專題08 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 16個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

清單08對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】對數(shù)概念1、對數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作,其中叫做對數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).特別的：規(guī)定,且的原因：①當(dāng)時(shí)，取某些值時(shí)，的值不存在，如：是不存在的.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值不存在，如：是不成立的；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則的值不存在；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.2、常用對數(shù)與自然對數(shù)①常用對數(shù)：將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把記為②自然對數(shù)：是一個(gè)重要的常數(shù),是無理數(shù),它的近似值為2.71828.把以為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把記作說明：“”同+、-、×等符號一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個(gè)底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對數(shù)運(yùn)算,不過對數(shù)運(yùn)算的符號寫在數(shù)的前面.【清單02】指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化當(dāng)且，【清單03】對數(shù)的性質(zhì)①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).②對于任意的且,都有，，；③對數(shù)恒等式:（且）【清單04】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)且，,①②③（）④（）⑤（）【清單05】對數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【清單06】對數(shù)函數(shù)的概念1、對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，定義域是.判斷一個(gè)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)（1）形如；（2）底數(shù)滿足；（3）真數(shù)是，而不是的函數(shù)；（4）定義域.例如：是對數(shù)函數(shù)，而、都不是對數(shù)函數(shù)，可稱為對數(shù)型函數(shù).2、兩種特殊的對數(shù)函數(shù)特別地,我們稱以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作;稱以無理數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)函數(shù),記作.【清單07】對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)【考點(diǎn)題型一】指數(shù)與對數(shù)綜合運(yùn)算【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）計(jì)算下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）由指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）由對數(shù)運(yùn)算法則即可求解.【詳解】（1）原式；（2）原式.【變式1-1】（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）；（2）.【變式1-2】（24-25高一上·江蘇南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)0(2)【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的化簡、求值、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果.（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）原式.（2）原式.【考點(diǎn)題型二】指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化核心方法：【例2】（23-24高三上·四川瀘州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)的互化公式，求得，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)的互化，以及對數(shù)的運(yùn)算公式的化簡、求值，其中解答中熟記指數(shù)式與對數(shù)的互化公式，以及對數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.【變式2-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【知識點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式后，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由，可得，，所以.故選：D.【變式2-2】（多選）（22-23高一上·廣東惠州·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且，則的值可以為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】AD【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】根據(jù)指對互化公式和指數(shù)的運(yùn)算律即可求解.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，且，所以，所以，所以，所以即解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選：AD.【考點(diǎn)題型三】利用換底公式化簡求值核心方法：換底公式：（且，，，且）特別的：【例3】（多選）（24-25高一上·江蘇南通·期中）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．若，則.【答案】AC【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算、對數(shù)的運(yùn)算【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式一一計(jì)算可得.【詳解】對于A：，，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC【變式3-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算、指數(shù)冪的運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合換底公式計(jì)算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式.【考點(diǎn)題型四】有附加條件的對數(shù)求值問題【例4】（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）（1）已知，，①求的值；②求的值；（2）已知，，①用，表示；

