2024-2025學(xué)年年八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)勾股定理的逆定理 西城區(qū)同步學(xué)習(xí)探究•診斷測(cè)試(含答案)

2024-2025學(xué)年年八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)測(cè)試4勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)要求掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)一、填空題1．如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是______三角形，我們把這個(gè)定理叫做勾股定理的______．2．在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做____________；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的____________．3．分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有____________．(填序號(hào))4．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，①若a2＋b2＞c2，則∠c為_(kāi)___________；②若a2＋b2＝c2，則∠c為_(kāi)___________；③若a2＋b2＜c2，則∠c為_(kāi)___________．5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，則∠B＝____________；6．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的△ABC是______三角形．7．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、a、8(其中a為正整數(shù))，則以a－2、a、a＋2為邊的三角形的面積為_(kāi)_____．8．△ABC的兩邊a，b分別為5，12，另一邊c為奇數(shù)，且a＋b＋c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為_(kāi)_____，此三角形為_(kāi)_____．二、選擇題9．下列線段不能組成直角三角形的是()．(A)a＝6，b＝8，c＝10 (B)(C) (D)10．下面各選項(xiàng)給出的是三角形中各邊的長(zhǎng)度的平方比，其中不是直角三角形的是()．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三邊長(zhǎng)為n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，則此三角形()．(A)一定是等邊三角形 (B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形 (D)形狀無(wú)法確定綜合、運(yùn)用、診斷一、解答題12．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的長(zhǎng)．13．已知：如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四邊形ABCD的面積．14．已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四等分點(diǎn)且CE＝，求證：AF⊥FE．15．在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，試判定△ABC的形狀，并說(shuō)明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三邊，且a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷三角形的形狀．18．觀察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示此規(guī)律并證明，再根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出接下來(lái)的式子．參考答案1．直角，逆定理．2．互逆命題，逆命題．3．(1)(2)(3)．4．①銳角；②直角；③鈍角．5．90°．6．直角．7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．9．D．10．C．11．C．12．CD＝9．13．14．提示：連結(jié)AE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，計(jì)算得出AF，EF，AE的長(zhǎng)，由AF2＋EF2＝AE2得結(jié)論．15．南偏東30°．16．直角三角形．提示：原式變?yōu)?a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可變形為(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．18．352＋122＝372，[(n＋1)2－1]2＋[2(n＋1)]2＝[(n＋1)2＋1]2．(n≥1且n為整數(shù))18.2勾股定理的逆定理達(dá)標(biāo)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3B.三邊長(zhǎng)的平方之比為1∶2∶3C.三邊長(zhǎng)之比為3∶4∶5D.三內(nèi)角之比為3∶4∶52.如圖18－2－4所示,有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的長(zhǎng)為10cm，∠D=120°，則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是________cm（結(jié)果不取近似值）.圖18－2－4圖18－2－5圖18－2－63.如圖18－2－5，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)________.4.如圖18－2－6，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=AD，試判斷△EFC的形狀.5.一個(gè)零件的形狀如圖18－2－7，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A與∠BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，這個(gè)零件符合要求嗎？圖18－2－76.已知△ABC的三邊分別為k2－1，2k，k2+1（k＞1），求證：△ABC是直角三角形.二、綜合·應(yīng)用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三邊長(zhǎng)，△A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形嗎？為什么？8.已知：如圖18－2－8，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD.求證：△ABC是直角三角形.圖18－2－89.如圖18－2－9所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.圖18－2－910.閱讀下列解題過(guò)程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，試判斷△ABC的形狀.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.問(wèn)：①上述解題過(guò)程是從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)_______；②錯(cuò)誤的原因是______________；③本題的正確結(jié)論是__________.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷△ABC的形狀.12.