2024學年徐州市銅山區(qū)高二數(shù)學上學期第二次學情調研試卷及答案解析

學年徐州市銅山區(qū)高二數(shù)學上學期第二次學情調研試卷試卷滿分：150分考試時長：120分鐘一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．22．在三棱柱中，為中點，若，，，則下列向量中與相等的是（）A．B．C． D．3．已知直線l的方向向量，平面的一個法向量為，若直線l在平面內，則的值是（

）A． B． C．2 D．164．等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B． C． D．5．已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．設數(shù)列an的前項和為，若，且，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面8．已知數(shù)列an滿足，記數(shù)列前項為，若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）．9．設是等差數(shù)列，是其前n項的和，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．為的最小值10．已知空間中三點，，，則下列說法不正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是11．已知數(shù)列滿足，且，則下列結論正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列的C．數(shù)列的前7項為負數(shù)D．數(shù)列最大項的值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知，則．13．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且成等比數(shù)列，則.14．已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知正方體（1）求出對角線AC1（2）求出平面的一個法向量．16．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前100項和.17．已知數(shù)列滿足：，.(1)若，求證：為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點，且．(1)求證：平面PBC；（請用空間向量知識解題）(2)求證：平面BDE．（請用空間向量知識解題）19．已知數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)、都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；(3)在（2）中的，設，求數(shù)列中最小項的值.大許中學高二第一學期第二次學情調研數(shù)學試卷答案一、單選題1．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根據等差數(shù)列的性質求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D2．在三棱柱中，為中點，若，，，則下列向量中與相等的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據空間向量的線性運算可得解.【詳解】如圖所示，在三棱柱中，，，依題意，故選：A.3．已知直線l的方向向量，平面的一個法向量為，若直線l在平面內，則的值是（

）A． B． C．2 D．16【答案】A【分析】根據法向量的定義，轉化為兩個向量垂直，即可列式求解.【詳解】由條件可知，，得.故選：A4．等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根據等比數(shù)列通項公式求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，所以.故選：B.5．已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知可得，根據數(shù)量積的運算律可得答案.【詳解】∵與垂直，∴，∴，所以，因為，所以.故選：D.6．設數(shù)列的前項和為，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用，結合已知變形構造數(shù)列，求出，進而求出即可判斷得解.【詳解】數(shù)列中，由，得，整理得，則，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，于是，即，而滿足上式，因此，，，ABD錯誤，C正確.故選：C7．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明，逐項分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，是底面的中心，分別是的中點，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B8．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列前項為，若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，利用裂項求和法求得，根據單調性求得的取值范圍.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，所以，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，由于是單調遞增數(shù)列，而對于任意，不等式恒成立，所以實數(shù)的取值范圍為故選：C二、多選題9．設是等差數(shù)列，是其前n項的和，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．為的最小值【答案】AC【分析】由已知可得公差，進而由與的關系可得，，根據等差數(shù)列的性質可得結論.【詳解】因為，所以，故A正確；因為是等差數(shù)列且，所以公差，故B錯誤；因為，所以，又因為是等差數(shù)列且，所以與均為的最大值，故C正確，D錯誤.故選：AC.10．已知空間中三點，，，則下列結論錯誤的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】AC【分析】A：利用共線向量定義進行判斷；B：與同向的單位向量；C：利用向量夾角余弦公式判斷；D：設平面的法向量為，則，由此能求出結果．【詳解】對于A：，與不是共線向量，故A錯誤；對于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；對于C：，∴，故C錯誤；對于D：，設平面的法向量為，則，取，得，故D正確．故選：AC．11．已知數(shù)列滿足，且，則下列結論正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列的C．數(shù)列的前7項為負數(shù)D．數(shù)列最大項的值為【答案】ABD【分析】利用等比數(shù)列的定義結合條件等式變形可判定A，從而求出通項公式判斷BC，根據數(shù)列的單調性判斷D.【詳解】根據，可知是等比數(shù)列，首項為，公比為，故A正確；則有，所以，故B正確，C錯誤；不妨設最大項為，則，即，解之得，即最大項為，故D正確.故選：ABD三、填空題12．已知，則．【答案】【分析】根據空間向量的坐標運算可得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且成等比數(shù)列，則.【答案】0【分析】利用等比數(shù)列性質求得，然后由等差數(shù)列前項公式計算．【詳解】因為公差，且成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以．故答案為：014．已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意和投影向量的概念計算即可求解.【詳解】，，與夾角的余弦值為，在上的投影向量為.故選：D．四、解答題15．已知正方體（1）求出對角線AC1（2）求出平面的一個法向量．16．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前100項和.【答案】(1)(2)200【分析】（1）設出公差，根據題目條件得到方程組，求出首項和公差，得到通項公式；（2）求出，利用分組求和公式得到答案.【詳解】（1）設公差為d，結合題設有，解得，則故的通項公式為.（2），所以.17．已知數(shù)列滿足：，.(1)若，求證：為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為，所以，即，，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以，所以.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點，且．(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，證明，，原題即得證；（2）設平面BDE的法向量為，證明即得證.【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，因為，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因為，平面PBC．所以平面PBC．（2）證明：由（1）可得，，．設平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個法向量，因為，所以，因為平面BDE，所以平面BDE．19．已知數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)、都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；(3)在（2）中的，設，求數(shù)列中最小項的值.【答案】(1)(2).(3)【分析】（1）直接給賦值得到一個等比數(shù)