專題09 函數(shù)的應(yīng)用（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 12個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

清單09集合及其運(yùn)算（12個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)零點(diǎn)的概念1、函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).幾何定義:函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

這樣：方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點(diǎn)①一次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②反比例函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；③指數(shù)函數(shù)（且）沒(méi)有零點(diǎn)；④對(duì)數(shù)函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)1；⑤冪函數(shù)當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)0；當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)。【清單02】函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.說(shuō)明：定理要求具備兩個(gè)條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個(gè)條件缺一不可.2、函數(shù)零點(diǎn)的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)定義，求出方程的實(shí)數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解3、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點(diǎn)；②數(shù)形結(jié)合，通過(guò)作圖，找出圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過(guò)分離，將原函數(shù)拆分成兩個(gè)函數(shù)，找到兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；④函數(shù)零點(diǎn)唯一：函數(shù)存在零點(diǎn)+函數(shù)單調(diào).【清單03】二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題一元二次方程的實(shí)數(shù)根也稱為函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，一元二次方程的實(shí)數(shù)根、二次函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系如下表所示：的實(shí)數(shù)根（其中）方程無(wú)實(shí)數(shù)根的圖象的零點(diǎn)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)【清單04】區(qū)間中點(diǎn)對(duì)于區(qū)間，其中點(diǎn)【清單05】二分法1、二分法的概念對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷的把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零點(diǎn)的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)（3）計(jì)算;①若（此時(shí))，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若（此時(shí))，則令；③若（此時(shí))，則令；（4）判斷是否達(dá)到精確度，若，則得到零點(diǎn)近似值(或)，否則重復(fù)2--4【清單06】常見(jiàn)函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對(duì)數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對(duì)勾函數(shù)模型：【考點(diǎn)題型一】求函數(shù)的零點(diǎn)核心方法：令（注意零點(diǎn)不是點(diǎn)，零點(diǎn)是數(shù)）【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、求函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，或，求解即可.【詳解】令，則，或，解得，或，則函數(shù)的零點(diǎn)是.故答案為：.【變式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的判定與求值、求函數(shù)的零點(diǎn)【分析】利用零點(diǎn)的定義求解.【詳解】令，解得，故選:C.【變式1-2】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的零點(diǎn)、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)作圖分析零點(diǎn)大小.【詳解】由函數(shù)零點(diǎn)可知：，，利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造三個(gè)函數(shù)它們與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的三個(gè)零點(diǎn).由圖可知：，故選：D.【變式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則=【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的零點(diǎn)【分析】由零點(diǎn)定義可得答案.【詳解】令，得的零點(diǎn)為1與，則.故答案為：【考點(diǎn)題型二】求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】（23-24高一下·貴州遵義）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的零點(diǎn)【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分情況建立方程，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，解得，故為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，解得，故為函數(shù)的零點(diǎn).故答案為：.【變式2-1】（多選）（23-24高一下·河北石家莊）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求函數(shù)的零點(diǎn)、求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【分析】AD選項(xiàng)，滿足奇函數(shù)定義且存在零點(diǎn)；B選項(xiàng)，由函數(shù)定義域可知不是奇函數(shù)；C選項(xiàng)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn).【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，且，存在零點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，與軸無(wú)交點(diǎn)，故無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，且，D正確.故選：AD【變式2-2】（24-25高一上·北京）函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè)．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的零點(diǎn)、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【分析】令解方程，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，令，即，解得故函?shù)有1個(gè)零點(diǎn)；故答案為：1【考點(diǎn)題型三】判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間核心方法：零點(diǎn)存在性定理【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用、判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間【分析】我們將通過(guò)計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn).【詳解】因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，對(duì)A，可得.因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無(wú)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，則，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，故在上存在零點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，且函?shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,計(jì)算，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；故選：B.【變式3-1】（23-24高一下·四川達(dá)州·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得到答案.【詳解】因?yàn)楹途荝上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用、判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間【分析】先驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性，再代入驗(yàn)證，由零點(diǎn)存在定理得到零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故在0,+∞上是單調(diào)遞增函數(shù)；又，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為2,3.故選：C.【考點(diǎn)題型四】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍（核心考點(diǎn)）核心方法：圖象法【例4】（24-25高二上·寧夏·期中）定義為a，b的最大值，函數(shù)的最小值為c．函數(shù)，如果函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖像可得的值，再將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖象可得范圍.【詳解】由題意，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出，的圖象，由圖可知，，所以，則，由函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)得方程有三個(gè)解，所以函數(shù)y=gx和函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在?1,0上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最小值，且，當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=gx和函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為：.【變式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、對(duì)勾函數(shù)求最值、根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】令，由題意可得y=gx的圖象與的圖象有解，畫(huà)出y=gx的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)榉匠逃薪?，所以y=gx的圖象與的圖象有解.當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，且.作出函數(shù)y=gx

