《機械設計基礎》課件-第3章

第3章平面任意力系3.1平面任意力系的簡化3.2平面任意力系的平衡方程3.3考慮摩擦的平衡問題如果作用在物體上的各力的作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行，這樣的力系稱為平面任意力系。圖3-1所示為起重機橫梁AB受平面任意力系的作用。圖3-1起重機橫梁

3.1平面任意力系的簡化

3.1.1力的平移定理

如圖3-2(a)所示，欲將作用在剛體上A點的力F平行移動到剛體內任意一點O，按加減平衡公理，可在O點加上一對平衡力F′=F″=F，如圖3-2(b)所示，那么原力F和F″為一等值、反向、不共線的平行力，組成了一個力偶，稱為附加力偶，其力偶矩為MO(F)為

M(F，F″)=±Fd=MO(F)圖3-2力的平移定理3.1.2平面任意力系的簡化

設在剛體上作用有一平面任意力系F1，F2，F3…Fn，其中A1，A2，A3…，An為各力作用點，如圖3-3(a)所示。在力系所在平面內任取一點O作為簡化中心，將力系中各力向O點平移，根據力的平移定理知，平移后各力的大小和方向沒有改變，并產生一個附加力偶，那么，平面任意力系向O點簡化的結果可以理解為：一個匯交于簡化中心O的平面匯交力系與一個由各附加力偶組成的平面力偶系，如圖3-3(b)所示。

由平面匯交力系理論可知，作用于簡化中心O點的平面匯交力系可合成為一個力FR′，稱為平面任意力系的主矢，其作用線過簡化中心O點，如圖3-3(c)所示。圖3-3平面任意力系的簡化

主矢FR′的大小、方向為

(3-1)

1.簡化結果分析

(1)若FR′≠0，MO≠0，則原力系簡化為一個力和一個力偶。在這種情況下，根據力的平移定理的逆定理，這個力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個合力FR，如圖3-4所示，其作用線距O點的距離為

利用主矩MO的轉向可確定合力F的作用線在簡化中心的哪一側。

(2)若FR′≠0，MO=0，則原力系簡化為一個力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢FR′即原力系的合力FR,作用于簡化中心。

(3)若FR′=0，MO≠0，則原力系簡化為一個力偶，其矩等于原力系對簡化中心的主矩。在這種情況下簡化結果與簡化中心的選擇無關,即無論力系向哪一點簡化都是一個力

偶，且力偶矩等于主矩。

(4)若FR′=0，MO=0，則原力系是平衡力系。圖3-4力的平移定理的逆定理

2.固定端約束

固定端約束是工程中常見的一種約束，如夾緊在卡盤上的工件(見圖3-5(a))、固定在刀架上的車刀(見圖3-5(b))、嵌入墻中的雨罩(見圖3-5(c))等。由約束的性質可知，固定端約束能限制物體沿任何方向的移動，也能限制物體在約束處的轉動。所以，固定端A處的約束反力可用兩個正交的分力FAx、FAy和力矩為MA的力偶表示，如圖3-5(d)所示。圖3-5固定端約束

3.2平面任意力系的平衡方程

1.平面任意力系平衡的基本方程

由以上平面任意力系簡化結果的討論可知，當主矢、主矩同時為零，即FR′=0、MO=0時，平面任意力系處于平衡。同理，如果力系是平衡力系，則該力系向平面內任意一點簡化后所得的主矢、主矩必然為零。

因此平面任意力系平衡的必要與充分條件為FR′=0、MO=0，即

由此可得平面任意力系的平衡方程為

(3-2)

2.平面任意力系平衡方程的其他形式

二矩式方程為

(3-3)

附加條件為：Ａ、Ｂ兩點的連線不能與Ｏx軸垂直。三矩式方程為

(3-4)

附件條件為：Ａ、Ｂ、C三點不能在一條直線上。式(3-3)、式(3-4)是物體取得平衡的必要條件，但不是充分條件。這個結論可以由物體僅受一個力F作用的不平衡現象說明。圖3-6表示物體只受一個力F作用，若取力F的作用線上A、B兩點為矩心，并取投影軸x垂直于力F，則式(3-3)成立。因此，必須加上附加條件后，式(3-3)才能成為物體平衡的必要和充分條件。有關式(3-4)的附加條件，讀者可自行推導。圖3-6力

3.平面特殊力系的平衡方程

1)平面匯交力系的平衡方程

如前所述，平面匯交力系就是力的作用線匯交于一點的平面力系，如圖3-7(a)所示，顯而易見，平衡方程(3-2)中∑MO=0，則其獨立的平衡方程為

(3-5)

