專題06 函數(shù)的基本性質(zhì)（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 19個考點清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（人教A版必修一）

清單06函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的圖象1.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.1.2、函數(shù)圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；1.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個偶函數(shù)）【清單02】函數(shù)的單調(diào)性2.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).【清單03】函數(shù)的奇偶性3.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).3.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).【清單04】函數(shù)奇偶性的判斷4.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)4.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【清單05】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；5.2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點【考點題型一】函數(shù)圖象識別核心方法：特殊值法，單調(diào)性，奇偶性，零點，極限法【例1-1】（24-25高一上·廣東清遠·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【例1-2】（24-25高一上·北京朝陽·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．

C．

D．

【變式1-1】（24-25高一上·黑龍江·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（24-25高一上·吉林長春·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【考點題型二】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性核心方法：證明單調(diào)性只能用定義法判斷單調(diào)性：①（）；②（）③圖象法【例2】（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┮阎瘮?shù)，．

(1)畫出當(dāng)時，函數(shù)y=fx的圖象；(2)探究函數(shù)y=fx【變式2-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)的圖象過點和．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間0,+∞上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.

【變式2-2】（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式．(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；【考點題型三】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間核心方法：圖象法【例3】（24-25高一上·吉林長春·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【變式3-1】（24-25高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式3-2】（2024高一·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【考點題型四】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意優(yōu)先考慮定義域）核心方法：同增異減【例4】（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【變式4-1】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【考點題型五】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)核心方法：圖象法【例5-1】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5-2】（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是.【變式5-1】（24-25高一上·廣西河池·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一上·廣東清遠·期中）若在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【考點題型六】判斷函數(shù)的奇偶性核心方法：①定義法②圖象法③性質(zhì)法偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【例6】（24-25高一上·上海徐匯·期中）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號為①②③

④【變式6-1】（24-25高一上·甘肅武威·期中）在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式6-2】（多選）（24-25高一上·陜西咸陽·期中）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【考點題型七】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值核心方法：奇偶性定義【例7】（24-25高一上·四川成都·期中）已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【變式7-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函數(shù)，且，則（

）.A． B． C． D．3【變式7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù).【考點題型八】利用函數(shù)奇偶性解不等式核心方法：奇偶性+單調(diào)性（特別注意容易忽視定義域）【例8-1】（多選）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且對任意，當(dāng)時，總有，則滿足的x的值可能是（

）A． B． C． D．【例8-2】（24-25高一上·天津南開）定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是.【變式8-1】（24-25高一上·湖北黃岡·期中）已知定義域為的偶函數(shù)滿足：對任意，，都有成立，則滿足的x取值范圍是（

）A．?∞,1 B． C． D．【變式8-2】（24-25高一上·天津津南·期中）定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集（

）A． B． C． D．【考點題型九】函數(shù)的對稱性和周期性【例9】（24-25高三上·遼寧錦州·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則（

）A．2024 B．2 C．1 D．0【變式9-1】（多選）（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．【變式9-2】（多選）（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)的定義域為，對任意都有，且，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．為偶函數(shù)【考點題型十】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用【例10】（多選）（24-25高一上·重慶·期中）已知定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱B．是以8為周期的周期函數(shù)C．存在函數(shù)，使得對，都有D．【變式10-1】（多選）（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且，則（

）A． B．的一個周期是3C．的一個對稱中心是 D．【變式10-2】（多選）（24-25高三上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)的定義域為R，函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．D．若函數(shù)滿足，則【考點題型十一】利用函數(shù)奇偶性求解析式【例11】（24-25高一上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式為.【變式11-1】（23-24高一上·遼寧沈陽·期中）已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，．【變式11-2】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，．【考點題型十二】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例12】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；(2)求集合M={m|使方程有兩個不相等的實根}.【變式12-1】（23-24高一上·陜西商洛·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．

(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖像并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【變式12-2】（23-24高一上·天津）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（用開區(qū)間表示）【考點題型十三】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例13】（24-25高一上·河南洛陽·期中）設(shè)若函數(shù)y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式13-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式13-2】（24-25高一上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.【考點題型十四】分段函數(shù)的值域或最值問題核心方法：圖象法【例14】（24-25高一上·天津·期中）給定函數(shù)，，用表示函數(shù)，中的較大者，即,，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．2【變式14-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，記，則函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．1 C．3 D．12【變式14-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）定義運算，已知函數(shù)，則的最大值為.【考點題型十五】二次函數(shù)的最值問題（不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題）核心方法：配方法+圖象法【例15】（24-25高一上·貴州·期中）已知函數(shù)滿足.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.【變式15-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【變式15-2】（24-25高一上·陜西漢中·期中）函數(shù)的值域是.【考點題型十六】二次函數(shù)的最值問題（含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題）核心方法：圖象法+分類討論【例16-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)．(1)已知，若，求實數(shù)取值范圍；(2)求在上的最小值；(3)函數(shù)的最大值．【例16-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示，請根據(jù)圖象；

(1)畫出在軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的解析式；(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【變式16-1】（24-25高一上·河南洛陽·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；(2)若不等式的解集為，求實數(shù)k的值；(3)求函數(shù)在上的最小值.【變式16-2】（24-25高一上·廣東清遠·期中）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的值域.【考點題型十七】恒成立與能成立問題核心方法：判別法+變量分離法+基本不等式+對勾函數(shù)【例17-1】（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若對任意的，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【例17-2】（24-25高一上·湖南邵陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若關(guān)于x的不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.【變式17-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定義域是的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)若，求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)若，不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.【變式17-2】（24-25高一上·湖北·階段練習(xí)）設(shè)，其中，記．(1)若，求的值域；(2)若，記函數(shù)對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【考點題型十八】抽象函數(shù)綜合問題【例18】（24-25高一上·湖北·期中）函數(shù)的定義域為，且滿足對于任意，有，當(dāng)時，.(1)證明：是偶函數(shù)；(2)如果，解不等式.【變式18-1】（24-25高一上·重慶·期中）已知定義域在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，.(1)求，的值；(2)證明是偶函數(shù)；(3)解不等式.【變式18-2】（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）設(shè)函數(shù)滿足：①對任意實數(shù)都有；②對任意，都有恒成立；③不恒為0，且當(dāng)時，.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并給出你的證明.(3)定義“若存在非零常數(shù)，使得對函數(shù)定義域中的任意一個，均有，則稱為以為周期的周期函數(shù)”.試證明：函數(shù)為周期函數(shù)，并求出的值.【考點題型十九】函數(shù)基本性質(zhì)中的新定義問題【例19】（24-25高一上·湖北·期中）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)時，，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.(1)求證：是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，當(dāng)取得最大值時，求的值.【變式19-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函數(shù)對任意的均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下面函數(shù)①；②是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)全集為，函數(shù)，試判斷并證明函數(shù)是否具有性質(zhì)；(3)若函數(shù)具有性質(zhì)，且，求證：對任意，，均有.【變式19-2】（24-25高一上·山東青島·期中）對于區(qū)間，若函數(shù)同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)，②函數(shù)在的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.(1)求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間；(2)判斷函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間，并說明理由；(3)已知函數(shù)有“保值”區(qū)間，當(dāng)取得最大值時求的值.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·天津南開·期中）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C．3 D．52．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，且對任意都有則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函數(shù)，且對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)，若在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·天津北辰·期中）已知函數(shù)，其中為奇函數(shù)，若，則（

）A．2017 B．2018 C．2023 D．20227．（24-25高一上·福建廈門·期中）若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，且不等式對于一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，若正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知函數(shù)的定義域是，且，