重難點(diǎn)03 陰影部分面積求解問(wèn)題（解析版）

重難點(diǎn)突破03陰影部分面積求解問(wèn)題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u方法一直接公式法方法二和差法題型01直接和差法題型02構(gòu)造和差法題型03割補(bǔ)法類型一全等法類型二等面積法類型三平移法、旋轉(zhuǎn)法類型四對(duì)稱法題型04容斥原理【基礎(chǔ)】設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長(zhǎng)公式l=nπR180（弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr【方法技巧】1）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果．在弧長(zhǎng)公式l=nπR180中，已知l，n2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長(zhǎng)，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S扇形3）扇形面積公式S扇形=12lR與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形、把弧長(zhǎng)l看成底，4）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量．5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，即2πr=nπR180，來(lái)建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角n°之間的關(guān)系6）求弧長(zhǎng)或扇形的面積問(wèn)題常結(jié)合圓錐考查，解這類問(wèn)題只要抓住圓錐側(cè)面展開(kāi)即為扇形，而這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于原圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于原圓錐的母線長(zhǎng)．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開(kāi)后的扇形半徑兩個(gè)概念．【陰影部分面積求解問(wèn)題簡(jiǎn)介】求陰影部分面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1）直接用公式求解．圖形公式S陰影=S扇形ABCS陰影=S△ABCS陰影=S四邊形ABCD=ab2）和差法：所求面積的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，進(jìn)行求解．①直接和差法.（陰影部分是幾個(gè)常見(jiàn)圖形組合而成，即S陰影=S常見(jiàn)圖形±S常見(jiàn)圖形）圖形面積計(jì)算方法圖形面積計(jì)算方法S陰影=S△ACB?S扇形ABDS陰影=S扇形AOB?S△AOBS陰影=S△AOB?S扇形CODS陰影=S扇形BAD?S半圓ABS陰影=S半圓AB?S△AOBS陰影=S扇形之和=nπR2S陰影=S扇形EAF?S△ADE②構(gòu)造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形,然后進(jìn)行相加減。）圖形公式S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割補(bǔ)法：直接求面積較復(fù)雜或無(wú)法計(jì)算時(shí)，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．①全等法圖形公式S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法圖形公式S陰影=S扇形COD③平移法圖形公式S陰影=S正方形BCFES陰影=S矩形ABHG④旋轉(zhuǎn)法圖形公式S陰影=S扇形AOES陰影=S扇形BODS陰影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤對(duì)稱法圖形公式S陰影=S△ACDS陰影=S扇形CDES陰影=S△OBC=14S正方形AS陰影=S扇形ACB-S△ACD4)容斥原理當(dāng)陰影部分是由幾個(gè)圖形疊加形成時(shí),1）需先找出疊加前的幾個(gè)圖形;2）然后理清圖形之間的重疊關(guān)系.圖形（舉例）公式S陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓ABS陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACBS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD?S△ACB方法一直接公式法1．（2022·湖北武漢·校考三模）如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內(nèi)作直角扇形，再以D為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點(diǎn)E剛好落到半圓上，若AB=10，則陰影部分的面積為（

A．16π B．12π C．8π【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，連接AE，BE，首先證明△AEF～△EBF，設(shè)AC=x，則AF【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，連接AE，

∵AB是半圓的直徑，∴∠AEB=90°，即∵EF⊥∴∠AFE∴∠EAB∴∠EBA∴△AEF∴AFEF=EF設(shè)AC=∵EF⊥∴四邊形DCFE是正方形，∴CD=∴AF=2∴BF=10-2∴x2∴x1=0（舍去），∴S陰影故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和扇形的面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．若將一骰子（看成一個(gè)點(diǎn)）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為【答案】1【分析】本題考查了幾何概率，先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠AEB【詳解】解：∵以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E，∴BE=在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，∴sin∠∴∠AEB∴∠EBA∴∠EBC∴陰影部分的面積：S=∵矩形的面積為2，∴將一骰子（看成一個(gè)點(diǎn)）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為13故答案為：163．（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°

【答案】9【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)，再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6∴AD=∴S扇形AD故答案為：9π【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．方法二和差法題型01直接和差法4．（2019上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC，AB=10

【答案】25【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)AB=10，BC:AC=3:4，可以求得【詳解】解：∵AB∴∠ACB∵BC設(shè)BC=3AC2+解得：a=2BC=6,∴S故答案為：252【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留π）.