②用，表示．【答案】（1）①，②；（2）①，②【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及法則計(jì)算可得.【詳解】（1）①因?yàn)?，，所以；②，，；?）①因?yàn)椋?，所以；②因?yàn)?，，所以．【變?-1】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，則用表示.【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算【分析】根據(jù)題意利用換底公式以及對數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：.【變式4-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，用表示.【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算【分析】根據(jù)條件，利用對數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，又，，所?【變式4-3】（23-24高一上·廣西·期中）（1）計(jì)算：.（2）設(shè)，，試用，表示.【答案】（1）2；（2）【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可；（2）根據(jù)換底公式及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡求解即可.【詳解】（1）.（2）.【考點(diǎn)題型五】對數(shù)函數(shù)概念辨析【例5】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是對數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【知識點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的概念判斷與求值【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，即可判斷.【詳解】①不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)榈牡讛?shù)是自變量，不是常數(shù)；②不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)的真數(shù)不是僅有自變量；③不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù)．故選：A【變式5-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知下列函數(shù)：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常數(shù))．其中為對數(shù)函數(shù)的是(只填序號)．【答案】③【知識點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的概念判斷與求值【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)滿足，且，判定即可【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義知，①②不是對數(shù)函數(shù)；對于③，lnx的系數(shù)為1，自變量是x，故③是對數(shù)函數(shù)；對于④，底數(shù)，當(dāng)時(shí)，底數(shù)小于0，故④不是對數(shù)函數(shù)．故答案為：③【考點(diǎn)題型六】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題【例6】（24-25高一上·上?！て谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊局R點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于、分式分母不為求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以定義域?yàn)?，故答案為?【變式6-1】（24-25高二上·上?！て谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊局R點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)定義域.【詳解】由題設(shè)，可得，即定義域?yàn)?故答案為：【變式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）設(shè)條件有意義，條件，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域【分析】先分別求出條件表示的集合，再由p是q的必要不充分條件，可得集合是集合的真子集，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，記為，由，得，且，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，則，所以；當(dāng)時(shí)，，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則集合是集合的真子集，則，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為0,4，故答案為：0,4.【考點(diǎn)題型七】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題核心方法：【例7】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．13 B． C． D．8【答案】C【知識點(diǎn)】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即因?yàn)樵谥本€上，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，即的最小值為.故選：C【變式7-1】（24-25高一上·山東青島·期中）函數(shù)且的圖象恒過點(diǎn)，函數(shù)且的圖象恒過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得兩定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解.【詳解】對于，令，得，，所以的圖象恒過點(diǎn)，即；對于，令，得，，所以的圖象恒過點(diǎn)，即；所以.故選：B.【變式7-2】（24-25高二上·云南昭通·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、求冪函數(shù)的值、求冪函數(shù)的解析式【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后令，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，由此可得出的值.【詳解】對于函數(shù)（且），令，可得，此時(shí)，，所以，函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，設(shè)，則，解得，所以，，故.故答案為：.【考點(diǎn)題型八】指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象綜合【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的識別、函數(shù)圖象的變換、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【分析】利用的性質(zhì)與函數(shù)值排除BCD，再利用函數(shù)的平移與對稱變換判斷A，從而得解.【詳解】對于，必有，故CD錯誤；又，故B錯誤；將函數(shù)在軸下方圖象翻折到上方可得函數(shù)的圖象，再將其在軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)，右側(cè)不變，可得函數(shù)的圖象，進(jìn)而將得到的函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，故A正確.故選：A.【例8-2】（23-24高一上·山東濱州·期末）若函數(shù)（，且）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)與圖象對應(yīng)正確的為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的識別、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】利用函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，求出，并代入選項(xiàng)，借助基本初等函數(shù)逐一判斷即可.【詳解】從函數(shù)（，且）的圖象可知：該函數(shù)經(jīng)過，所以，即，解得，對于選項(xiàng)A:，由指數(shù)函數(shù)可知在定義域上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B:，當(dāng)時(shí)，則，由冪函數(shù)可知在上單調(diào)遞增且圖象靠近軸，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C:該函數(shù)為，可看成的圖象關(guān)于軸對稱，對稱后在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D:，由冪函數(shù)可知在上單調(diào)遞增且圖象靠近軸，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【變式8-1】（23-24高二下·江蘇宿遷）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的識別、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【分析】對比選項(xiàng)中的圖象，再分別計(jì)算和時(shí)，的取值情況，即可作出選擇．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，排除選項(xiàng)B和C；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)D符合題意.