重難點(diǎn)01 空間向量解決動(dòng)點(diǎn)探究問題（滿分技巧+10種熱點(diǎn)題型+限時(shí)檢測(cè)）（【含答案解析】）

重難點(diǎn)01空間向量解決動(dòng)點(diǎn)探究問題一、與空間向量有關(guān)的探索性問題一類是探索線面位置關(guān)系的存在性問題，即線面的平行與垂直，另一類是探索線面的數(shù)量關(guān)系的存在性問題，即線面角或?yàn)槊娼粷M足特定要求是的存在性問題。二、利用空間向量解決立體幾何的探索性問題思路：（1）根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。（2）假設(shè)所成的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。三、動(dòng)點(diǎn)的設(shè)法（減少變量數(shù)量）在解決探索性問題中點(diǎn)的存在性四，經(jīng)常需要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，而(x,y,z)可表示空間中的任一點(diǎn)，使用三個(gè)變量設(shè)點(diǎn)需要列三個(gè)方程，導(dǎo)致運(yùn)算量增大。為了減少變量數(shù)量，用以下設(shè)法。1、直線（一維）上的點(diǎn)：用一個(gè)變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)；依據(jù)：根據(jù)平面向量共線定理—若，使得【示例】已知，，那么直線上的某點(diǎn)坐標(biāo)可用一個(gè)變量表示，方法如下：，因?yàn)樵谏希浴?，所以可設(shè)點(diǎn).2、平面（二維）上的點(diǎn)：用兩個(gè)變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)。依據(jù)：平面向量基本定理—若，不共線，則平面上任意一個(gè)向量，均存在，，使得【示例】已知，，，則平面上某點(diǎn)坐標(biāo)可用兩個(gè)變量表示，方法如下：，，故，即所以可設(shè)點(diǎn).【題型1線線平行中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例1】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E是的中點(diǎn)．直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得？【答案】不存在，證明見解析.【解析】假設(shè)直線AD上存在點(diǎn)F使，設(shè)，，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，，若，則，即，所以，即，所以，此時(shí)顯然不成立，所以不存在點(diǎn)F，使得.【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．【答案】不存在【解析】在平面內(nèi)過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，可得平面，又由，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，，，可得，假設(shè)上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，其中，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，可得，又由，所以，設(shè)，可得，此方程組無解，所以假設(shè)不成立，所以對(duì)于上任意一點(diǎn)，與都不平行，即在線段上不存在點(diǎn)，使得與平行．【變式1-2】（2023秋·廣東廣州·高一校考期中）如圖，在幾何體中，平面平面.四邊形為矩形.在四邊形中，.（1）點(diǎn)在線段上，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）若為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）存在，的值為；（2）【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?不妨設(shè)，則.取為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.因?yàn)?，所以，解得，?jīng)驗(yàn)證符合要求.故存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為.（2）設(shè)平面的法向量，則，即，解得：，不妨取，則.，則.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD與底面成角．（1）若，求該幾何體的體積；（2）若AE垂直PD于E，證明：；（3）在（2）的條件下，PB上是否存在點(diǎn)F，使得，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在．【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，此時(shí)；（2），，；（3）由，E點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，設(shè)，由，得，存在．【題型2線面平行中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例2】（2023秋·云南大理·高二校考階段練習(xí)）如圖所示，正四棱錐為側(cè)棱上的點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）連，設(shè)交于，連接，由題意.在正方形中，有，又，∵面,面,平面，得（2）由題意及（1）得，，，則平面，所以平面，易得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，則，因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，由，得，則，令，得，則，由，得，解得，所以在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面.【變式2-1】（2022秋·福建廈門·高二校考階段練習(xí)）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點(diǎn)在線段上，且滿足.