【答案】16-4π/【分析】分析出陰影面積=正方形面積-圓的面積，再利用相應(yīng)的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由圖得，陰影面積=正方形面積-4個(gè)即陰影面積=正方形面積-圓的面積，∴S故答案為：16-4π【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關(guān)鍵．6．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F

【答案】1-【分析】連接CD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得扇形的半徑，再利用圖中陰影部分的面積=S【詳解】解：連接CD，如圖，

∵以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，∴CD∵△ACB∴CD∵AB∴CD∴陰影部分的面積=S=1=1=1-π故答案為：1-π【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)定理、扇形、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．

【答案】6【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出∠A【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=5-2∴∠A∴S故答案為：6π【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．題型02構(gòu)造和差法8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為RtA．3π4 B．6-3π4 C【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)；勾股定理求得AB=5，進(jìn)而根據(jù)等面積法求得，三角形的內(nèi)切半徑，根據(jù)S【詳解】解：Rt△ABC中，AC=4∴AB=32∴S△ABC=∴內(nèi)切圓半徑r=∴S圓設(shè)⊙O與AC切于點(diǎn)D，與BC切于點(diǎn)E，連接OD、OE則四邊形ODCE為正方形，∴S陰影故選：C．9．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接

A．3-13π B．3π-1【答案】A【分析】利用平行四邊形的面積減去扇形面積和三角形面積即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于

∵AD=2，∠∴DF=1∵以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，∴AE=又∵AB=4∴BE=2∴S陰影==4×1-=3-π故選A．【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和三角形的面積公式，扇形的面積公式，不規(guī)則圖形面積的求法，掌握相關(guān)面積公式和定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為2，AB=23，則陰影部分的面積是【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，求出OH的長(zhǎng)和∠AOB【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接∴∠AHO=∠BHO=90°，∴sin∠AOH=AHAO∴∠AOH∴∠AOB=2∠∴圖中陰影部分的面積為S扇形故答案為：43【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求出OH的長(zhǎng)和∠AOB11．（2023上·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，CB長(zhǎng)為直徑畫半圓，交AB于點(diǎn)【答案】π【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面積，根據(jù)含30°角的直角三角形的特征得AB=2AC=4，再利用勾股定理得BC=23，BD=CD【詳解】解：連接CE、ED，如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴∠CDE=60°，∴BC=4∴CE=1∴圖中陰影部分的面積=S故答案為：π-12．（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為5，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個(gè)正方形CDEF，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D、E在OB上，點(diǎn)F在AB上，則陰影部分的面積為

【答案】5【分析】連接OF，由勾股定理可計(jì)算得正方形CDEF的邊長(zhǎng)為1，則正方形CDEF的面積為1，等腰直角三角形COD的面積為12，扇形AOB的面積為18π【詳解】解：連接OF，則OF=∵∠AOB∴∠DCO∴∠COD∴CD=∴EF=Rt△OE∴(2EF)∴OD∴S陰影故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理，正方形的性質(zhì)；構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022·福建·一模）如圖，在平行四邊形紙板ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，O分別為AB，

【答案】3【分析】根據(jù)點(diǎn)E，F(xiàn)，O分別為AB，CD，BD的中點(diǎn)，得到【詳解】解：如圖，連接OE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，∴點(diǎn)E，∴S△EOD∴S∴S∴飛鏢落在陰影部分的概率為38故答案為：38【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比，根據(jù)題意計(jì)算出S陰影14．（2023·廣東梅州·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙D經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為0,23，OC與⊙D交于點(diǎn)C，∠OCA

【答案】2π-【分析】連接AB，從圖中明確S陰影【詳解】解：連接AB，

∵∠AOB∴AB是直徑，根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得：∠OBA∵點(diǎn)B坐標(biāo)為0,23∴OB=23∴