已知：如圖18－2－10，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖18－2－10參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3B.三邊長(zhǎng)的平方之比為1∶2∶3C.三邊長(zhǎng)之比為3∶4∶5D.三內(nèi)角之比為3∶4∶5思路分析：判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一個(gè)角是直角或兩銳角互余；②兩邊的平方和等于第三邊的平方；③一邊的中線等于這條邊的一半.由A得有一個(gè)角是直角；B、C滿足勾股定理的逆定理，所以應(yīng)選D.答案：D2.如圖18－2－4所示,有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的長(zhǎng)為10cm，∠D=120°，則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是________cm（結(jié)果不取近似值）.圖18－2－4解：過(guò)D點(diǎn)作DE∥AB交BC于E,則△DEC是直角三角形.四邊形ABED是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.又∵在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，∴CE=5cm.根據(jù)勾股定理的逆定理得，DE=cm.∴AB=cm.3.如圖18－2－5，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)________.圖18－2－5圖18－2－6思路分析：因?yàn)椤鰽BC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因?yàn)镾3=AB2,所以AB=.答案：4.如圖18－2－6，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=AD，試判斷△EFC的形狀.思路分析：分別計(jì)算EF、CE、CF的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷即可.解：∵E為AB中點(diǎn)，∴BE=2.∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.∵CE2+EF2=CF2,∴△EFC是以∠CEF為直角的直角三角形.5.一個(gè)零件的形狀如圖18－2－7，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A與∠BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，這個(gè)零件符合要求嗎？圖18－2－7思路分析：要檢驗(yàn)這個(gè)零件是否符合要求，只要判斷△ADB和△DBC是否為直角三角形即可，這樣勾股定理的逆定理就可派上用場(chǎng)了.解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD為直角三角形，∠A=90°.在△BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以△BDC是直角三角形，∠CDB=90°.因此這個(gè)零件符合要求.6.已知△ABC的三邊分別為k2－1，2k，k2+1（k＞1），求證：△ABC是直角三角形.思路分析：根據(jù)題意，只要判斷三邊之間的關(guān)系符合勾股定理的逆定理即可.證明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最長(zhǎng)邊.∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.二、綜合·應(yīng)用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三邊長(zhǎng)，△A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形嗎？為什么？思路分析：如果將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大一個(gè)相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形（例2已證）.解：略8.已知：如圖18－2－8，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD.求證：△ABC是直角三角形.圖18－2－8思路分析：根據(jù)題意，只要判斷三邊符合勾股定理的逆定理即可.證明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.如圖18－2－9所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.圖18－2－9思路分析：借助于網(wǎng)格，利用勾股定理分別計(jì)算OA、AB、OB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△OAB是否是直角三角形即可.解：∵OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=OB2.∴△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形.10.閱讀下列解題過(guò)程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，試判斷△ABC的形狀.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.問(wèn)：①上述解題過(guò)程是從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)_______；②錯(cuò)誤的原因是______________；③本題的正確結(jié)論是__________.思路分析：做這種類(lèi)型的題目，首先要認(rèn)真審題，特別是題目中隱含的條件，本題錯(cuò)在忽視了a有可能等于b這一條件，從而得出的結(jié)論不全面.答案：①(B)②沒(méi)有考慮a=b這種可能，當(dāng)a=b時(shí)△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷△ABC的形狀.思路分析：（1）移項(xiàng)，配成三個(gè)完全平方；(2)三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則都為0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形.解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,配方并化簡(jiǎn)得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a2+b2=169=c2,∴△ABC是直角三角形.12.已知：如圖18－2－10，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖18－2－10思路分析：（1）作DE∥AB，連結(jié)BD，則可以證明△ABD≌△EDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5為勾股數(shù)，△DEC為直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面積公式，或利用三角形的面積可解.解：作DE∥AB，連結(jié)BD，則可以證明△ABD≌△EDB（ASA）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,∴△DEC為直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC為等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,∴△BDA是直角三角形.它們的面積分別為S△BDA=×3×4=6;S△DBC=×6×4=12.∴S四邊形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.