故選：D【變式8-2】（多選）（24-25高一上·湖南長沙·期中）已知，且，函數(shù)與的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的識別、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】討論底數(shù)a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷【詳解】由，且，則，所以，若時(shí)，則，所以曲線函數(shù)圖象上升，即為增函數(shù)，且單調(diào)遞減，又函數(shù)與關(guān)于y軸對稱，所以曲線為增函數(shù)，選項(xiàng)B符合條件；若，則，曲線函數(shù)圖象下降，即為減函數(shù)，且單調(diào)遞增，又函數(shù)與關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)的圖象下降，即為減函數(shù)，選項(xiàng)C符合條件，故選：BC【考點(diǎn)題型九】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域【例9】（24-25高三上·河南焦作·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、求二次函數(shù)的值域或最值、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域【分析】根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故，令，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.【變式9-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的最小值是.【答案】2【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、基本不等式求和的最小值【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后利用基本不等式求得內(nèi)層函數(shù)的值域，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得外層函數(shù)的值域，即可解答.【詳解】根據(jù)題意得到，，解得，即，則的定義域是．由于函數(shù).化簡得到，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最值．所以，則的最小值是2．故答案為：2【變式9-2】（23-24高三上·上海黃浦·期中）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域【分析】對函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】，因?yàn)?，所以，故，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：.【變式9-3】（23-24高一上·廣東·期中）已知函數(shù).(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、求二次函數(shù)的值域或最值、求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域【分析】（1）利用一元二次方程的解法，結(jié)合對數(shù)的定義，可得答案.（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】（1）由，可得，整理可得，分解因式可得，由，解得，則.（2）由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.【考點(diǎn)題型十】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域（可化為一元二次函數(shù)型）核心方法：換元法（特別題型：換元必?fù)Q范圍）【例10-1】（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值域是．【答案】【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域【分析】先由題意求得的定義域，再利用換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以的定義域滿足，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以令，又，則，易知在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：.【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求方程的解集；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算化簡方程即可得出解集；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，分類討論，即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1），若，則，令，則方程為，解得：或，則或，∴或，∴方程的解集為.（2）∵，∴，令，則在上的最小值等價(jià)于在上的最小值，對稱軸為.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：二次函數(shù)求最值問題，需要根據(jù)開口方向及對稱軸研究函數(shù)的最值，對稱軸與定義域的關(guān)系，分3種情況討論即可，屬于中檔題.【變式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函數(shù)的最小值為．【答案】/【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、復(fù)合函數(shù)的值域【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則與換元法得到，結(jié)合配方法即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，則，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【變式10-2】（23-24高一下·河北石家莊·期中）函數(shù)的定義域?yàn)?(1)設(shè)，求t的取值范圍；(2)求函數(shù)的最大值與最小值，并求出取最值時(shí)對應(yīng)的x的值【答案】(1)(2)的最大值為12，此時(shí)；最小值為，此時(shí).【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、與二次函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題、求對數(shù)函數(shù)的最值【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，化簡得到，求出最值和對應(yīng)的x的值.【詳解】（1）在單調(diào)遞增，故；（2），令，，則函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得【考點(diǎn)題型十一】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題核心方法：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性法則（特別題型，容易忽視定義域而造成錯解）【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】（也對）【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減來求得單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由得，解得，所以的定義域是.函數(shù)的開口向下，對稱軸為，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：（也對）【變式11-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)計(jì)算出定義域后，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，解得或，由，則其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為單調(diào)遞增函數(shù)，故的單調(diào)遞減區(qū)間.故選：B.【變式11-2】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減來求得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由，解得或，所以的定義域?yàn)?