《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》課件-第2章

第2章平面匯交力系和平面力偶系2.1平面匯交力系的合成2.2平面匯交力系的平衡2.3力矩與平面力偶系2.4力偶及其性質(zhì)

2.1平面匯交力系的合成

2.1.1平面匯交力系合成的幾何法

設(shè)在剛體某平面上有一匯交力系F1、F2、F3、…、Fn作用并匯交于O點(diǎn)，該平面匯交力系的合力FR可用矢量式表

示為

FR=F1+F2+F3+…+Fn如圖2-1所示，連續(xù)使用力的三角形法則可求其合力FR，即先作F1與F2的合力F12，再將F12與F3合成為F123，最后求出F123與Fn的合力FR，力FR即該匯交力系的合力。圖2-1平面匯交力系由力的多邊形法則求得的合力FR，其作用點(diǎn)仍為各力的匯交點(diǎn)，而且合力FR的大小、方向與各力相加次序無關(guān)。

若平面匯交力系包含n個(gè)力，以FR表示它們的合力，上述關(guān)系可用矢量表達(dá)式表述如下：

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

(2-1)

例2-1在A點(diǎn)作用有四個(gè)平面匯交力，如圖2-2所示，已知F1=100N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=150N，F(xiàn)4=200N，用幾何法求力系的合力FR。

解選用比例尺如圖2-2(b)所示，將F1、F2、F3、F4首尾相接并依次畫出，得到力多邊形，如圖2-2(b)所示，其封閉邊就表示合力FR。經(jīng)測量得

FR≈170N，θ≈54°

合力的作用點(diǎn)仍在A點(diǎn)。圖2-2平面匯交力系的簡化2.1.2平面匯交力系合成的解析法

1.力在坐標(biāo)軸上的投影

已知力F作用于剛體平面內(nèi)A點(diǎn)，且與水平線成α的夾角。建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-3所示。通過力F的兩端點(diǎn)A、B分別向x、y軸引垂線，垂足在x、y軸上截下的線段ab、a1b1分別稱為力F在x、y軸上的投影，記作Fx、Fy。圖2-3力的投影力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，其正負(fù)規(guī)定為：由起點(diǎn)a到終點(diǎn)b(或由a1到b1)的指向與坐標(biāo)軸的正向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。

一般地，有

(2-2)

式中，α為力F與x軸所夾的銳角。圖2-3中，力F在x、y軸上的投影為

反過來，若力F在x及y軸上的投影Fx及Fy已知，則可確定F的大小和方向：

(2-3)

式中，α表示力F與x軸所夾的銳角，F(xiàn)的指向由投影Fx、Fy的正負(fù)號(hào)確定。

2.合力投影定理

設(shè)剛體上O點(diǎn)作用有平面匯交力系，其合力FR即可連續(xù)使用力三角形法則來求解，如圖2-4所示。其矢量表示為

(2-4)將上式兩邊分別向x、y坐標(biāo)軸投影，有

(2-5)

式(2-5)稱為合力投影定理，即力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。圖2-4合力投影定理

3.平面匯交力系合成的解析法

若進(jìn)一步按式(2-3)運(yùn)算，則可求得合力FR的大小及方向

(2-6)

式中,α為合力FR與x軸所夾的銳角。合力FR的指向由∑Fx、∑Fy的正負(fù)號(hào)確定。

例2-2如圖2-5(a)所示為一吊環(huán)，受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=4kN，水平向左；F2=5kN，與水平成30°角；F3=3kN，鉛垂向下，試求合力大小。

解以三力交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖2-5(a)所示。首先分別計(jì)算各力的投影。由式(2-5)、(2-6)可得

因?yàn)镕x、Fy都是負(fù)值，所以合力應(yīng)在第三象限(圖2-5(b))。圖2-5吊環(huán)

例2-3用解析法求例2-1所示力系合力的大小和方向。

解如圖2-6所示建立直角坐標(biāo)系。圖2-6匯交力系合成由式(2-5)計(jì)算合力FR在x、y軸上的投影:故合力FR的大小和方向?yàn)?/p>

由于FRx為負(fù)值，F(xiàn)Ry為正值，所以合力FR指向第二象限，如圖2-6(b)所示，合力的作用線通過力系的匯交點(diǎn)O。2.2平面匯交力系的平衡

2.2.1平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的必要與充分條件就是合力等于零，即

FR=0

(2-7)

或

FR=F1+F2+…+Fn=0圖2-7平面匯交力系平衡的幾何條件

例2-4圖2-8(a)所示起重機(jī)，吊起一重量為G=10kN的鋼管，已知α=30°。試求鋼索AB、AC及AE的拉力。圖2-8起重機(jī)

解

(1)選取A點(diǎn)為研究對象，畫出其受力圖,如圖2-8(b)所示，已知FAE=G(為什么？)。

(2)以FAB、FAC、FAE為邊，首尾相接，畫力的三角形,如圖2-8(c)所示。由幾何關(guān)系可知，所畫三角形為正三角形，那么就有

FAB=FAC=FAE=G=10kN2.2.2平面匯交力系平衡的解析條件

如前所述，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零，即FR=0，根據(jù)式(2-6)可得

即

(2-8)

例2-5重為G=1kN的球，用過O點(diǎn)與斜面平行的繩索AB系住，并放置在斜面上，如圖2-9(a)所示，已知α=30°，求繩索AB所受的拉力及球?qū)π泵娴膲毫Α?/p>

解法一(1)取球O為研究對象，畫分離體受力圖，如圖2-9(b)所示。這是一平面匯交力系。

(2)建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-9(b)所示。列平衡方程：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(3)聯(lián)立解(Ⅰ)與(Ⅱ)方程,得