勾股定理的逆定理一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.下列各組數(shù)可以構(gòu)成直角三角形的一組是()A.356B.234C.679D.1.522.52.一個(gè)正方形的一邊長(zhǎng)為3cm，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是_________________.3.測(cè)得一個(gè)三角形花壇的三邊長(zhǎng)分別為6m、8m、10m,則這個(gè)花壇的面積是____________.4.勾股定理的逆命題是_________________________________________________.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列三角形中,是直角三角形的是()A.三角形的三邊滿足關(guān)系a+b=cB.三角形的三邊長(zhǎng)分別為32,42,52C.三角形的一邊等于另一邊的一半D.三角形的三邊長(zhǎng)為7,24,252.三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足等式(a+b)2－c2=2ab，則此三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形3.如圖，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12m，一棵樹(shù)高為13m，另一棵樹(shù)高8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛____________m.()A.10B.11C.12D.134.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A與∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸:AD=4，AB=3，DC=13，BC=12，這個(gè)零件符合要求嗎？5.有一塊四邊形地ABCD,如圖,∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求該四邊形地ABCD的面積.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是()A.72+242=625=252，152+242=791≠202;B.72+242=625=252，152+202=625≠242;C.72+242=625=252，152+202=625=252;D.152+242=791≠252，72+202=449≠252.2.下列命題中的假命題是()A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，則△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度數(shù)比是5∶2∶3，則△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三邊長(zhǎng)a∶b∶c=2∶2∶3，則△ABC是直角三角形3.將直角三角形三邊擴(kuò)大同樣的倍數(shù),得到的三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線，已知AB=，那么AD=_______________.5.有四根木棒，長(zhǎng)度分別為3，4，5，6,若取其中三根木棒組成三角形，有__________種取法，其中，能構(gòu)成直角三角形的是__________________________.6.如圖，將一根25cm長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為8cm、6cm和103cm的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，則細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是多少厘米?7.一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，∠ABC=90°，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？8.如圖，南北向MN為我國(guó)的領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海.上午9時(shí)50分，我國(guó)反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知正在線上巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里.反走私艇B測(cè)得距離C艇是12海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？9.喜歡爬山的同學(xué)都知道,很多名山上都有便于游人觀光的索道,如圖所示,山的高度AC為800m,從山上A與山下B處各建一索道口,且BC=1500m,一游客從山下索道口坐纜車(chē)到山頂,知纜車(chē)每分鐘走50m,那么大約多長(zhǎng)時(shí)間后該游客才能到達(dá)山頂?說(shuō)明理由.參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.下列各組數(shù)可以構(gòu)成直角三角形的一組是()A.356B.234C.679D.1.522.5答案:D2.一個(gè)正方形的一邊長(zhǎng)為3cm，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是_________________.答案:cm3.測(cè)得一個(gè)三角形花壇的三邊長(zhǎng)分別為6m、8m、10m,則這個(gè)花壇的面積是____________.解析：因62+82=102,所以這是一個(gè)直角三角形,其面積是×6×8=24(m2).答案:24m24.勾股定理的逆命題是_________________________________________________.答案：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列三角形中,是直角三角形的是()A.三角形的三邊滿足關(guān)系a+b=cB.三角形的三邊長(zhǎng)分別為32,42,52C.三角形的一邊等于另一邊的一半D.三角形的三邊長(zhǎng)為7,24,25解析：要滿足勾股定理逆定理,D中72+242=252.所以選D.答案：D2.三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足等式(a+b)2－c2=2ab，則此三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形解析：(a+b)2－c2=a2+b2+2ab－c2=2ab,所以a2+b2=c2.那么這個(gè)三角形是直角三角形.答案：B3.如圖，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12m，一棵樹(shù)高為13m，另一棵樹(shù)高8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛____________m.()A.10B.11C.12D.13解析:如圖，作DE⊥AB于E，因?yàn)锳B=13m，CD=8m，所以AE=5m.由BC=12m，所以DE=12m.在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，因?yàn)锳E=5，DE=12，所以AD2=52+122.所以AD2=169.所以AD=13(m).所以一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛13m.答案:D4.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A與∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸:AD=4，AB=3，DC=13，BC=12，這個(gè)零件符合要求嗎？