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文檔簡(jiǎn)介
第2章平面匯交力系和平面力偶系2.1平面匯交力系的合成2.2平面匯交力系的平衡2.3力矩與平面力偶系2.4力偶及其性質(zhì)
2.1平面匯交力系的合成
2.1.1平面匯交力系合成的幾何法
設(shè)在剛體某平面上有一匯交力系F1、F2、F3、…、Fn作用并匯交于O點(diǎn),該平面匯交力系的合力FR可用矢量式表
示為
FR=F1+F2+F3+…+Fn如圖2-1所示,連續(xù)使用力的三角形法則可求其合力FR,即先作F1與F2的合力F12,再將F12與F3合成為F123,最后求出F123與Fn的合力FR,力FR即該匯交力系的合力。圖2-1平面匯交力系由力的多邊形法則求得的合力FR,其作用點(diǎn)仍為各力的匯交點(diǎn),而且合力FR的大小、方向與各力相加次序無(wú)關(guān)。
若平面匯交力系包含n個(gè)力,以FR表示它們的合力,上述關(guān)系可用矢量表達(dá)式表述如下:
FR=F1+F2+…+Fn=∑F
(2-1)
例2-1在A點(diǎn)作用有四個(gè)平面匯交力,如圖2-2所示,已知F1=100N,F(xiàn)2=100N,F(xiàn)3=150N,F(xiàn)4=200N,用幾何法求力系的合力FR。
解選用比例尺如圖2-2(b)所示,將F1、F2、F3、F4首尾相接并依次畫出,得到力多邊形,如圖2-2(b)所示,其封閉邊就表示合力FR。經(jīng)測(cè)量得
FR≈170N,θ≈54°
合力的作用點(diǎn)仍在A點(diǎn)。圖2-2平面匯交力系的簡(jiǎn)化2.1.2平面匯交力系合成的解析法
1.力在坐標(biāo)軸上的投影
已知力F作用于剛體平面內(nèi)A點(diǎn),且與水平線成α的夾角。建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖2-3所示。通過(guò)力F的兩端點(diǎn)A、B分別向x、y軸引垂線,垂足在x、y軸上截下的線段ab、a1b1分別稱為力F在x、y軸上的投影,記作Fx、Fy。圖2-3力的投影力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量,其正負(fù)規(guī)定為:由起點(diǎn)a到終點(diǎn)b(或由a1到b1)的指向與坐標(biāo)軸的正向一致時(shí)為正,反之為負(fù)。
一般地,有
(2-2)
式中,α為力F與x軸所夾的銳角。圖2-3中,力F在x、y軸上的投影為
反過(guò)來(lái),若力F在x及y軸上的投影Fx及Fy已知,則可確定F的大小和方向:
(2-3)
式中,α表示力F與x軸所夾的銳角,F(xiàn)的指向由投影Fx、Fy的正負(fù)號(hào)確定。
2.合力投影定理
設(shè)剛體上O點(diǎn)作用有平面匯交力系,其合力FR即可連續(xù)使用力三角形法則來(lái)求解,如圖2-4所示。其矢量表示為
(2-4)將上式兩邊分別向x、y坐標(biāo)軸投影,有
(2-5)
式(2-5)稱為合力投影定理,即力系的合力在某軸上的投影,等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。圖2-4合力投影定理
3.平面匯交力系合成的解析法
若進(jìn)一步按式(2-3)運(yùn)算,則可求得合力FR的大小及方向
(2-6)
式中,α為合力FR與x軸所夾的銳角。合力FR的指向由∑Fx、∑Fy的正負(fù)號(hào)確定。
例2-2如圖2-5(a)所示為一吊環(huán),受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=4kN,水平向左;F2=5kN,與水平成30°角;F3=3kN,鉛垂向下,試求合力大小。
解以三力交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,如圖2-5(a)所示。首先分別計(jì)算各力的投影。由式(2-5)、(2-6)可得
因?yàn)镕x、Fy都是負(fù)值,所以合力應(yīng)在第三象限(圖2-5(b))。圖2-5吊環(huán)
例2-3用解析法求例2-1所示力系合力的大小和方向。
解如圖2-6所示建立直角坐標(biāo)系。圖2-6匯交力系合成由式(2-5)計(jì)算合力FR在x、y軸上的投影:故合力FR的大小和方向?yàn)?/p>
由于FRx為負(fù)值,F(xiàn)Ry為正值,所以合力FR指向第二象限,如圖2-6(b)所示,合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)O。2.2平面匯交力系的平衡
2.2.1平面匯交力系平衡的幾何條件
平面匯交力系平衡的必要與充分條件就是合力等于零,即
FR=0
(2-7)
或
FR=F1+F2+…+Fn=0圖2-7平面匯交力系平衡的幾何條件
例2-4圖2-8(a)所示起重機(jī),吊起一重量為G=10kN的鋼管,已知α=30°。試求鋼索AB、AC及AE的拉力。圖2-8起重機(jī)