OA=OBtan即圓的半徑為2，∴S陰影故答案為：2π【點(diǎn)睛】本題考查了同弧對(duì)的圓周角相等；90°的圓周角對(duì)的弦是直徑；銳角三角函數(shù)的概念；圓、直角三角形的面積分式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題．15．（2023·河南周口·淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°，將扇形AMB沿射線MB平移得到扇形CND，已知線段CN經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)E，若AM=2

【答案】2【分析】連接ME，根據(jù)E為AB的中點(diǎn)，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°，得出∠EMB=∠AME=1【詳解】解：連接ME，如圖所示：

∵E為AB?的中點(diǎn)，扇形AMB的圓心角∠∴∠EMB∵AM=2∴EM=∴l(xiāng)BE根據(jù)平移可知，AM∥∴∠AME∴∠BME∴EN=∴陰影部分的周長(zhǎng)為：NE==23故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC的頂點(diǎn)A，C在⊙O上，BC邊經(jīng)過(guò)圓心0且與⊙O交于D(1)求證：AB是⊙O(2)若AB=6【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)6【分析】（1）連接OA，由AB=AC，∠B=30°，可得∠CAB（2）在RtΔOAB中，利用勾股定理可求得OA=23，再根據(jù)S【詳解】（1）證明：連接OA，∵AB=∴∠C=∠B∵OC=∴∠OAC∴∠OAB∵OA是⊙O∴AB是圓O的切線．（2）解：∵∠B=30°，∴OB∵AB=6∴OA∴OA∴S陰【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.17．（2023·山西長(zhǎng)治·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC、BC于點(diǎn)E、F、G、H，若點(diǎn)E、F是線段

A．82-2π B．162-【答案】A【分析】連接CD，由等腰三角形的性質(zhì)可得CD⊥AB，AD=BD=2，由題意可得AC【詳解】解：如圖，連接CD，

，∵CA=CB，AB=4，點(diǎn)∴CD⊥AB∵分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC、BC于點(diǎn)E、F、G、H，點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)，∴AC∴CD∴=1==8=82故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計(jì)算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）已知AB是⊙O的直徑，DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點(diǎn)分別為

(1)如圖1，求證：OE(2)如圖2，AD=1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，由OA=OE可得DO垂直平分∠ADE，則∠（2）連接OC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是矩形，可得CF=2，利用勾股定理求出DF，可得半徑是3，OC=23【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，OC，

，∵DA、DE、BC∴AB⊥BC，AB∴AD∥BC∵OA∴DO平分∠∴∠ADO同理可得：∠BCO∵AD∴∠ADE∴∠ODE∵∠ODE∴∠EOD∴△ODE∴OE∴O（2）解：如圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)

，則四邊形ABFD是矩形，∴AD=BF∵DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點(diǎn)分別為∴DE=AD∴CF=BC∴DF∴AB∴⊙O的半徑是3∴OC∴OC∴∠OCB∴∠BCE∴∠BOE∴S【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03割補(bǔ)法類型一全等法19．（2022上·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀〢B是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠C=30°A．π B．2π C．83π D【答案】C【分析】先求出∠EOD，再根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)得CE，及AC=2AE，然后根據(jù)勾股定理求出AE，進(jìn)而得出AC，同理求出OE，【詳解】解：∵∠C∴∠EOD∵AB⊥CD，AB過(guò)圓心O，∴∠AEC=∠∴∠EDO在Rt△ACE中，∴AC=根據(jù)勾股定理，得(2AE解得AE=∴AC=2同理OE=2，∴S△∴S陰影故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，扇形的面積等，將求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．20．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，以點(diǎn)A為圓心，矩形的長(zhǎng)AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AE恰好平分∠BAD，則陰影部分的面積為（

A．1 B．π-2-12 C【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求出∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD∵AE恰好平分∠BAD∴∠BAE∴AB=∴AE=∴S扇形AEF=∴S陰影由題意可知AD=∴S矩形ABCD=∴S陰影∴陰影部分的面積為S陰影故選D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．21．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)B為圓心，對(duì)角線BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為