（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）在線段是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析【解析】（1）底面是菱形，，，，由勾股定理逆定理知：，同理，，平面，，平面，以為原點(diǎn)，AD為y軸，過點(diǎn)A且與AB垂直的線為x軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，令，得，易知平面的一個(gè)法向量，，∴平面與平面所成角的余弦值是.（2）設(shè)，，又，則，由（1）知，平面的法向量，當(dāng)平面時(shí)，，，，，即為中點(diǎn)時(shí)，，且平面，滿足平面.【變式2-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖幾何體為圓臺(tái)一部分，上下底面分別為半徑為1，2的扇形，，體積為．（1）求；（2）劣弧上是否存在使∥平面．猜想并證明．【答案】（1）；（2）不存在，證明見解析.【解析】（1）由題意可知，設(shè)，設(shè)上底的面積為，下底的面積為，則，，所以，解得，在中由余弦定理可得，所以；（2）不存在，證明如下：證明：過作的垂線交劣弧于，由（1）可知，所以，以所在的直線分別為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，因?yàn)椋?，取，則有，如果平面，則有，即，即，矛盾，所以平面不成立，故劣弧上不存在使∥平面.【變式2-3】（2022秋·北京·高二統(tǒng)考期末）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面?

若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在點(diǎn)，使得平面，且【解析】（1）證明：因?yàn)闉檎叫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面．平面．所以；?）由（1）可知，平面，所以，．因?yàn)?，所以兩兩垂直．分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,

即

令，則，；所以．設(shè)直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角為的正弦值為；（3）設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，所以令，則，所以．在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得．因?yàn)?，由，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．【題型3面面平行中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】存在，為的中點(diǎn).【解析】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．證明如下：設(shè)符合題意．連接，，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴平面的一個(gè)法向量為．若平面平面，則也是平面的一個(gè)法向量．∵，∴，∴，又，∴當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．【題型4線線垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例4】（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱中，為的中點(diǎn)．

（1）用以為空間的一組基底表示向量．（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），；（2）存在，【解析】（1）由已知得，．（2）設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得，且，則．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，．【變式4-1】（2023秋·上?！じ叨？茧A段練習(xí)）設(shè)常數(shù)．如圖在矩形中，平面．若線段上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)樵诰匦沃?，平面，所以以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，其中或不符題意，則，，，則有，由，得，即，若線段上存在點(diǎn)，即方程在有解，設(shè)函數(shù)為，，對(duì)稱軸為，則方程在有解需滿足，又因?yàn)椋?故答案為：【變式4-2】（2023秋·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，．是線段上的點(diǎn)．（1）若，求證：平面．（2）若，在線段上是否存在點(diǎn)．使，若存在．求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，，平面，平面.（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，由（1）知：；設(shè)，則，，，，，即，在線段上存在點(diǎn)，使得，此時(shí)的取值范圍為.【變式4-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析【解析】（1）證明：平面，平面，，又，，平面平面，平面，．又，為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，，又，平面，平面，平面，平面平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，所以，，由相似三角形得，即，．，又，．，，故存在點(diǎn)，使．【題型5線面垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例5】（2023秋·福建廈門·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形和中，，，，，，，記.（1）將用，，表示出來，并求的最小值；（2）是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因?yàn)?，，，記，所以，且，，由空間向量的線性運(yùn)算法則，可得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；（2）假設(shè)存在使得平面，故，，由（1）知，,可得由，得，化簡(jiǎn)得，解得，滿足條件.故存在，使得平面.【變式5-1】（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，底面，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）底面，，．以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于．所以，，，，，，易知，平面的一個(gè)法向量為，又，，則.又平面，平面；（2）存在滿足要求，理由如下：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則，，，若平面，則，，即.因此，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使平面．【變式5-2】（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.

（1）若點(diǎn)滿足，求證：平面；（2）底面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，，，，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量.若，則，所以，所以，，又平面，所以平面.（2）假設(shè)底面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，又，所以，又平面的一個(gè)法向量，所以，所以，解得，，所以底面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí).【變式5-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.