解法二建立如圖2-9(c)所示直角坐標(biāo)系xOy，列平衡方程如下：

解方程得

根據(jù)作用與反作用公理知，繩AB所受的拉力FT′=FT=

0.5kN；球?qū)π泵娴膲毫N′=FN=0.866kN，其指向與圖中的指向相反。圖2-9斜面重球受力分析

例2-6圖2-10(a)所示為一簡易起重機(jī)裝置，重量G=

2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。

解(1)因?yàn)椴挥?jì)滑輪A的尺寸，而桿AB、AC及鋼索都與滑輪連接，所以，取滑輪為研究對象，畫其受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖2-10(b)所示)。

(2)列平衡方程并求解：

解得

解得

FNAC為負(fù)值，表明FNAC的實(shí)際指向與假設(shè)方向相反，即AC桿為受壓桿件。圖2-10簡易起重機(jī)

2.3力矩與平面力偶系

2.3.1力對點(diǎn)之矩的概念

如圖2-11所示為扳手及其所受力在垂直于螺母中心線的平面上的投影。圖中螺母中心線在平面上的投影點(diǎn)O稱為力矩中心(簡稱矩心)，力的作用線到力矩中心O點(diǎn)的距離d稱為力臂。圖2-11扳手工作示例實(shí)踐證明：力使扳手繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力F的大小與力臂d的乘積F·d，用符號(hào)MO(F)來表示，稱為力F對O點(diǎn)之矩。在平面問題中，力矩是個(gè)代數(shù)量，規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)，即

MO(F)=±F·d

(2-9)

在國際單位制中，力矩的單位是牛米，即N·m或千牛米(kN·m)。2.3.2合力矩定理

平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。此定理不僅適用于平面匯交力系，也適用于平面任意力系。其表達(dá)式為

MO(FR)=∑MO(F)

(2-10)2.3.3力對點(diǎn)之矩的計(jì)算方法

通常在求平面內(nèi)力對某點(diǎn)的矩時(shí)，一般采用以下兩種方法：

(1)用力矩的定義式，即力和力臂的乘積求力矩。這種方法的關(guān)鍵在于確定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用線的垂直距離。

(2)運(yùn)用合力矩定理求力矩。在工程實(shí)際中，當(dāng)力臂的幾何關(guān)系較復(fù)雜而不易確定時(shí)，可將作用力分解為兩個(gè)正交分力，然后應(yīng)用合力矩定理求其分力對矩心的力矩的代數(shù)和。

例2-7如圖2-12所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為α，又知OB=l，BC=h，求力F對O點(diǎn)的力矩。

解

(1)利用力矩的定義進(jìn)行求解。如圖2-12所示，過點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，力臂d由幾何關(guān)系計(jì)算，有

此處取正號(hào)因?yàn)镕對O點(diǎn)之矩為逆時(shí)針。

(2)利用合力矩定理求解。由于力F的力臂d的幾何關(guān)系較為復(fù)雜，不易直接求出，所以可以利用合力矩定理求力矩。如圖2-12所示，可先將力F分解成一對正交的分力Fx、Fy。則力F的力矩就可以用這兩個(gè)分力對點(diǎn)O的力矩的代數(shù)

和求出。即

MO(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=－(F·cosα)·h+(F·sinα)·l

即

MO(F)=F·(l·sinα－h(huán)·cosα)圖2-12力矩計(jì)算

2.4力偶及其性質(zhì)

2.4.1力偶的定義

在工程實(shí)踐中常會(huì)見到物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行卻不重合的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等(如圖2-13所示)。在力學(xué)研究中，將作用在物體上的一對大小相等、方向相反、作用線相互平行且不重合的兩個(gè)力稱為力偶，記作(F，F(xiàn)′)。圖2-13力偶示例力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于力偶中的力與力偶臂的乘積，稱為力偶矩。記作M(F，F(xiàn)′)或M，即

M(F，F(xiàn)′)=±F·d

(2-11)2.4.2力偶的性質(zhì)

性質(zhì)1力偶無合力，即力偶不能用一個(gè)力來平衡，力偶只能用力偶來平衡。

由于力偶中的兩個(gè)力是等值、反向的，故它們在任意坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零，因此，力偶對物體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而無移動(dòng)效應(yīng)。從而力偶對物體的作用效果不能用一個(gè)力來代替，也不能用一個(gè)力來平衡?？梢詫⒘土ε伎闯山M成力系的兩個(gè)基本物理量。

性質(zhì)2力偶對其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。

如圖2-14所示一力偶M(F，F(xiàn)′)=F·d，對于平面任意一點(diǎn)O的力矩，可用組成力偶的兩個(gè)力分別對O點(diǎn)力矩的代數(shù)和度量，記作MO(F，F(xiàn)′)=±F·d，即

MO(F，F(xiàn)′)=F(d+x)－F′x=F·d+F·x－F′·x

而

F=F′

則有

MO(F，F(xiàn)′)=F·d圖2-14力偶

性質(zhì)3力偶的等效性，即作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。根據(jù)力偶的等效性，可以得出兩個(gè)推論：

推論1力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，即力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。

推論2在保持力偶矩大小和力偶轉(zhuǎn)向不變的情況下，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力臂的長短，而不會(huì)改變力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。2.4.3平面力偶系的合成與平衡

平面力偶系是作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶的總稱。

1.平面力偶系的合成

設(shè)平面力偶系由M1、M2、…、Mn組成，則其合力偶矩M的表達(dá)式為

(2-12)

2.平面力偶系的平