【答案】π【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD=2【詳解】解：正方形ABCD，∴AO=CO,∴△AOD∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BD∴陰影部分的面積為扇形BED的面積，即45×π故答案為：π．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．22．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積為【答案】6【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF，可得△AOE與【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=3∴OA=OC，AB=∴∠AEO又∵∠AOE在△AOE和△∠AEO∴△AOE∴S△∴S陰影∴S△故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三家形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明三角形全等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半是解題的關(guān)鍵．23．（2022上·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C為弧AB上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，A．403π B．1109π C．【答案】C【分析】連接OC，易證得四邊形CDOE是矩形，則△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝40°，圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，利用扇形的面積公式即可求得．【詳解】解：如圖，連接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四邊形CDOE是矩形，∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE，∵∠CDE＝40°，∴∠DEO＝∠CDE＝40°，在△DOE和△CEO中，OD＝∴△DOE≌△CEO（SSS），∴∠COB＝∠DEO＝40°，∴圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，∵S扇形OBC＝40π×10∴圖中陰影部分的面積為1009故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，矩形的判定與性質(zhì)，利用扇形OBC的面積等于陰影的面積是解題的關(guān)鍵．類型二等面積法24．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若A．π4 B．π3 C．2π【答案】A【分析】連接OE，OD，證明S△AOD=S△【詳解】解：連接OE，OD，∵AC為⊙O∴∠AEC∵AB=∴BE=即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OE是△ABC∴OE∥∴S△∴S陰影∵∠AEC∴∠AEB∵∠BED∴∠AED∴∠AOD∴S扇形∴S陰影故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，扇形面積的計(jì)算，熟練的證明S陰影25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考下面是小明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)解決圖形與幾何中的問(wèn)題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要作輔助線構(gòu)造全等三角形才能得到解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交，構(gòu)造全等三角形，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決此問(wèn)題．例：如圖1，D是△ABC內(nèi)的點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD．若

該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：解：如圖2，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E．

∵AD平分∠BAC∴∠DAB∵AD⊥∴∠ADC在△ADE和△∠∴△ADE∴S△ADE=S△任務(wù)：(1)上述解答過(guò)程中的“依據(jù)*”是指；(2)請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

【答案】(1)全等三角形面積相等(2)見(jiàn)解析(3)10【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出答案；（2）先判斷△ADE≌△ADCASA得出S△（3）延長(zhǎng)CE，AB相交于點(diǎn)Q，先判斷出△AEQ≌△AECASA，得出【詳解】（1）由題意可知，依據(jù)是全等三角形面積相等，故答案為：全等三角形面積相等．（2）解：如圖2，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E．

∵AD平分∠BAC∴∠DAB∵AD⊥∴∠ADC在△ADE和△∠DAB∴△ADE∴S△ADE=∴S∴===5∴S（3）解：如圖：

延長(zhǎng)CE，AB相交于點(diǎn)∵AD平分∠BAC交BC∴∠BAD∵CE∴∠AEQ∵AE∴△AEQ∴EQ∵∠CBQ∴CQ∵∠ABC∴∠BAD∵AB=CB∴△ABD∴AD【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．26．（2023上·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，連接BC，CD，AC，BD，BC【答案】9【分析】連接OD，OC，OC交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，由圓周角定理可得∠AOD=2∠ACD=60°，再由OD=OC=【詳解】解：連接OD，OC，OC交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)

∵AB∴∠ACB∵∠ACD∴OD∵BC=CD∴∠DOC∵OD∴∠OBD=∠ODB∴OE∴OE∴BD=2BE∴S故答案為：93【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．類型三平移法、旋轉(zhuǎn)法27．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為8cm的⊙O中，連接CE，AC，AE，沿直線CE折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，則圖中陰影部分的面積為（

A．323cm2 B．83cm2【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及圓的對(duì)稱性可得出OM=MD=12OC=4【詳解】解：如圖，連接OD，交CE于點(diǎn)M，則OD⊥

由折疊可知OM=∠COM在Rt△CM=∴CE由題意可知，△ACE是等邊三角形，陰影部分面積等于S連接OA，點(diǎn)O為△ACES△∴=2×=323故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．28．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過(guò)C點(diǎn)且與半圓O1