（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）四邊形是平行四邊形，.平面平面平面.（2）取的中點(diǎn)為.平面平面平面，平面平面,平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi),，，，.設(shè)平面的法向量為即令，則.，.又平面的法向量為平面，∴.∴在線段上存在點(diǎn)，使平面，且的值是.【題型6面面垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由

【答案】存在，【解析】假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面平面.設(shè)，則，由余弦定理可得，故，又平面，所以平面，如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)是平面PAD的法向量，則，令，即.設(shè)，其中.則連接，因?yàn)槠矫妫?，平面平面，故，則取與同向的單位向量.設(shè)是平面BEQF的法向量，則，令，即.由平面平面，知，即有，解得.故在側(cè)棱上存在點(diǎn)Q，且當(dāng)時(shí)，使得平面平面.【變式6-1】（2023秋·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）在中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，滿足且，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求與平面所成角的大??；（2）在線段上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)、重合），使平面與平面垂直?若存在，求出與的比值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）在中，因?yàn)?，故，故在四棱錐中，有，，，而，且平面,平面故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：在中，因?yàn)?，，，故，，，在中，，則，，，，，故，故，又，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，故，故與平面所成角的正弦值為，因?yàn)榕c平面所成角為銳角，故該角為.（2）假設(shè)點(diǎn)，設(shè)，則，故，又，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，故，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以，故，所?所以線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直，此時(shí).【變式6-2】（2023秋·山東聊城·高二校考階段練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求證：平面．（2）線段上是否存在點(diǎn)M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理，平面，又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，又平面，?而四邊形是正方形，所以，又，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以.若與重合，則平面的一個(gè)法向量，則，則此時(shí)平面與平面不垂直.若與不重合，如圖：設(shè)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，所以，平面平面等價(jià)于，即，得.所以，線段上存在點(diǎn)使平面平面，且.【變式6-3】（2023秋·福建福州·高二校考階段練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.（1）求證：平面；（2）判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）在線段上不存在一點(diǎn)，使平面平面，理由見解析【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面；（2）由題意，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，平面平面，，解得，，在線段上不存在一點(diǎn)，使平面平面．【題型7線線角中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例7】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若線段AB上存在點(diǎn)F（不含端點(diǎn)），使得異面直線PA和EF所成的角的大小為30°，則線段AF長(zhǎng)的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)；設(shè)，則，設(shè)與所成角為，則，，整理得，函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以的取值范圍是.【變式7-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，且，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）在棱A1B1上是否存在一點(diǎn)M，使得異面直線MF與AC所成的角為30°？若存在，指出M的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在；M是A1B1中點(diǎn)【解析】（1）證明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可得平面，且，故以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，且，則，，，由，（2）可設(shè)，且，則，，，由異面直線MF與AC所成的角為30°可得，整理得，即或（舍），所以存在點(diǎn)M，M是A1B1中點(diǎn).【變式7-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，所有的棱長(zhǎng)均為2，M是邊的中點(diǎn)，則在棱上是否存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為？【答案】不存在【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由棱長(zhǎng)都等于2，可得，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)N在棱上，可以設(shè)，則有，，∴，,，，，即，解得，而這與矛盾，所以在棱CC1上不存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為.【變式7-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是PB，AD的中點(diǎn)．（1）求證：平面PCB；（2）在AP上是否存在一點(diǎn)M，使得DM與PC所成角為60°？若存在，求出M點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）在AP上存在一點(diǎn)M，點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，使得DM與PC所成角為60°【解析】（1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，，設(shè)平面PCB的法向量為，則，即，令，則，，∴，∴，故平面PCB．（2）設(shè)，則，∴，∵DM與PC所成角為60°，，∴，解得，故在AP上存在一點(diǎn)M，點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，使得DM與PC所成角為60°．【題型8線面角中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例8】（2023秋·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）在三棱臺(tái)中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面．（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在；【解析】（1）因?yàn)樵谌馀_(tái)中，，為的中點(diǎn)，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，又、平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）連接，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面平面，又平面平面，易知等邊三角形中，，所以平面，所以，又，，所以平面，從而，故四邊形為正方形，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則：，得：，令，可得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，由，得，則，所以線段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為．【變式8-1】（2023秋·遼寧大連·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將沿AE折起，使得D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面ABCE）．（1）證明：平面POB；（2）若，試判斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為，若存在，確定Q點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在；Q為線段PB中點(diǎn)【解析】（1）連接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E為CD中點(diǎn)，∴四邊形ABED為菱形，∴，∴，，即，，且，平面POB，平面POB，∴平面PBO．（2）由（1）可知四邊形ABCD為菱形，∴，在等腰梯形ABCD中，∴正三角形，∴，同理．∵，∴，∴．由（1）可知，，O為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，∴，，，,設(shè)，，設(shè)平面AEQ的一個(gè)法向量為，則，即，取得，，得，所以，設(shè)直線PC與平面AEQ所成角為，，則，即，化簡(jiǎn)得，解得．即Q為線段PB中點(diǎn)．【變式8-2】（2023秋·陜西寶雞·高二?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面．（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在滿足條件的點(diǎn)M，理由見解析點(diǎn)【解析】（1）平面，平面，平面平面．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭钦切危?，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故，由四邊形為正方形且分別為的中點(diǎn)得，故可以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，，，，．假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，且，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，整理可得，方程無解，故假設(shè)不成立，即不存在滿足條件的點(diǎn)．【變式8-3】（2023秋·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）已知幾何體，如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)M在棱DG上．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在；【解析】（1）因?yàn)樗倪呅?、、均為正方形，則兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，，因?yàn)?，所?（2）由（1）知：，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得，假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，則，可得，解得：，又因?yàn)樵诶馍?，則，所以，故當(dāng)點(diǎn)在棱上，且時(shí)，直線與平面所成的角為.【題型9二面角中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例9】（2023秋·北京·高二?？茧A段練習(xí)）在四棱柱中，平面平面，，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，.

