專(zhuān)題03 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 11個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）

清單03等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類(lèi)討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）【清單02】不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱(chēng)性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類(lèi)討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)【清單03】重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【清單04】基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類(lèi)陷阱）【考點(diǎn)題型一】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小【解題方法】作差法【例1】（24-25高一上·北京延慶·期中）若和，則和的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)條件，通過(guò)作差法，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：C.【變式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命題:①若，則

②若，則③若，則

④若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法可判斷結(jié)果.【詳解】對(duì)于①：若，則，即或，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：若，當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，，則，故③正確；對(duì)于④：若，，所以，故④錯(cuò)誤；綜上，只有③正確，故選：A.【變式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，則有.（請(qǐng)?zhí)睢啊薄ⅰ啊?、“”、“”、“”）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法可得出、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，?故答案為：.【考點(diǎn)題型二】基本不等式（和為定值求積的最值）【例2】（24-25高三上·山東棗莊·期中）求下列各式的最值(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)已知，求的最大值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由，結(jié)合基本不等式求解即可；（2）由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為；（2）因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為.【變式2-1】（24-25高一上·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若，且，則的最大值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【變式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且．(1)求xy的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求積的最大值【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值為；（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】（1）方法一：∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，∴，∴，的最大值為；方法二：，解得，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)；（2）∵，又∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∵，∴，，∴，∴當(dāng)，時(shí)，的最小值為9．【考點(diǎn)題型三】基本不等式（積為定值求和的最值）【例3】（24-25高一上·北京·期中）當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．13【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以由題意可知，，即的最大值為.故選：C【變式3-1】（24-25高一上·陜西寶雞·期中）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】將原式變形為，利用基本不等式求得最小值.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為，故選：D.【變式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用配湊法、基本不等式解決即可.【詳解】由基本不等式可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以函數(shù)的最小值是.故答案為：.【考點(diǎn)題型四】基本不等式（湊項(xiàng)（系數(shù)））形如：【例4】（24-25高一上·上海閔行·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值為，故答案為：.【變式4-1】（24-25高一上·貴州六盤(pán)水·期中）已知，則的最大值是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】利用基本不等式求解.【詳解】解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最大值是.故答案為：【變式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值．【答案】/0.52【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，且的最小值為2，故答案為：，2【考點(diǎn)題型五】基本不等式（常數(shù)代換法）形如：①已知，求；或已知，求【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等價(jià)于有解，解出即可得.【詳解】由均為正實(shí)數(shù)，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則不等式有解等價(jià)于有解，即有，解得或.故答案為：.【變式5-1】（24-25高一上·天津紅橋·期中）已知，，且，則的最小值.【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”.故答案為：5.【變式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將展開(kāi)，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，取得最小值為，故答案為：.【考點(diǎn)題型六】基本不等式（二次與二次（或一次）商式）形如：或者，常用換元法：令【例6】（24-25高一上·上海·開(kāi)學(xué)考試）若，則的最小值為.【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為：4【變式6-1】（24-25高一上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】利用基本不等式可求，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，化簡(jiǎn)已知即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即y的最大值是.故選：D.【變式6-2】（22-23高一上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，求的最小值【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6.【考點(diǎn)題型七】條件等式求最值形如：，目標(biāo)①求型；目標(biāo)②求型【例7】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】由可得，后由基本不等式可得答案.【詳解】因，則，則.當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，，即，時(shí)取等號(hào).故選：A【變式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，由基本不等式可得，即，因?yàn)椋?，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.【變式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足.(1)求的最小值，并求出此時(shí)，的值；(2)若的最小值是25，求的值.【答案】(1)，，(2)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解；（2）利用基本不等式求出的最小值，進(jìn)而求出值.【詳解】（1）由變形得到：，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.【考點(diǎn)題型八】對(duì)鉤函數(shù)求最值形如或者【例8】（23-24高二上·河南）已知函數(shù)的最小值為，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)勾函數(shù)求最值【分析】取特殊值可判斷AC，利用基本不等式可判斷BD.【詳解】若，則，故A選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，這顯然不成立，故B選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；若，則，故C選項(xiàng)不符合題意；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D.【變式8-1】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期中）下列命題中，是假命題的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)勾函數(shù)求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用特殊值判斷A、C，利用基本不等式判斷D，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以恒成立，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：AC【變式8-2】（多選）（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若，則的最大值是【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、對(duì)勾函數(shù)求最值【分析】利用基本不等式判斷A、C、D，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，令，則且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確，故選：ACD．【考點(diǎn)題型九】基本不等式的恒成立問(wèn)題【例9】（23-24高二上·黑龍江綏化）設(shè)正數(shù)，滿(mǎn)足，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立問(wèn)題、基本不等式求和的最小值【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根據(jù)不等式恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿(mǎn)足，則，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立.，所以，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.令，因?yàn)?，所?所以.故選：D.【變式9-1】（24-25高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知，且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式、基本不等式的恒成立問(wèn)題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，由題設(shè)條件得到，進(jìn)而得到，接著結(jié)合基本不等式求得最小值得到即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，可得對(duì)任意的恒成立，又因?yàn)?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為，所以，可得，即，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式9-2】（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知滿(mǎn)足.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）變形后，利用基本不等式“1”的代換求出最小值；（2）先求出，參變分離得到，變形得到，利用基本不等式求出取得最小值，則，【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以的取值范圍.【考點(diǎn)題型十】在實(shí)際問(wèn)題中判斷使用基本不等式求最值【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司為提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益，大力進(jìn)行新產(chǎn)品研發(fā)，現(xiàn)計(jì)劃投入72萬(wàn)元，全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)，每種產(chǎn)品至少要投入15萬(wàn)元，在對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研分析完后發(fā)現(xiàn)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)，乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與研發(fā)投入（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足，，設(shè)甲產(chǎn)品的投入為（單位：萬(wàn)元），兩種產(chǎn)品的總收益為（單位：萬(wàn)元）．(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)甲產(chǎn)品投入26萬(wàn)元時(shí)，兩種產(chǎn)品的總收益為多少萬(wàn)元；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)投入，才能使總收益最大？【答案】(1)，88萬(wàn)元(2)在甲產(chǎn)品投入39萬(wàn)元，在乙產(chǎn)品投入33萬(wàn)元【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意，分情況列出關(guān)系式，寫(xiě)成分段函數(shù)形式即可；（2）分情況求出各段的最大值，結(jié)合換元，基本不等式，二次函數(shù)知識(shí)求解即可.【詳解】（1）甲產(chǎn)品的投入為萬(wàn)元，則乙產(chǎn)品的投入為萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上：,即當(dāng)甲產(chǎn)品投入26萬(wàn)元時(shí)，兩種產(chǎn)品的總收益為88萬(wàn)元.（2）當(dāng)時(shí),令，則總收益為顯然當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）.當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)..,該公司在甲產(chǎn)品投入39萬(wàn)元，在乙產(chǎn)品投入33萬(wàn)元，總收益最大，最大總收益為89.5萬(wàn)元.【變式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知某商品每件的成本為8元，每月銷(xiāo)量（萬(wàn)件）與每件售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系近似為：，若使每月的凈利潤(rùn)最高，則每件售價(jià)應(yīng)定為（