2)平面平行力系的平衡方程

在基本式中，坐標軸是任選的。現取y軸平行于各力，如圖3-7(b)所示，則平面平行力系中各力在x軸上的投影均為零，即∑Fx=0。同樣，平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，即

(3-6)不難看出，平面平行力系的二矩式平衡方程為

(3-7)

其中A、B兩點連線不能與各力的作用線平行。

平面平行力系只有兩個獨立的方程，因而最多能解出兩個未知量。圖3-7平面匯交力系和平面平行力系

3)平面力偶系的平衡方程

平面力偶系是特殊的力系，根據力偶的性質，在基本方程中的投影方程自然滿足，所以只有一個方程，即

∑MO(F)=0

(3-8)

例3-1已知一塔式起重機的結構簡圖如圖3-8所示。設機架重力G=500kN，重心在C點，與右軌距離a=1.5m。最大起吊重量P=250kN，與右軌B最遠距離l=10m。平衡物重力為G1，與左軌A距離x=6m，二軌相距b=3m。試求起重機在滿載與空載時都不致翻倒的平衡重物G1的取值范圍。圖3-8起重機力學模型

解取起重機為研究對象。

作用于起重機上的力有主動力G、平衡重物G1、起吊重量P及約束反力FNA、FNB，這些力組成一平面平行力系。

要保障滿載時機身平衡而不向右翻倒，則這些力必須滿足平衡方程∑MB(F)=0，在此狀態(tài)下，A點將處于離地與不離地的臨界狀態(tài)，即有FNA=0。這樣求出的G1值是它應有的最小值。要保障空載時機身平衡而不向左翻倒，則這些力必須滿足平衡方程∑MA(F)=0，在此狀態(tài)下，B點將處于離地與不離地的臨界狀態(tài)，即有FNB=0。這樣求出的G1值是它應有的最大值(注意，此時P=0)。

因此，平衡重物G1的取值范圍為361kN≤G1≤375kN。

例3-2求圖3-9(a)所示搖臂吊車橫梁AB所受鋼繩BC的拉力和鉸鏈支座A的約束反力。已知梁的重力G＝4kN，

載荷Q＝12kN，AB=l=6m，AD=l/2，AE=x=4m，∠ABC=α=30°。

解

(1)取橫梁AB為研究對象，畫受力圖并建立坐標系，如圖3-9(b)所示。圖3-9起重機橫梁

(2)列平衡方程并求解。

取未知力FAx、FAy的交點A為矩心，有求出FT之后，分別取x、y軸為投影軸，列投影方程并求解：

例3-3加料小車由鋼索牽引沿傾角α=30°的軌道勻速上升，如圖3-10(a)所示，C為小車的重心。已知小車的重力G=40kN，a=0.2m，b=1.7m，e=0.2m，h=0.6m，若不計小車與斜面的摩擦力，試求鋼索拉力FT和軌道作用于小車的約束反力。圖3-10小車工作受力分析解(1)取小車為研究對象，畫出受力圖，如圖3-10(b)所示。

(2)本題的兩個未知力FNA、FNB互相平行，所以可取C為原點，x軸方向平行軌道，建立坐標系如圖3-10(b)所示。

列平衡方程并求解：

4.物體系統(tǒng)的平衡問題及求解

例3-4圖3-11(a)所示為一三鉸拱橋，左右兩半拱通過鉸鏈C連接起來，通過鉸鏈A、B與橋基連接。已知G=40kN,P=10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。圖3-11拱橋受力分析

解

(1)取整體為研究對象，畫出受力圖并建立如圖

3-11(b)所示的坐標系。列平衡方程并求解：

(2)取左半拱為研究對象，畫出受力圖，并建立如圖

3-11(c)所示坐標系。列平衡方程并求解：

(3)取整體為研究對象，列平衡方程并求解：

例3-5如圖3-12(a)所示為柱塞式水泵的平面力學簡圖。齒輪Ⅰ在力偶MO的驅動下，通過齒輪Ⅱ及連桿AB帶動柱塞在剛體內往復運動。已知齒輪的壓力角為α，兩齒輪分度圓半徑分別為r1、r2，曲柄O2A=r3，連桿AB=5r1，柱塞的阻力為F。如不計各構件自重及摩擦力，當曲柄O2A處于鉛垂位置時，試求驅動力偶MO的值。圖3-12柱塞式水泵