函數(shù)在上單調(diào)遞增，的開口向上，對稱軸為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：【考點(diǎn)題型十二】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)核心方法：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性法則【例12】（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且gx>0，結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，由題意可得：在上單調(diào)遞增，且gx>0，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式12-1】（24-25高三上·山東德州·期中）已知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的定義域，知道內(nèi)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減且函數(shù)值一定為正，建立不等式組，求得的取值范圍.【詳解】令，則，∵，∴在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，∴，則，∴故選：D【變式12-2】.（24-25高三上·廣東惠州·期中）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判別，建立不等式，利用充分條件與必要條件的定義，可得答案.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.【考點(diǎn)題型十三】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比大小核心方法：單調(diào)性【例13】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小【分析】由對數(shù)函數(shù)的底數(shù)小于1得到函數(shù)單調(diào)遞減，判斷出，的大小關(guān)系，又判斷出，大于1，小于1，從而得出結(jié)論.【詳解】由于在單調(diào)遞減，故，又∵，∴.故選：A.【變式13-1】（24-25高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期中）已知，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】比較對數(shù)式的大小【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較大小.【詳解】因?qū)?shù)函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則，即.故選：A【變式13-2】（24-25高三上·四川德陽·階段練習(xí)）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】比較對數(shù)式的大小【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，?故選：C【考點(diǎn)題型十四】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式核心方法：單調(diào)性【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍;(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)【分析】（1）在上單調(diào)遞減，所以，求出函數(shù)的定義域，則為其定義域的子集，求解即可.（2）利用對數(shù)的加法運(yùn)算化簡解析式，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）依題意在上單調(diào)遞減，所以，所以由，解得，所以，

解得，即的取值范圍是.（2）依題意，即，從而有

解得或，

即不等式解集為.【例14-2】（23-24高一上·山東泰安·期中）函數(shù).(1)如果時(shí)，有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值；(3)在（2）條件下，.解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)0(3)答案見解析【知識點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、解含有參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域【分析】（1）變換，令，計(jì)算最值得到答案.（2）令，的值域包含，考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案.（3）確定，函數(shù)單調(diào)遞增，得到，考慮，，，幾種情況，解得答案.【詳解】（1），，即，令，，則恒成立，，，故，a的取值范圍為.（2）令，的值域包含，①時(shí)，，其值域?yàn)?，滿足條件；②時(shí)，，令，，，函數(shù)為開口向下的拋物線，的值域?yàn)?，不滿足條件；綜上所述：.（3），定義域?yàn)椋?，函?shù)單調(diào)遞增，，即，即，且，①當(dāng)時(shí)，解集為或；②當(dāng)時(shí)，解集為；③當(dāng)時(shí)，解集為或；④當(dāng)時(shí)，解集為；【變式14-1】（24-25高一上·吉林延邊·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷奇偶性，并加以證明；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)偶函數(shù)，證明見解析(3)【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）由且求解；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義求解；（3）將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】（1）解：由題意得：且，解得，所以函數(shù)定義域?yàn)?；?）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為偶函數(shù)；（3），則<3，化簡得且，解得或.【變式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)在上單調(diào)遞增(3)【知識點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】（1）求出函數(shù)定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷出函數(shù)的奇偶性；（2）將變形為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，即可判斷出答案；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可列出不等式組，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）由于，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增；（3）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故成立，需滿足，解得.【考點(diǎn)題型十五】對數(shù)函數(shù)綜合問題（單調(diào)性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等綜合問題）核心方法：單調(diào)性【例15-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，且.(1)求的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)或【知識點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）先根據(jù)，求出不等式的解，結(jié)合可得的值；（2）利用換元法，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間最值法求解.【詳解】（1）由可得，又，所以，又因?yàn)榈慕饧癁椋?，因?yàn)?，所以，即，解得或，因?yàn)椋?；?）由（1）可得，令，則，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，解得，符合要求；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，又，故；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，不合題意；綜上所述，存在實(shí)數(shù)或符合題意.【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解不等式；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)0,1(3)【知識點(diǎn)】復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、由奇偶性求參數(shù)、指數(shù)不等式【分析】（1）由奇函數(shù)定義得f?x=?fx（2）由（1）得出解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可；（3）借助（2）中解析式求出值域，利用換元法求出的值域，由題意得出，進(jìn)而得出的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)中，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以f?x=?fx整理得，所以.