）（注：凈利潤(rùn)銷(xiāo)售總額總成本）A．10元 B．12元 C．15元 D．16元【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】由每件售價(jià)，表示出每月的凈利潤(rùn)，再利用基本不等式求最大值，等號(hào)成立時(shí)，即可求得，可得答案.【詳解】設(shè)每月的凈利潤(rùn)為，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則每件售價(jià)應(yīng)定為元.故選：B.【變式10-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）現(xiàn)使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)20g藥品，操作方法如下：先將10g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些藥品放在天平右盤(pán)中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些藥品放在天平左盤(pán)中，使得天平平衡．你認(rèn)為兩次實(shí)際稱(chēng)得的藥品總重量（

）A．等于20g B．大于20g C．小于20g D．以上都有可能【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】利用平衡條件得出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，且，左盤(pán)放的藥品為克，右盤(pán)放的藥品為克，則，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，而，所以.故選：B【考點(diǎn)題型十一】不等式中的新定義題【例11】（24-25高一上·四川成都·期中）對(duì)于基本不等式，即當(dāng)，時(shí)有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式取“=”），我們稱(chēng)為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)．這只是均值不等式的一個(gè)簡(jiǎn)化版本．均值不等式的歷史可以追溯到19世紀(jì)，由在1882年發(fā)表的論文中首次提出．均值不等式，也稱(chēng)為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式．它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系．它表明：個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)大于等于它們的算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)，且當(dāng)這些數(shù)全部相等時(shí)，等號(hào)成立．(1)請(qǐng)直接運(yùn)用上述不等式鏈中某個(gè)的情形求的最小值；(2)寫(xiě)出時(shí)調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，并證明；(3)如圖，把一塊長(zhǎng)為的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線(xiàn)折轉(zhuǎn)做成一個(gè)無(wú)蓋的方底盒子．問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？【答案】(1)(2)，其中，，(3)切去的正方形邊長(zhǎng)為時(shí)，才能使盒子的容積最大.【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、由基本不等式證明不等關(guān)系、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)已知條件給出的不等式求解即可；（2）根據(jù)已知條件給出的幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)寫(xiě)出不等式即可，證明見(jiàn)詳解；（3）設(shè)出小正方形的邊長(zhǎng)，表示出盒子的容積，利用不等式求解最值即可.【詳解】（1）由題意得所以時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)，調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系為，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.證明：所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.根據(jù)題意，可設(shè)，，，用，，替換，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（3）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，則盒子的高，底邊邊長(zhǎng)為，可得盒子的容積為，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以切去的正方形邊長(zhǎng)為時(shí)，才能使盒子的容積最大，最大容積為.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）定義：為實(shí)數(shù)中較大的數(shù)．若，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、基本不等式求和的最小值【分析】先根據(jù)的范圍，討論的大小關(guān)系，在每種情況中分別用均值不等式和不等式的性質(zhì)確定的范圍，即可得解．【詳解】設(shè)，則由題意可得，因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，只需考慮，所以，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)時(shí)，，只需考慮，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上所述，的最小值為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是在利用均值不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)，特別注意同向不等式的應(yīng)用和均值不等式成立的條件.【變式11-2】（24-25高一上·福建福州·階段練習(xí)）若一個(gè)集合含有個(gè)元素，且這個(gè)元素之和等于這個(gè)元素之積，則稱(chēng)該集合為元“復(fù)活集”.(1)直接寫(xiě)出一個(gè)2元“復(fù)活集”（無(wú)需寫(xiě)出求解過(guò)程）；(2)求證：對(duì)任意一個(gè)2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4；(3)是否存在某個(gè)3元“復(fù)活集”，其元素均為正整數(shù)?若存在，求出所有符合條件的3元“復(fù)活集”；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)（答案不唯一）；(2)證明見(jiàn)解析；(3)存在某個(gè)3元“復(fù)活集”，所有符合條件的3元“復(fù)活集”為：.【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、集合新定義【分析】（1）根據(jù)“復(fù)活集”的定義寫(xiě)出一個(gè)2元“復(fù)活集”.（2）利用基本不等式證得結(jié)論成立.（3）先求得一個(gè)3元“復(fù)活集”，然后證明這個(gè)“復(fù)活集”是唯一的，從而確定正確答案.【詳解】（1）設(shè)一個(gè)2元“復(fù)活集”為（），則，由于，所以一個(gè)2元“復(fù)活集”可為（答案不唯一）.（2）由上述分析可知，2元“復(fù)活集”（）滿(mǎn)足，若，則即，所以（舍去）或即，所以對(duì)任意一個(gè)2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4.（3）設(shè)元“復(fù)活集”，其中都是正整數(shù)，且兩兩不相等，根據(jù)集合元素的互異性和無(wú)序性，不妨設(shè)，根據(jù)“復(fù)活集”可得，因?yàn)?