由圖可得，y=gx的圖象與的圖象有解，則.故選:D.【變式4-2】（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)判別式、零點(diǎn)存在性定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)，即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，零點(diǎn)為，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，零點(diǎn)為，，不符合題意.當(dāng)，即或時(shí)，有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，至少有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則需或，解得，，另外若，則，零點(diǎn)為或，不符合題意.若，則，零點(diǎn)為或，，符合題意.綜上所述，的取值范圍是：.故選：C【考點(diǎn)題型五】根據(jù)零點(diǎn)（根）所在區(qū)間求參數(shù)核心方法：零點(diǎn)存在性定理【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，轉(zhuǎn)化為與在上有交點(diǎn)，求出值域即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即與在上有交點(diǎn)，又，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，則，設(shè)，則，由可得，即與在上有交點(diǎn)，則.故答案為：【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍【分析】根據(jù)題意將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象公共點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)而求解答案即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即在上有且只有一個(gè)實(shí)根，所以與的函數(shù)圖象在時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D【變式5-2】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間，內(nèi)，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋栽?,+∞上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，所以；故答案為：【考點(diǎn)題型六】用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值核心方法：二分法【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個(gè)零點(diǎn)，則第二次還需計(jì)算函數(shù)值（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程【分析】根據(jù)二分法，可得答案.【詳解】由題意，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個(gè)零點(diǎn)，由于，則第二次需計(jì)算，故選：C．【變式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用二分法求近似解的條件【分析】逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)是否有零點(diǎn)，零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)是否相反即可得解.【詳解】對(duì)于A，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，所以可用二分法求零點(diǎn)，故A能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，所以可用二分法求零點(diǎn)，故B能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，不是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)都是正的，故C不能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，所以可用二分法求零點(diǎn)，故D能用二分法求零點(diǎn).故選：C.【變式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)（為精確度）時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的近似值與真實(shí)零點(diǎn)的誤差的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程【分析】理解二分法求零點(diǎn)的原理，二分法是不斷將區(qū)間一分為二，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定零點(diǎn)所在的子區(qū)間.然后根據(jù)已知條件，分析近似值與真實(shí)零點(diǎn)的誤差范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)真實(shí)零點(diǎn)為，那么.已知，那么，.由于，所以，.所以近似值與真實(shí)零點(diǎn)的誤差的取值范圍是.故選：B.【考點(diǎn)題型七】指數(shù)函數(shù)模型【例7】（24-25高一上·江蘇常州·期中）教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為，經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)題意列式求得，從而得到關(guān)于的不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，由得，所以，則，故，所以的最小整數(shù)值為.故選：B.【變式7-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）核燃料是重要的能量來(lái)源之一，在使用核燃料時(shí)，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應(yīng)堆注入水，但會(huì)產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細(xì)胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡.已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過(guò)（

）年.（）A．155 B．159 C．162 D．166【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】根據(jù)題意列出等量關(guān)系，借助換底公式和題目給出的參考量得出結(jié)果.【詳解】設(shè)氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過(guò)年，則，，即年，故選：B.【變式7-2】（24-25高三上·陜西咸陽(yáng)·期中）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，g及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他大約經(jīng)過(guò)小時(shí)才能駕駛.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】以時(shí)間為自變量，建立指數(shù)型函數(shù)，解即可.【詳解】解：設(shè)小時(shí)后此駕駛員的血液中酒精含量為，則，即.依題意當(dāng)，即時(shí)才能駕駛，解，得，因?yàn)?，所以大約經(jīng)過(guò)小時(shí)才能駕駛.故答案為：【考點(diǎn)題型八】對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)模型【例8】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出來(lái)的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為．黃海是我國(guó)東部中強(qiáng)地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級(jí)地震，2015年8月6日黃海海域發(fā)生里氏4.0級(jí)地震，前一次地震所釋放出來(lái)的能量約是后一次的（