（2）由（1）可知，其定義域?yàn)椋傻?，即，整理得，解得，所以不等式的解集?,1.（3）由（2）知，，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上值域?yàn)?，又，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上值域?yàn)?，因?yàn)閷θ我獾?，總存在，使得成立，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且函數(shù)為奇函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明在定義域上的單調(diào)性；(3)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，(2)在R上單調(diào)遞增；證明見解析(3)．【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）將代入可得解析式，利用結(jié)合可得解析式；（2）證明當(dāng)時(shí)，即可；（3）不等式可化簡為，后令，結(jié)合雙溝函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）由題意，過點(diǎn)，即，解得，所以，．為R上的奇函數(shù)，，解得，即，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故此時(shí)為奇函數(shù)；（2）在R單調(diào)遞增.設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以，于是在R上單調(diào)遞增；（3）由在區(qū)間上恒成立，得，即，令，，則，令，，設(shè)，，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性知在0,1上單調(diào)遞減，而為單調(diào)遞增函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則，又為正實(shí)數(shù)，．【變式15-1】（24-25高三上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、由奇偶性求參數(shù)【分析】（1）首先可得函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，求出參數(shù)的值，再檢驗(yàn)即可；（2）首先求出在上的值域，再利用換元法求出在上的值域，依題意，即可得到不等式組，解答即可.【詳解】（1）由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，對于，成立，所以．（2）由（1）可得，因?yàn)椋?，，，，，所以?dāng)時(shí)的值域，又，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式15-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；(2)若對于恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識點(diǎn)】求對數(shù)函數(shù)的最值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合換元法、對數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，通過常變量分離，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)、結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，，令，則，易知單調(diào)遞減，該函數(shù)值域?yàn)榧?；?）令，則在上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立，令.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，.綜上，.【變式15-3】（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)，函數(shù)(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【知識點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）遇到恒成立的問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為求最值的問題，從而得出關(guān)于a的不等式組，求解即可.【詳解】（1）在其定義域上單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)任意，則有：，，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即.函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，由不等式對恒成立，得，為單調(diào)遞增函數(shù)，，，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍【考點(diǎn)題型十六】對數(shù)函數(shù)中新定義問題【例16】（23-24高一下·貴州貴陽·期中）對于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，若滿足對任意的，，有恒成立，則稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否“友好”；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是“友好”的，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上“友好”(2)【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義、函數(shù)不等式恒成立問題、求對數(shù)函數(shù)的最值、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍【分析】（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值，即可判斷；（2）根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得到，參變分離得到，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是“友好”的.（2）依題意可得在上單調(diào)遞減，則，，則有，即，即，可得，即，令，因?yàn)椋瑒t且，則，令，，令，令任意的且，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，同理可得在上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)或時(shí)，取最大值，此時(shí)，于是當(dāng)或時(shí)，取最大值，依題意，又對于任意的，恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，即，所以，此時(shí)，綜上可得的取值范圍是.【變式16-1】（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“和一函數(shù)”．(1)判斷定義在區(qū)間上的函數(shù)是否為“和一函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)在定義域上是“和一函數(shù)”．①求的值；②求的取值范圍．【答案】(1)不是“和一函數(shù)”；理由見解析(2)①；②．【知識點(diǎn)】求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、函數(shù)新定義、對勾函數(shù)求最值、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）舉出反例即可；（2）①根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，對任意，，存在，使成立，則，根據(jù)集合包含關(guān)系得到，則，②表達(dá)出，，由對勾函數(shù)單調(diào)性得到取值范圍.【詳解】（1）在區(qū)間上的函數(shù)不是“和一函數(shù)”，理由如下：在上是減函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，對任意，，不符合“和一函數(shù)”的定義，故在區(qū)間上的函數(shù)不是“和一函數(shù)”；（2）①在上是增函數(shù)，，∴值域，又在定義域上是“和一函數(shù)”，對任意，，存在，使成立，則，，，則，即，，則，②，即，，，解得，則，令，，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，則，，故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【變式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)()，使得對于任意的，都存在，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于的“函數(shù)”．