（1）求直線與平面所成角的大??；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）,解析見解析【解析】（1）四棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?所以平面；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則，設(shè)平面的法向量為，由，解得，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?所以.即直線與平面所成角的大小為.（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得二面角的大小為.設(shè)，由,得，,設(shè)平面的法向量為,由解得取，由（1）知,平面的法向量，所以,解得，;所以在線段上存在一點(diǎn)，且,使得二面角的大小為.【變式9-1】（2023秋·山東泰安·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．

（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）正方形中，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，又，，∴，又∵，∴，∴，又，∴，又，平面，∴平面.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題意，由（1）知，平面，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BM，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為，∴，令，∴，，∴，由（1）知平面的法向量為，∴，即，即，即，解得或（舍去），所以存在一點(diǎn)，使得，即．【變式9-2】（2023秋·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)M，使得二面角的大小為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)K，連接，，∵為正三角形，，∴．∵底面為直角梯形，，，，，，∴．又，，∴．又，，，平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）如圖，以K為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角為0，不合題意，設(shè)，得，∴，，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則，，∴，由題意知平面的一個(gè)法向量為，∴，解得或（舍），∴，∴，∴棱上存在點(diǎn)M，使得二面角的大小為，且．【變式9-3】（2023秋·遼寧丹東·高二校考階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面.（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭钦馀_(tái)，，所以，于是有，因此四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)椋?，所以平面，所以平面的法向量為，所以，解得，舍去，即，，即長(zhǎng)度為.【題型10空間距離中的動(dòng)點(diǎn)探究】【例10】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.（1）求四棱錐的體積；（2）是否存在點(diǎn)D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1?若存在，求出此時(shí)線段DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）1；（2）存在，或【解析】（1）∵側(cè)面為正方形，∴，又，且，面，∴平面，又，∴平面，取BC中點(diǎn)G，則，∴平面.∴.（2）以為原點(diǎn)，分別以BA，BC，所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)，則，，.設(shè)與，均垂直的向量為，則，即，取，∴異面直線BF，DE的距離，解得或.∴或.故存在點(diǎn)D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1，且此時(shí)或.【變式10-1】（2022秋·黑龍江大慶·高二?？计谀﹫D是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大?。蝗舨淮嬖?，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）在圖中取中點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，又，為等邊三角形；又，為等邊三角形；在圖中，取中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，，，又，，，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)棱上存在點(diǎn)且滿足題意，即，解得：，即，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，到平面的距離為，解得：，，又平面的一個(gè)法向量，，又二面角為銳二面角，二面角的大小為.【變式10-2】（2022秋·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，為矩形，，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）證明：在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為2，若存在，求的值.不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，.【解析】（1）因?yàn)槭钦叫危瑸榫匦?，所以且平面?所以平面，又因?yàn)椋?所以，因此兩兩垂直，所以建系如圖，則有,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，直線與平面所成角為，則有，令，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè),所以,,所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，滿足題意，此時(shí).【變式10-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長(zhǎng)均為3.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，此時(shí)的長(zhǎng)為1【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)?