）倍．（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】由題意得到方程組，相減后得到，結(jié)合給出的參考數(shù)據(jù)，得到.【詳解】由題意得，兩式相減得，而，故，故選：D【變式8-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國(guó)5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、運(yùn)用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應(yīng)的值，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與換底公式變形即可得解.【詳解】由題意，將信噪比從2000提升至10000，則最大信息傳遞速率從增加至，所以.故選：B.【變式8-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(jí)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度x(單位：)滿足.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為140dB．若噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍，則一般說(shuō)話時(shí)聲音的等級(jí)約為（

）A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，根據(jù)題意得出和，算出，可計(jì)算出.【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，由題意可得，解得，因?yàn)?，所以，所以，所以一般說(shuō)話時(shí)聲音的等級(jí)約為60dB.故選：D【考點(diǎn)題型九】擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題【例9】（24-25高一上·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對(duì)某路段作了調(diào)研，得到了某時(shí)間段內(nèi)的車流量（千輛/小時(shí)）和汽車平均速度（千米/小時(shí)）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，請(qǐng)說(shuō)明理由并計(jì)算的值；(2)計(jì)算該路段最大車流量及最大車流量時(shí)汽車的平均速度．【答案】(1)最符合，理由見(jiàn)解析；(2)最大車流量為千輛/小時(shí),此汽車的平均速度千米/小時(shí).【知識(shí)點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由基本初等函數(shù)模型性質(zhì)并結(jié)合表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律可得結(jié)論，代入計(jì)算可求得；（2）利用基本不等式計(jì)算即可得最大車流量為千輛/小時(shí),此時(shí)平均速度千米/小時(shí).【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢(shì)；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達(dá)式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時(shí),最大車流量時(shí)汽車的平均速度千米/小時(shí).【變式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工藝品售賣店，為了更好地進(jìn)行工藝品售賣，進(jìn)行了銷售情況的調(diào)查研究．通過(guò)對(duì)每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過(guò)去一個(gè)月（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足，（），日銷售量（單位：件）與時(shí)間第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．(1)求的值；(2)給出以下三個(gè)函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來(lái)描述在過(guò)去一個(gè)月內(nèi)日銷售量與時(shí)間第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)解析式及定義域；(3)設(shè)在過(guò)去一個(gè)月內(nèi)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】(1)；(2)且定義域?yàn)椋?3)441元.【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型、利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、對(duì)勾函數(shù)求最值【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有，即可求參數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)確定模型，再由求參數(shù)，即可得解析式和定義域；（3）根據(jù)（1）（2）得，結(jié)合相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性求最小值.【詳解】（1）由題意，，可得；（2）由表格數(shù)據(jù)知：日銷售量隨時(shí)間先增后減，顯然①②不符合，所以，選③，則，可得，即，綜上，且定義域?yàn)?；?）由題意，所以，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為441元；當(dāng)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)最小值為元；綜上，的最小值441元.【變式9-2】（24-25高三上·上?！て谥校┎枋侵腥A民族的舉國(guó)之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞?dòng)隰斨芄?，始于唐朝，興于宋代，中國(guó)茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國(guó)文化中的一朵瑰寶！我國(guó)人民歷來(lái)就有“客來(lái)敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用的水泡制，待茶水溫度降至?xí)r，飲用口感最佳.東雅中學(xué)利用課余時(shí)間開(kāi)設(shè)了活動(dòng)探究課《中國(guó)茶文化》，某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔1min測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間012345水溫1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從經(jīng)過(guò)后溫度變?yōu)?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少.【答案】(1)選模型②，且(2)(3)約為10℃【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及增長(zhǎng)率，根據(jù)一次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定模型，再結(jié)合數(shù)據(jù)求解析式；（2）令，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求結(jié)果；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的值域，即可確定進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.（2）令，則.所以泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為.（3）由，即，所以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為10℃.【考點(diǎn)題型十】零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題（解答題）【例10】（24-25高一上·寧夏銀川·期中）已知函數(shù)的解析式為(1)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并解不等式；(2)若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出的范圍．【答案】(1)圖象見(jiàn)解析，或(2)或【知識(shí)點(diǎn)】畫(huà)出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）根據(jù)解析式畫(huà)出圖像，結(jié)合圖像即可求解不等式；（2）由圖像即可求解.【詳解】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，或，所以不等式的解集為或；（2）如圖，與有2個(gè)交點(diǎn)，則或.【變式10-1】（18-19高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上有最大值，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）由題，，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求參數(shù)范圍；（2）由（Ⅰ），令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以的圖像在上與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1）由題，因?yàn)?，所以令，?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，解得（舍），當(dāng)時(shí)，，解得，所以.（2）由（1），由，令，對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以的圖像在上與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，或者，即，解得，當(dāng)時(shí)，與軸在上有兩個(gè)交點(diǎn)，故舍去，綜上，或.【變式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域恰為，則稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的根，求的取值范圍；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【答案】(1)(2)(3)和【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，取相反數(shù)，利用已知的函數(shù)解析式，整理可得答案；（2）整理方程，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，由奇函數(shù)的定義可得，所以.（2）方程即，設(shè)，由題意知，解得.（3）因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域恰為，其中且，所以，則，所以或.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，則，解得，所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，則，解得，所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.綜上所述，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.【考點(diǎn)題型十一】零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題【例11】（24-25高一上·江蘇·期中）記函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，．(1)若，，求m的取值范圍；(2)若，求的最值．【答案】(1)(2)最小值為4，最大值為5【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的分布可得，進(jìn)而求解即可；（2）由韋達(dá)定理得，進(jìn)而化簡(jiǎn)，令，，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以m的取值范圍為.（2）由韋達(dá)定理得，，且，即或，則，且恒成立，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，令，，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，則的最小值為4，最大值為5.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，(1)求的表達(dá)式；(2)若函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）作出函數(shù)圖象，由圖象可得滿足題意的不等式，從而求得參數(shù)范圍；（3）由韋達(dá)定理（或二次函數(shù)性質(zhì)）得出代入后求得的取值范圍，再由不等式恒成立得的范圍．【詳解】（1）時(shí)，，，為奇函數(shù)，則，所以；（2）作出的大致圖象，如圖，要滿足題意，