解

(1)分別取齒輪Ⅰ、齒輪Ⅱ、柱塞B為研究對象，畫出受力圖，如圖3-12(b)、(c)、(d)所示。

(2)圖3-12(d)中，柱塞受平面匯交力系作用，只有FAB、FBN兩未知力是可解的。

列平衡方程并求解：

(3)因為FAB已解出，圖3-12(c)變得可解，列平衡方程并求解：

(4)由圖3-12(b)列平衡方程并求解：

3.3考慮摩擦的平衡問題

1.滑動摩擦

1)靜滑動摩擦

為了分析物體間產生靜滑動摩擦的規(guī)律，可通過圖3-13所示的實驗進行說明。當水平力FT很小時，B盤沒有滑動而只具有滑動趨勢，此時物系將保持平衡。由平衡方程知，接觸表面間的摩擦力Ff與主動力FT大小相等。圖3-13摩擦力實驗裝置當水平力FT逐漸增大，Ff也隨之增加。這時Ff具有約束反力的性質，隨主動力的變化而變化。但不同的是，當FT增加到某一臨界值時，Ff就達到其最大值Fmax，不會再增大；如果繼續(xù)增大水平力FT，B盤將開始滑動。因此，靜摩擦

力隨主動力的不同而變化，其大小由平衡方程決定，但介于零與最大值之間，即

0≤Ff≤Fmax

(3-9)大量實驗證明，最大靜摩擦力的方向與物體相對滑動趨勢方向相反，大小與接觸面法向反力(正壓力)FN的大小成正比，即

Fmax=f·

FN

(3-10)

式(3-10)稱為靜摩擦定律。式中比例常數f稱為靜摩擦系數，f的大小與兩物體接觸面的材料及表面情況(粗糙度、干濕度、溫度等)有關，而與接觸面積的大小無關。一般材料的靜摩擦系數可在工程手冊中查到。常用材料的f值見表3-1。

2)動滑動摩擦

繼續(xù)上述實驗，當水平力FT超過Fmax時，盤B開始加速滑動，此時盤B所受到的摩擦阻力已由靜摩擦力轉化為動摩擦力Ff′。大量實驗證明，動摩擦力Ff′的大小與接觸表面間的正壓力FN成正比，即

Ff′=f′·FN

(3-11)式(3-11)稱為動摩擦定律。式中比例常數f′稱為動摩擦系數，其大小除了與兩接觸物體的材料及表面情況有關外，

還與兩物體的相對速度有關。常見材料的f′值見表3-1，

可見，

f′＜f

2.摩擦角與自鎖現象

如圖3-14(a)、(b)所示，全反力FR與接觸面法線的夾角為j，顯然j隨靜摩擦力的增大而增大，當靜摩擦力達到最大時，夾角j也達到最大值j

m，j

m稱為摩擦角。

由此可知:

(3-12)上式表明摩擦角的正切值就等于摩擦系數。摩擦角表示全反力與法線間的最大夾角。如果物體與支承面的靜摩擦系數在各個方向都相同，則這個范圍在空間就形成為一個錐體，稱為摩擦錐，如圖3-14(c)所示。若主動力的合力FQ作用在錐體范圍內，則約束面必產生一個與之等值、反向且共線的全反力FR與之平衡。但無論如何增加力FQ，物體總能保持平衡。全反力作用線不會超出摩擦錐的這種現象稱為自鎖。由此可見，自鎖條件為

a≤jm

(3-13)

式中a為全反力與接觸面法線之間的夾角。圖3-14摩擦角

3.考慮摩擦的平衡問題

考慮摩擦時構件的平衡問題的解法與不考慮摩擦時構件的平衡問題的解法基本相同，不同的是在畫力圖時要畫出摩擦力，并需要注意摩擦力的方向與滑動趨勢方向相反，不能隨意假定。由于F是一個范圍值，因此問題的解答也是一個范圍值，稱為平衡范圍。這個范圍的確定可采取兩種方式，

一種是分析平衡時的臨界情況，假定摩擦力取最大值，以F=Fmax=fFN作為補充條件，求解平衡范圍的極值。另一種是直接采用F≤fFN，以不等式進行運算。

例3-6如圖3-15(a)所示，一重力為G的物塊放在傾角為a的斜面上，物塊與斜面之間的摩擦系數為f，且f<tana

。求保持物塊靜止的水平推力F的大小。圖3-15粗糙斜面上重物受力分析

解要使物塊在斜面上保持靜止狀態(tài)，力F既不能太大，也不能太小。力F過大，物塊將沿斜面上移；力F過小，物塊則會沿斜面下滑。因此，F的數值必須在某一范圍內。

(1)先考慮物塊處于下滑