(1)若，，試判斷函數(shù)是否是關(guān)于的“函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)與均存在最大值與最小值，且函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，又是關(guān)于的“函數(shù)”，證明：；(3)已知，，其定義域均為．給定正實(shí)數(shù)，若存在唯一的，使得是關(guān)于的“函數(shù)”，求的所有可能值．【答案】(1)不是，理由見解析(2)證明見解析(3)的所有可能值為或【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義【分析】（1）結(jié)合題目所給定義分別計(jì)算即可得；（2）結(jié)合定義可得，，即可得解；（3）記集合，，結(jié)合定義可得，再分、、討論即可得.【詳解】（1）不是關(guān)于的“函數(shù)”．解法一：當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得解法二：因?yàn)楹瘮?shù)()的值域?yàn)?，比如取，則，不存在，使得；（2）設(shè)．由題意，存在，使得．因?yàn)楹瘮?shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，所以存在，滿足，從而．同理，由是關(guān)于的“函數(shù)”，可得，綜上，；（3）記集合，．由是關(guān)于的“函數(shù)”，得，①當(dāng)時(shí)，，，從而，解得，因唯一，令，解得(舍)或(舍)；②當(dāng)時(shí)，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意；③當(dāng)時(shí)，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意；綜上，的所有可能值為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助集合，，得到，從而對、、討論.提升訓(xùn)練1．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，則（

）A．?2 B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算【分析】結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，化簡可得，得到并解出方程組即可.【詳解】由題可得：，即，所以，解得：.所以.故選：B.2．（24-25高一上·江蘇·期中）（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算【分析】運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】由，，則，故選：C3．（24-25高三上·福建寧德·期中）某一物質(zhì)在特殊環(huán)境下的溫度變化滿足：（為時(shí)間，單位為為特殊環(huán)境溫度，為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下的初始溫度，為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下冷卻后的溫度），假設(shè)一開始該物質(zhì)初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，則經(jīng)過15min，該物質(zhì)的溫度最接近（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃【答案】C【知識點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】由題意得到，進(jìn)而求解即可.【詳解】由初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，時(shí)間15min代入題中式子得：，即，即.故選：C.4．（24-25高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)（，且）.，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】在單調(diào)遞減，時(shí)，,即,另外，0<a<1時(shí)，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上所述，的取值范圍是.故選：A5．（遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題）函數(shù)是奇函數(shù)，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)【分析】由即可求解.【詳解】是奇函數(shù)，故，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合.故選：D6．（24-25高一上·福建廈門·期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小【分析】由冪函數(shù)性質(zhì)比較，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.7．（24-25高一上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】根據(jù)分段函數(shù)值域，以及對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域，夾逼出一次函數(shù)在區(qū)間上的值域與的關(guān)系，列出關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，故在上的值域?yàn)椋衷谏系闹涤驗(yàn)?，故是在上的值域的子集；又?dāng)x<1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在上的值域?yàn)椴粷M足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在上的值域?yàn)?，若滿足題意，則，即，故.綜上所述，的取值范圍為.故選：B.8．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【分析】由已知得出函數(shù)圖象的對稱中心，函數(shù)是奇函數(shù)，從而得出函數(shù)為周期函數(shù)，得最小正周期，利用周期性及奇偶性可化簡計(jì)算函數(shù)值．【詳解】依題意函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，故函?shù)的周期為4，則，而，所以由可得，而，所以，解得.故選：D.二、多選題9．（24-25高三上·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】CD【知識點(diǎn)】研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)【分析】進(jìn)行參變分離，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求出的取值范圍，即可求解．【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以．令，根據(jù)增函數(shù)減去減函數(shù)知：為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：CD．10．（24-25高三上·河南三門峽·期中）在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，下表為不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.70.80.9設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算、比較對數(shù)式的大小【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和單調(diào)性求解即可.【詳解】由換算公式和圖表可知，，，，又因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以對于A：，說法正確；對于B：，說法錯誤；對于C：，，，說法正確；對于D：，說法錯誤；故選：AC三、填空題11．（24-25高三上·青海西寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【知識點(diǎn)】由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)【分析】分析可知，內(nèi)層函數(shù)在1,2上為減函數(shù)，且，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)在0,+∞上為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，所以，內(nèi)層函數(shù)在1,2上為減函數(shù)，且，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答