則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由得，，同理，因?yàn)?，所以，所以，恒成立，則．【變式11-2】（23-24高一上·重慶·期中）函數(shù)，其中為常數(shù)，有這5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，并且有．(1)在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，并求的取值范圍（用表示）；(2)若，求的最小值．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、畫(huà)出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)已知求出的值（或關(guān)系），將表示出得到.換元令，則.設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）作出函數(shù)的圖象由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與y=fx的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，所以，.（2）當(dāng)時(shí)，.易知為方程，即的較小的解，所以，；為方程，即的解，由韋達(dá)定理可知，，，且；為方程的解，；為方程的解，.所以，.因?yàn)?，所以?令，則，設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，在處取得最小值，此時(shí)有，所以，滿足條件.所以，原式的最小值為.【考點(diǎn)題型十二】函數(shù)與方程綜合【例12-1】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，求的取值范圍.【答案】(1)a=?1(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)太即可求解；（2）利用方程有兩根可得，，，由已知可得，可求取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以是的兩根，所以，解得；?）方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，所以，為的兩根，所以，所以，，，又，兩邊平方得，即，，所以，又，所以，所以，同理可得，，所以的取值范圍為.【例12-2】（23-24高一上·江蘇泰州·期中）對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，且，滿足，則稱為“弱偶函數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“弱奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”；（直接寫(xiě)出結(jié)論）(2)已知函數(shù)，試判斷為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，若是，求出所有滿足的的值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若為其定義域上的“弱奇函數(shù)”.求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】(1)既不是“弱奇函數(shù)”也不是“弱偶函數(shù)”(2)不是，理由見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、求函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)新定義【分析】（1）（2）根據(jù)所給定義判斷即可；（3）首先由在上恒成立，求出的取值范圍，依題意存在實(shí)數(shù)使得，分、、三種情況討論，分別結(jié)合方程有解求出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）對(duì)于，則，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以不存在使得，即不是“弱偶函數(shù)”，若存在使得，即，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以方程無(wú)解，故不存在使得，即不是“弱奇函數(shù)”，綜上可得既不是“弱奇函數(shù)”也不是“弱偶函數(shù)”.（2）假設(shè)為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，則，若，則，則，舍去；若，則，則，舍去；若，則，則，舍去；從而無(wú)解，所以不是其定義域上的“弱奇函數(shù)”.（3）由在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即.因?yàn)闉槠涠x域上的“弱奇函數(shù)”，所以存在實(shí)數(shù)使得，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，所以，，即在有解可保證是“弱奇函數(shù)"，所以，又因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，則，所以，則，即，即在有解可保證是“弱奇函數(shù)”，所以，由可知；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義問(wèn)題，對(duì)于新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是理解所給定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解，分段函數(shù)注意分類討論.【變式12-1】（24-25高一上·上海徐匯·期中）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問(wèn)題是解決抽象代數(shù)問(wèn)題的捷徑.(1)已知函數(shù),若對(duì)任意，恒成立，求：實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)設(shè)，若存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足①，②兩個(gè)條件，求：a的取值范圍.①對(duì)于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)解．(3)已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，求：集合的元素的可能個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)(3)2或4【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、解含有參數(shù)的一元二次不等式、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)恒成立，分離參數(shù)進(jìn)行討論即可；（2）根據(jù)函數(shù)的定義，在函數(shù)中給定的自變量，只有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，即可解答；（3）根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，即可解答.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)恒成立，故；②當(dāng)時(shí)，，則，若，即令為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故；③當(dāng)時(shí)，若，則，同②符合題意成立；若，則，同①符合題意成立.綜上所述，的取值范圍為.（2）由條件①得，，解得或，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)殛P(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以且,所以.（3）①若函數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，得，實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有2個(gè)解；②若函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，得，此時(shí)兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，而，即在時(shí)成立，此時(shí)，有4個(gè)解；綜上所述，集合有2個(gè)或4個(gè)元素.【點(diǎn)睛】（1）考查絕對(duì)值不等式中對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）考查函數(shù)自變量與應(yīng)變量一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；（3）考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系.【變式12-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?(1)若，證明：，并指出等號(hào)成立的條件;(2)已知，設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為，問(wèn)是否存在，使得對(duì)任意以及恒成立，若存在請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)或.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】（1）利用換元法，代入后利用基本不等式即可證明；（2）由題意可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為，結(jié)合韋達(dá)定理表示并求出，進(jìn)而得到，令，利用恒成立得到不等式組,解出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí),等號(hào)成立.由，得當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.（2）由可得：，化簡(jiǎn)得，所以關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為，可以轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，若使恒成立，則，所以得，對(duì)任意，都有成立.設(shè)，，若使對(duì)任意，都有成立，則，解得或.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·遼寧撫順·期中）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí),，則，，，，，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，，0,1，2,3內(nèi)不一定包含的零點(diǎn)，內(nèi)一定包含的零點(diǎn)．故選：C.2．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·期中）某花店銷售某品種鮮花，當(dāng)每束鮮花的售價(jià)為50元時(shí)，花店每天可以賣出18束鮮花；當(dāng)每束鮮花的售價(jià)每降低1元時(shí)，花店當(dāng)天可以多賣出1束鮮花．要使得該店該品種鮮花的日銷售額最大，則每束鮮花的售價(jià)應(yīng)為（