解:在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以△ABD為直角三角形,且∠A=90°.在△BDC中，BD2+BC2=52+122=25+144=169=132=DC2,所以△BDC是直角三角形,且∠DBC=90°，因此這個(gè)零件符合要求.答:這個(gè)零件符合要求.5.有一塊四邊形地ABCD,如圖,∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求該四邊形地ABCD的面積.解:如圖,連結(jié)AC,則AC2=AB2+BC2=42+32=52.∴AC=5.∵AD2=132=122+52=CD2+AC2,∴∠ACD=90°.其面積為×AB×BC+×AC×CD=36(m2).三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是()A.72+242=625=252，152+242=791≠202;B.72+242=625=252，152+202=625≠242;C.72+242=625=252，152+202=625=252;D.152+242=791≠252，72+202=449≠252.解析:因?yàn)槭莾蓚€(gè)直角三角形，就是要驗(yàn)證是否滿足勾股定理.答案:C2.下列命題中的假命題是()A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，則△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度數(shù)比是5∶2∶3，則△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三邊長(zhǎng)a∶b∶c=2∶2∶3，則△ABC是直角三角形解析:A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，則∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°.則△ABC是直角三角形.B.在△ABC中，若a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形.C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度數(shù)比是5∶2∶3，可設(shè)∠A=5x,則∠B=2x，∠C=3x，∠A+∠B+∠C=180°,即5x+2x+3x=180°.解得x=18°，故∠A=5x=5×18°=90°,則△ABC是直角三角形.D.在△ABC中，若三邊長(zhǎng)a∶b∶c=2∶2∶3，可設(shè)a=2x，則b=2x，c=3x，(2x)2+(2x)2=8x2≠(3x)2,即a2+b2≠c2.由勾股定理逆定理知△ABC不是直角三角形.答案:D3.將直角三角形三邊擴(kuò)大同樣的倍數(shù),得到的三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形解析:將直角三角形三邊擴(kuò)大相同倍數(shù)后,仍滿足勾股定理,所以仍是直角三角形.答案:B4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線，已知AB=，那么AD=_______________.解析:如題圖，在△ABC中，由∠C=90°，∠B=30°，AB=43可求出AC=23,∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分線，可得∠CAD=30°,若設(shè)CD=x，則AD=2x,由勾股定理得(23)2+x2=(2x)2,解得x=2，故AD=2x=4.答案:45.有四根木棒，長(zhǎng)度分別為3，4，5，6,若取其中三根木棒組成三角形，有__________種取法，其中，能構(gòu)成直角三角形的是__________________________.解析:從三角形三邊關(guān)系上考慮，三角形的兩邊之和大于第三邊.①3，4，5;②4，5，6;③3，4，6;④3，5，6.其中，能構(gòu)成直角三角形的是①3，4，5.答案:43，4，56.如圖，將一根25cm長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為8cm、6cm和103cm的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，則細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是多少厘米?解:設(shè)放入長(zhǎng)方體盒子中的最大長(zhǎng)度是xcm，根據(jù)題意，得x2=82+62+(103)2=64+36+300=400.所以x=20cm，故細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是25－20=5(cm).7.一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，∠ABC=90°，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？解:∵∠ABC=90°，由勾股定理得AC2=42+32=52，AD2=52+122=132，即AC2+DC2=AD2，由勾股定理逆定理得∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36.8.如圖，南北向MN為我國(guó)的領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海.上午9時(shí)50分，我國(guó)反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知正在線上巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里.反走私艇B測(cè)得距離C艇是12海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？解:設(shè)MN與AC相交于E，則∠BEC=90°，又AB2+BC2=52+122=132=AC2，由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形，即∠ABC=90°.∵M(jìn)N⊥CE，∴走私艇進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最近距離是CE.∵兩式相減得CE=，÷13=≈0.85(小時(shí)),0.85小時(shí)=51分鐘，9時(shí)50分+51分=10時(shí)41分.答:走私艇C最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海.9.喜歡爬山的同學(xué)都知道,很多名山上都有便于游人觀光的索道,如圖所示,山的高度AC為800m,從山上A與山下B處各建一索道口,且BC=1500m,一游客從山下索道口坐纜車(chē)到山頂,知纜車(chē)每分鐘走50m,那么大約多長(zhǎng)時(shí)間后該游客才能到達(dá)山頂?說(shuō)明理由.解:∵∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2=8002+15002.∴AB=1700.1700÷50=34,∴大約34分鐘后該游客到達(dá)山頂.18.2勾股定理的逆定理（1）知識(shí)領(lǐng)航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)．常用的勾股數(shù)有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3.應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，先計(jì)算較小兩邊的平方和再把它和最大邊的平方比較.4.判定一個(gè)直角三角形，除了可根據(jù)定義去證明它有一個(gè)直角外，還可以采用勾股定理的逆定理，即去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長(zhǎng)邊的平方，這是代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用.【例】如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=