，所以存在元素均為正整?shù)的元“復(fù)活集”.設(shè)，則，由，得，整理得，由于且都是正整數(shù)，所以，所以，此時(shí)元“復(fù)活集”為.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，由于且都是正整數(shù)，所以只有滿(mǎn)足，但與矛盾，所以當(dāng)時(shí)，不存在元素均為正整數(shù)的元“復(fù)活集”.綜上所述，存在某個(gè)3元“復(fù)活集”，所有符合條件的3元“復(fù)活集”為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:在第（3）小問(wèn)中的求解過(guò)程中，關(guān)鍵在于利用分類(lèi)討論和整數(shù)的性質(zhì)，確定元素的取值范圍.通過(guò)先假設(shè)一個(gè)元素等于1，利用方程的對(duì)稱(chēng)性和因式分解，找出了滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)解，并證明了這個(gè)解的唯一性；再假設(shè)，由“復(fù)活集”定義和整數(shù)的性質(zhì)得，從而再由正整數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步可求解.提升訓(xùn)練1．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知，則以下錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】由不等式的基本性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，，故AB正確；而，，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：D.2．（24-25高一上·遼寧大連·期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】利用不等式性質(zhì)，先求解出的范圍，然后可求即的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，故選：D.3．（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．與的取值有關(guān)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】由作差法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.4．（湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)基本不等式求的最小值，再將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，可得不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)?，且為正?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，則因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，故選：A.5．（浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，得到答案.【詳解】，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D6．（24-25高一上·北京·期中）使“函數(shù)的最小值為2”為假命題的的一個(gè)值可以是（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知命題的真假求參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求出取得最小值的條件，進(jìn)而求出的范圍，再利用其否定為真命題即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，則，由“函數(shù)的最小值為2”為假命題，所以.故選：D7．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】由解出a，代入，進(jìn)行適當(dāng)變形，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿(mǎn)足，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：D8．（24-25高一上·江西上饒·階段練習(xí)）已知正數(shù)x、y滿(mǎn)足，不等式恒成立.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)?，，所以由基本不等式可得，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，的最小值為；因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C.9．（多選）（24-25高一上·河北石家莊·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)基本（均值）不等式可判定ABD是正確的，舉反例說(shuō)明C是錯(cuò)誤的.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故A正確；對(duì)B：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，由A選項(xiàng)可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故D正確.故選：ABD.10．（多選）（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·期中）若且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最大值為【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，且，A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，解得，所以，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)的分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為，而，但此時(shí)，所以取不到最小值，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，（則①），，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，但，與①矛盾，故等號(hào)不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．（24-25高一上·海南?？凇て谥校┤簦瑒t的最小值為.【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】通過(guò)配方化簡(jiǎn)函數(shù)，利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意得，，∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.故答案為：2.12．（24-25高一上·河北·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為.【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】化簡(jiǎn)可得，結(jié)合解不等式可得，解不等式可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得或（舍去），所以的最小值為.故答案為：.四、解答題13．（24-25高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：.(1)求的最大值；(2)求的最小值；【答案】(1)(2)25【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得答案；（2）利用“1”的巧用，將化為，展開(kāi)后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】（