）A．16元 B．18元 C．32元 D．34元【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【分析】設(shè)每束鮮花的售價(jià)降低元，由日銷售額，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：設(shè)每束鮮花的售價(jià)降低元，則花店該品種鮮花的日銷售額:，，故當(dāng)，即每束鮮花的售價(jià)為34元時(shí)，花店該品種鮮花的日銷售額最大．故選：D3．（24-25高一上·江西·期中）單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時(shí)通過(guò)的車輛數(shù)滿足關(guān)系，其中為安全距離，為車速.當(dāng)安全距離取40m時(shí)，該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為（

）A．110 B．116 C．119 D．122【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】把給定函數(shù)變形，利用基本不等式即可得解.【詳解】由題知當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為116.故選：B.4．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】轉(zhuǎn)化為與y=fx有3個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意可知，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即y=fx和有3個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)y=fx

若與y=fx有3個(gè)交點(diǎn)，則.故選：C5．（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)解析式直接判斷單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在.【詳解】由在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選：B6．（24-25高三上·河南·期中）放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時(shí)間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（1）、利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【分析】由題意可得，計(jì)算即可得解.【詳解】由題意可得，即，即.故選：A.7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)對(duì)稱性，先求出當(dāng)時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)與的圖象有公共點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，最后結(jié)合圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)定義域可知，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點(diǎn)，即方程在時(shí)有解，所以，即在時(shí)有解，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，，得，綜上所述，，故選：D.8．（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知是上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的，都有成立，且，當(dāng)且時(shí)，都有成立.現(xiàn)給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為；③函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)；④方程在上有4個(gè)根.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【分析】①在中，令即可判斷①；②由.所以的周期為4，再利用是偶函數(shù)，可得，從而可判斷②；③依題意知，函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，利用的周期為4，且是偶函數(shù)，從而可判斷③；根據(jù)可判斷④．【詳解】對(duì)于任意x∈R，都有成立，令，則，即，又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，則，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．①，正確；②的周期為4，又是上的偶函數(shù)，所以，故直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，即②正確；③：且時(shí)，都有成立則函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，是上的偶函數(shù)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)而的周期為4，函數(shù)在上為減函數(shù)，故③不正確；④，的周期為4，函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，在2,4上為減函數(shù)，在0,4上只有一個(gè)零點(diǎn)2，則，所以，函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，故④正確．故選：C二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、畫(huà)出具體函數(shù)圖象、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)范圍【分析】由題意，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形和二次函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，故A錯(cuò)誤；