解
(1)選取A點(diǎn)為研究對(duì)象,畫出其受力圖,如圖2-8(b)所示,已知FAE=G(為什么?)。
(2)以FAB、FAC、FAE為邊,首尾相接,畫力的三角形,如圖2-8(c)所示。由幾何關(guān)系可知,所畫三角形為正三角形,那么就有
FAB=FAC=FAE=G=10kN2.2.2平面匯交力系平衡的解析條件
如前所述,平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零,即FR=0,根據(jù)式(2-6)可得
即
(2-8)
例2-5重為G=1kN的球,用過(guò)O點(diǎn)與斜面平行的繩索AB系住,并放置在斜面上,如圖2-9(a)所示,已知α=30°,求繩索AB所受的拉力及球?qū)π泵娴膲毫Α?/p>
解法一(1)取球O為研究對(duì)象,畫分離體受力圖,如圖2-9(b)所示。這是一平面匯交力系。
(2)建立直角坐標(biāo)系xOy,如圖2-9(b)所示。列平衡方程:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(3)聯(lián)立解(Ⅰ)與(Ⅱ)方程,得
解法二建立如圖2-9(c)所示直角坐標(biāo)系xOy,列平衡方程如下:
解方程得
根據(jù)作用與反作用公理知,繩AB所受的拉力FT′=FT=
0.5kN;球?qū)π泵娴膲毫N′=FN=0.866kN,其指向與圖中的指向相反。圖2-9斜面重球受力分析
例2-6圖2-10(a)所示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置,重量G=
2kN的重物吊在鋼絲繩的一端,鋼絲繩的另一端跨過(guò)定滑輪A,繞在絞車D的鼓輪上,定滑輪用直桿AB和AC支承,定滑輪半徑較小,大小可忽略不計(jì),定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì),各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí),桿AB、AC所受的力。
解(1)因?yàn)椴挥?jì)滑輪A的尺寸,而桿AB、AC及鋼索都與滑輪連接,所以,取滑輪為研究對(duì)象,畫其受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖2-10(b)所示)。
(2)列平衡方程并求解:
解得
解得
FNAC為負(fù)值,表明FNAC的實(shí)際指向與假設(shè)方向相反,即AC桿為受壓桿件。圖2-10簡(jiǎn)易起重機(jī)
2.3力矩與平面力偶系
2.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩的概念
如圖2-11所示為扳手及其所受力在垂直于螺母中心線的平面上的投影。圖中螺母中心線在平面上的投影點(diǎn)O稱為力矩中心(簡(jiǎn)稱矩心),力的作用線到力矩中心O點(diǎn)的距離d稱為力臂。圖2-11扳手工作示例實(shí)踐證明:力使扳手繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力F的大小與力臂d的乘積F·d,用符號(hào)MO(F)來(lái)表示,稱為力F對(duì)O點(diǎn)之矩。在平面問(wèn)題中,力矩是個(gè)代數(shù)量,規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù),即
MO(F)=±F·d
(2-9)
在國(guó)際單位制中,力矩的單位是牛米,即N·m或千牛米(kN·m)。2.3.2合力矩定理
平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩,等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。此定理不僅適用于平面匯交力系,也適用于平面任意力系。其表達(dá)式為
MO(FR)=∑MO(F)
(2-10)2.3.3力對(duì)點(diǎn)之矩的計(jì)算方法
通常在求平面內(nèi)力對(duì)某點(diǎn)的矩時(shí),一般采用以下兩種方法:
(1)用力矩的定義式,即力和力臂的乘積求力矩。這種方法的關(guān)鍵在于確定力臂d。需要注意的是,力臂d是矩心到力作用線的垂直距離。
(2)運(yùn)用合力矩定理求力矩。在工程實(shí)際中,當(dāng)力臂的幾何關(guān)系較復(fù)雜而不易確定時(shí),可將作用力分解為兩個(gè)正交分力,然后應(yīng)用合力矩定理求其分力對(duì)矩心的力矩的代數(shù)和。
例2-7如圖2-12所示,構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束,力F作用于C點(diǎn),其方向角為α,又知OB=l,BC=h,求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。
