)值是變化的，例如時間t，路程s；售出票數(shù)x，票房收入y……有些量的數(shù)值是始終不變的，例如速度80m/min，票價40元/張……在一個變化過程中：數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.【歸納2】思考：（1）在上述每個變化過程中，變量是什么？（2）在每個變化過程中，是哪一個量隨另一個量的變化而變化的？（3）當一個變量取某個確定值時，另一個變量的值如何？如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.在刻舟求劍這個故事中，路程和時間是變量，速度是常量，路程隨著時間的變化而變化；當時間t取某個確定的值時，路程的值能算出來，并且只能算出來一個值.第2個變化過程：售票多少張與票房收入是變量，每張票的單價是常量，票房收入隨著票房售賣的票數(shù)而變化，當x取某個確定的值時，y的值能算出來，并且只能算出一個.第3個變化過程，海拔和溫度是變量，海拔隨著溫度的變化而變化，當x取某個確定的值時，y的值能算出來，并且只能算出一個.第4個變化過程：t和T是變量，27是常量，當t取某個確定的值時，T的值能算出來，并且只能算出一個.第5個變化過程：高度h和時間t是變量，當t取某個確定的值時，h的值能算出來，并且只能算出一個.一般地，在一個變化過程中如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).在填表格的過程中，我們發(fā)現(xiàn)自變量取定一個值時，函數(shù)對應也能取到一個值，那么可以得出：如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.比如在電影票售票這個例子中，x=150時，y=6000，則6000叫做自變量x的值為150時的函數(shù)值.情境兩個變量自變量誰是誰的函數(shù)刻舟求劍船行駛時間和路程時間路程是時間的函數(shù)票房問題票的數(shù)量和票房收入票的數(shù)量票房收入是票的數(shù)量的函數(shù)海拔與溫度變化海拔和溫度海拔溫度是海拔的函數(shù)熱力學溫度T與攝氏溫度t關(guān)系T與ttT是t的函數(shù)摩天輪問題高度和時間時間高度是時間的函數(shù)通過大量實例讓學生經(jīng)歷計算與分析過程，通過分析不同形式下的關(guān)系，自然生成函數(shù)的概念.感受表格中的數(shù)學規(guī)律，體會背后堅毅的品格的人文價值解析式中體會函數(shù)概念圖象中體會函數(shù)的概念經(jīng)過實例的分析對比，生成函數(shù)的概念鞏固應用同學們，從你身邊熟悉的實例中，尋找一個變化過程，分析一下存在的函數(shù)關(guān)系，加深你對函數(shù)的理解.可以按下暫停想一想。老師這里也準備了幾個實例，我們一起來看一下.1.你見過水中漣漪嗎？如右圖，圓形水波慢慢地擴大.在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時,圓的面積S分別為多少？這個變化過程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？（1）這個變化過程中，變量是圓的面積S和半徑r，（2）在這個變化過程中，圓的面積S隨著圓的半徑r的變化而變化（3）通過填表，可以得出當r取某個確定的值時，S都有唯一確定的值與其對應.所以可稱r是自變量，S是r的函數(shù).2.在計算器上按下面的程序操作：這個變化過程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？x130101y（1）這個變化過程中，變量是輸入的數(shù)x和顯示的計算結(jié)果y，（2）在這個變化過程中，y隨著x的變化而變化（3）通過填表，可以得出當x取某個確定的值時，y都有唯一確定的值與其對應.所以可稱x是自變量，y是x的函數(shù).3.下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份與人口數(shù)的對應關(guān)系，分析這個變化過程中,存在函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？年份人口數(shù)/億198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71這個變化過程中，變量是年份和人口數(shù)；人口數(shù)隨著年份的變化而變化；觀察表格可得出：當年份取某個確定的值時，人口數(shù)都有唯一確定的值與其對應，所以可稱年份是自變量，人口數(shù)是年份的函數(shù)。下圖是體檢時的心電圖，其中圖上點的橫坐標表示時間t，縱坐標表示心臟部位的生物電流y，在這個變化過程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？這個變化過程中，變量是時間t和生物電流y；生物電流y隨著時間t的變化而變化；觀察圖象可得出：當t取某個確定的值時，y都有唯一確定的值與其對應，所以可稱t是自變量，y是t的函數(shù).通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中存在很多函數(shù)關(guān)系，我們判斷的方法是通過分析兩個變量間的數(shù)值對應關(guān)系來確定，那么在數(shù)學數(shù)式中又是怎樣的呢？5.下列式子中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？（1）（2）（3）（4）同樣，我們可以用x與y之間的數(shù)值對應關(guān)系來分析.通過計算可得出：四個式子中當x取某個確定的值時，y都有唯一確定的值與其對應，所以上述式子中y是x的函數(shù).我們重點看一下第4個，從表格中觀察到，x=時，y=4，x=2時，y=4；圈畫的數(shù)據(jù)中還有這種特征的：x取不同的值，y值可求出相同的值.值得注意的是，y值雖然相同，但是也是與x的值唯一對應的，所以x是自變量時，y仍然是x的函數(shù).從圖象角度再加深一下理解.6.下列各圖象中哪些表示y是x的函數(shù)？為什么？（2）(3)（4）通過畫豎線的方法，我們發(fā)現(xiàn)前三個圖中，每個確定的x的值，y都有唯一確定的值與其對應。因此這些圖象中y是x的函數(shù).在第4副圖中，黃豎線左邊以及白豎線右邊是符合這種對應關(guān)系的，但是，黃豎線和白豎線之間以及邊界部分，每個確定的x的值，y有兩個或者三個值與之對應，不符合函數(shù)的概念.那我們來思考：第（4）副圖如果我們把y當做自變量，你能得出什么結(jié)論？可以得出，如果把y看成自變量，每個確定的y的值，x都有唯一確定的值與其對應，所以我們可以稱x是y的函數(shù).這個題目給我們的啟發(fā)是在確定變量間是否存在函數(shù)關(guān)系時需要先確定哪個變量是自變量.通過幾個實例鞏固對函數(shù)的概念的理解表格中不規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，加深對函數(shù)概念的理解圖象中不規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，加深對函數(shù)概念的理解對比鞏固加深對函數(shù)概念的理解總結(jié)在這節(jié)課中，我們看到函數(shù)是研究變化過程中變量間的某種對應關(guān)系.我們需要通過大量具體實例來理解函數(shù)的概念這個比較抽