A．7-π9 B．5-π9 C．【答案】D【分析】利用等弦所對(duì)的弧相等，先把陰影部分變化成一個(gè)直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圓的半徑，從而求陰影部分的面積．【詳解】解：連接O1O2，設(shè)O

∵O1∴2+x解得：x設(shè)⊙O1交BC于D，⊙O2交∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，以及三角形的面積的計(jì)算，正確理解陰影部分的面積等于梯形PEDA的面積是關(guān)鍵．29．（2018·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8【答案】A【分析】利用對(duì)稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-△ABD的面積.【詳解】利用對(duì)稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-△ABD的面積=90×π×故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．類似四對(duì)稱法30．（2017上·山東東營(yíng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若AC=BC=2【答案】π【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算．求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．先利用圓周角定理的推論得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和【詳解】解：∵AB∴∠ACB∵AC∴△ACB為等腰直角三∴OC∴△AOC和△∴S△AOC∴S故答案為π431．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．若AB=3，AC=4，

A．1.5 B．3 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把陰影面積轉(zhuǎn)化為△ABC【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD，AD∥BC，OA=在△AOE和△∵∠EOA∴△AOE∴S△在△AOB和△∵OA=∴△AOB∴S△∵AB=3，AC=4，AD∴△ABC是直角三角形，且∠∴S陰影故選：C．32．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AB于點(diǎn)E(E不與A，B重合），交CD于點(diǎn)F．以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M，N．若

A．π8-18 B．π8-【答案】B【分析】圖中陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△DOC【詳解】解：以O(shè)D為半徑作弧DN，

∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OD∵∠EOB∴S∴S故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是求出陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△DOC33．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，半徑OA=3，則圖中陰影部分的面積是，（結(jié)果保留【答案】3【分析】本題主要考查三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得SΔCOB=SΔAOC【詳解】解：∵△ABC∴SΔCOB∵⊙O的半徑為3∴S故答案為：3π34．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，點(diǎn)E在OC的延長(zhǎng)線上，且∠(1)求證：直線AE是⊙O(2)若OE=6,【答案】(1)見(jiàn)解析(2)S【分析】（1）連接OA．根據(jù)半徑相等可得∠OAC=∠OCA，根據(jù)∠OCA+∠（2）連接OB，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出∠E=30°,OA=1【詳解】（1）解：如圖，連接OA．∵OA∴∠∵OC∴∠∴∠OCA又∵∠EAC∴∠OAC∴∠OAE∴又∵OA是⊙∴直線AE是⊙O（2）如圖，連接OB．∵在Rt△OAE中，sin∠∴∠∴∠AOC又∵∴△OAC又∵弦AB垂直于半徑OC．∴∴S∴S【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，求扇形面積，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．題型04容斥原理35．（2022上·重慶·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)AB=8【答案】8【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以AC,BC為直徑的2個(gè)半圓的面積加上S△ABC減去【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∴∵AB=8，∴∴S====83故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，求扇形面積，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．36．（2021·廣東江門·校考三模）如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的半圓交AB于C，D兩點(diǎn)，弦AF切小半圓于點(diǎn)E．已知AB=4，∠BAF

A．32+π3 B．33+【答案】A【分析】連接OE、OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AF，再利用勾股定理計(jì)算出EF=3，計(jì)算出∠FOE=60°，【詳解】連接OE、OF，如圖，

∵弦AF切小半圓于點(diǎn)E，∴OE∵AB=4，∴OA=OB在Rt△OEF中，∵∠BAF∴∠OFE∴∠FOE=60°，∴∠BOF∴∠DOE圖中陰影部分的面積===π故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積公式，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．37．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)【答案】π3/【分析】本題考查不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，扇形的面積公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ACE是等邊三角形，從而得到AB=2AC【詳解】如圖，連接CD．∵∠ACB=90°，∠B∴∠BAC=60°，又∵CA=∴△ACE∴∠ACE=60°，∵AB=4∴AE=∴S∴S陰影=S扇形ACE故答案為：π338．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O'處，得到扇形A'O'B'．若∠O＝90°，【答案】π【分析】設(shè)A'O與扇形AOB交于點(diǎn)C，連接OC，解Rt△OCO【詳解】如圖，設(shè)A'O與扇形AOB交