，，所以，且，因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，且，又，滿足，所以，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知，平面，且，故可以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以到平面的距離為；則，則，所以，則，，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，則，由，得，或（舍去），此時(shí).故存在一點(diǎn)，使得到平面的距離與到直線的距離之比為，此時(shí)的長(zhǎng)為1（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022秋·遼寧沈陽·高三校考期中）如圖，在多面體中，平面平面，，，，，．（1）求平面與平面所成二面角的正弦值；（2）若是棱的中點(diǎn)，對(duì)于棱上是否存在一點(diǎn)，使得．若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）不存在，證明見解析.【解析】（1）在平面上過點(diǎn)作,為上的點(diǎn)，由于平面平面，，故以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，．設(shè)面的法向量為則，令，則設(shè)面的一個(gè)法向量為設(shè)平面與平面所成二面角為則則故平面與平面所成二面角的正弦值為（2）不存在假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得四點(diǎn)共線，記該平面為面,面面四點(diǎn)都在平面內(nèi)共面，且平面即平面面五個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)，這與為四棱錐矛盾對(duì)于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行.2．（2022·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱錐中，，，P在側(cè)棱上，平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）側(cè)棱上存在一點(diǎn)E，使得平面，且.【解析】（1）如圖，由題意知平面，，故兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵，不妨設(shè)，則，∴.由題意得，，，，.∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取，∵平面，∴平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，所以（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)使得平面．在上取點(diǎn)，連接，由（1）設(shè)，且，即，可得，即，所以，由平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即，解得.故.所以側(cè)棱上存在一點(diǎn)E，使得平面，且.3．（2022春·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，．（1）求直線與直線所成角的余弦值．（2）若在線段上存在一點(diǎn)D，且=t，當(dāng)時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在直三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，．所以，所以，又平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，即直線與直線所成角的余弦值為；（2）依題意，，因?yàn)?，，所以因?yàn)?，則，解得，所以．4．（2023春·新疆·高二校考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，已知四邊形為菱形，，為正三角形，平面平面.（1）求二面角的大?。唬?）在線段SC（端點(diǎn)S，C除外）上是否存在一點(diǎn)M，使得？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）45°；（2）不存在，理由見解析【解析】（1）取AD中點(diǎn)O，連接SO，BO，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，因?yàn)槠矫妫?，則，，因?yàn)椋?，所以，所以O(shè)A，OB，OS兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，可得，設(shè)二面角為，則，易知二面角為銳角，則.（2）設(shè)，，，則，，，，，由，解得，矛盾，故不存在.5．（2022秋·廣東茂名·高二校聯(lián)考期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1

圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】（1）∵，E為BD的中點(diǎn)，∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E為原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個(gè)法向量=(，1，1)，設(shè)平面FBA的法向量為=(a，b，c)，則取b=1，得平面FBA的一個(gè)法向量為=(-，1，0)，∴設(shè)平面ABD與平面的夾角為θ，則∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.（2）假設(shè)在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面設(shè)(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一個(gè)法向量由∥，得，此方程無解.∴線段AD上不存點(diǎn)M，使得平面.6．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_學(xué)考試）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.（1）若點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)請(qǐng)判斷下列條件：①直線AM與平面ABCD所成角的正切值為；②中哪一個(gè)條件可以推斷出平面（無需說明理由），并用你的選擇證明該結(jié)論；（2）若點(diǎn)為棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），試探究上是否存在一點(diǎn)N，使得平面ADN平面BDN？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）②，證明見解析；（2）存在，【解析】（1）條件②可以推斷平面.如圖，連接，相交于點(diǎn)，連EM.在梯形中，有，，.又因?yàn)椋?/p>