解
(1)利用力矩的定義進(jìn)行求解。如圖2-12所示,過(guò)點(diǎn)O作出力F作用線的垂線,力臂d由幾何關(guān)系計(jì)算,有
此處取正號(hào)因?yàn)镕對(duì)O點(diǎn)之矩為逆時(shí)針。
(2)利用合力矩定理求解。由于力F的力臂d的幾何關(guān)系較為復(fù)雜,不易直接求出,所以可以利用合力矩定理求力矩。如圖2-12所示,可先將力F分解成一對(duì)正交的分力Fx、Fy。則力F的力矩就可以用這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù)
和求出。即
MO(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=-(F·cosα)·h+(F·sinα)·l
即
MO(F)=F·(l·sinα-h(huán)·cosα)圖2-12力矩計(jì)算
2.4力偶及其性質(zhì)
2.4.1力偶的定義
在工程實(shí)踐中常會(huì)見(jiàn)到物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行卻不重合的力的作用,使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如,用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等(如圖2-13所示)。在力學(xué)研究中,將作用在物體上的一對(duì)大小相等、方向相反、作用線相互平行且不重合的兩個(gè)力稱為力偶,記作(F,F(xiàn)′)。圖2-13力偶示例力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng),取決于力偶中的力與力偶臂的乘積,稱為力偶矩。記作M(F,F(xiàn)′)或M,即
M(F,F(xiàn)′)=±F·d
(2-11)2.4.2力偶的性質(zhì)
性質(zhì)1力偶無(wú)合力,即力偶不能用一個(gè)力來(lái)平衡,力偶只能用力偶來(lái)平衡。
由于力偶中的兩個(gè)力是等值、反向的,故它們?cè)谌我庾鴺?biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零,因此,力偶對(duì)物體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而無(wú)移動(dòng)效應(yīng)。從而力偶對(duì)物體的作用效果不能用一個(gè)力來(lái)代替,也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量。
性質(zhì)2力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩,恒等于其力偶矩,而與矩心的位置無(wú)關(guān)。
如圖2-14所示一力偶M(F,F(xiàn)′)=F·d,對(duì)于平面任意一點(diǎn)O的力矩,可用組成力偶的兩個(gè)力分別對(duì)O點(diǎn)力矩的代數(shù)和度量,記作MO(F,F(xiàn)′)=±F·d,即
MO(F,F(xiàn)′)=F(d+x)-F′x=F·d+F·x-F′·x
而
F=F′
則有
MO(F,F(xiàn)′)=F·d圖2-14力偶
性質(zhì)3力偶的等效性,即作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶,如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉(zhuǎn)向相同,則這兩個(gè)力偶是等效的。根據(jù)力偶的等效性,可以得出兩個(gè)推論:
推論1力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng),即力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。
推論2在保持力偶矩大小和力偶轉(zhuǎn)向不變的情況下,可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力臂的長(zhǎng)短,而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。2.4.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系是作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶的總稱。
1.平面力偶系的合成
設(shè)平面力偶系由M1、M2、…、Mn組成,則其合力偶矩M的表達(dá)式為
(2-12)
2.平面力偶系的平
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