由，可得，故B正確；因?yàn)?，所以，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BCD10．（24-25高一上·陜西榆林·期中）定義域和值域均為?a,a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個(gè)解 B．方程有且僅有3個(gè)解C．方程有且僅有5個(gè)解 D．方程有且僅有1個(gè)解【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)求解方法，從外到內(nèi)數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,因?yàn)椋?，由?shù)形結(jié)合可知：,都有一個(gè)根，故方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0,;令，因?yàn)?，由?shù)形結(jié)合可知：都有3個(gè)根，方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數(shù)形結(jié)合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個(gè)解,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0,;令，因?yàn)?，所以只?解，故方程有且僅有1個(gè)解,故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則可得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).三、填空題11．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)解析式畫(huà)出大致圖象，結(jié)合的性質(zhì)研究臨界情況下參數(shù)值，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下：

而恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)與在處相切時(shí)，有僅有一個(gè)解，所以，此時(shí)，當(dāng)過(guò)時(shí)，，此時(shí)，結(jié)合圖象，知時(shí)，交點(diǎn)至少兩個(gè).故答案為：12．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找出滿足題意得圖像段，縮小變量范圍，后將M轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問(wèn)題.【詳解】因?yàn)榈膱D象是將在軸下方部分沿軸翻折得到的.滿足，則直線在如圖所示兩條虛線間上下平移.令，即，解得或.令時(shí)，解得.令，即，解得或.令時(shí)，解得.畫(huà)出草圖如下：由，，知，，又因?yàn)?，由函?shù)的對(duì)稱性，此兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則.令，則，，則，，，對(duì)稱軸為，則在單調(diào)遞減..則的取值范圍為.故答案為：.四、解答題13．（24-25高一上·山東·期中）某物流基地今年初用49萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)大型運(yùn)輸車用于運(yùn)輸.若該基地預(yù)計(jì)從第1年到第n年花在該臺(tái)運(yùn)輸車上的維護(hù)費(fèi)用總計(jì)為萬(wàn)元，該車每年運(yùn)輸收入為23萬(wàn)元.(1)該車運(yùn)輸幾年開(kāi)始盈利?（即總收入減去成本及維護(hù)費(fèi)用的差為正值）(2)若該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以17萬(wàn)元的價(jià)格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出.哪一種方案較為合算?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)3(2)方案較合算，理由見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由，能求出該車運(yùn)輸3年開(kāi)始盈利.（2）方案①中，.從而求出方案①最后的利潤(rùn)為59（萬(wàn)）；方案②中，，時(shí)，利潤(rùn)最大，從而求出方案②的利潤(rùn)為59（萬(wàn)），比較時(shí)間長(zhǎng)短，進(jìn)而得到方案①較為合算.【詳解】（1）由題意可得，即，解得，，該車運(yùn)輸3年開(kāi)始盈利.；（2）該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以17萬(wàn)元的價(jià)格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，方案①最后的利潤(rùn)為：（萬(wàn)）；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出，，時(shí)，利潤(rùn)最大，方案②的利潤(rùn)為（萬(wàn)），兩個(gè)方案的利潤(rùn)都是59萬(wàn)，按照時(shí)間成本來(lái)看，第一個(gè)方案更好，因?yàn)橛脮r(shí)更短，方案①較為合算.14．（24-25高一上·陜西西安·期中）設(shè)函數(shù)，(1)在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)討論方程，解的情況.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】畫(huà)出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及翻折變換法則，畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)（1）中的圖象，分別討論的圖象與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得到方程的解的情況．【詳解】（1）函數(shù)的圖象如圖所示（2）由