專題03 直線的相關(guān)概念及應(yīng)用（12大考點(diǎn)知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）

專題03直線的相關(guān)概念及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角與斜率1、傾斜角的傾斜角（1）定義當(dāng)直線與相交時(shí)，我們把軸稱為基準(zhǔn)，軸的正向與向上的方向之間所產(chǎn)生的角叫做直線的傾斜角。（2）傾斜角的范圍：。當(dāng)時(shí)，表示直線與x軸平行或與x軸重合.2、直線的斜率（1）定義傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．（2）特殊情況：=1\*GB3①當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，，；=2\*GB3②直線與軸垂直時(shí)，，不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率不一定存在.3、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系圖示傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在和內(nèi)分別與傾斜角變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．4、斜率公式：已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式.知識(shí)點(diǎn)2兩條直線的平行與垂直1、直線平行的條件類型斜率存在斜率不存在條件對(duì)應(yīng)關(guān)系兩直線斜率都不存在圖示【注意】1、公式成立的前提條件是：①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；2、當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則.2、直線垂直的條件對(duì)應(yīng)關(guān)系與的斜率都存在，分別為，則與中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則與的位置關(guān)系是圖示【注意】1、公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；2、當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直.知識(shí)點(diǎn)3直線的方程1、直線的五種方程形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距，斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)，斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面內(nèi)所有直線都適用2、直線的一般式方程與其他形式方程的互化3、一般式直線方程的平行與垂直（1）平行與垂直的充要條件：已知直線的方程分別是（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0）若若（2）一般式方程下平行和垂直的直線的設(shè)法平行：與直線垂直的直線方程可設(shè)為垂直：與直線垂直的直線方程可設(shè)為知識(shí)點(diǎn)4直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1、兩條直線的交點(diǎn)（1）點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)直線點(diǎn)在直線上直線與的交點(diǎn)是方程組的解是（2）直線的交點(diǎn)與方程的解求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。2、過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡(jiǎn)稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．知識(shí)點(diǎn)5直線的距離公式1、兩點(diǎn)間的距離公式（1）距離公式：平面內(nèi)兩點(diǎn)，間的距離公式為：.【注意】公式中和位置沒有先后之分，也可以表示為：（2）三種特殊距離：=1\*GB3①原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離為；=2\*GB3②當(dāng)平行于軸時(shí)，；=3\*GB3③當(dāng)平行于軸時(shí)，.2、點(diǎn)到直線的距離（1）定義：點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.（2）距離公式：點(diǎn)到直線的距離.【注意】（1）直線方程應(yīng)用一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式.（2）點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)的最短距離；（3）點(diǎn)到直線的距離公式適用任何情況，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，它到直線的距離為0.3、兩條平行線間的距離（1）定義：兩條平行線間的距離是指夾在這兩條平行線間的公垂線段的長(zhǎng)。（2）距離公式：兩條平行直線，，它們之間的距離為：【注意】在使用公式時(shí)，兩直線方程為一般式，且和的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。（3）兩平行線間的距離另外一種解法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，在任一條直線上任取一點(diǎn)（一般取直線上的特殊點(diǎn)），此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離。知識(shí)點(diǎn)6直線中的對(duì)稱問題1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題（1）實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)（2）方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題（1）實(shí)質(zhì)：兩直線平行（2）法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）法二：利用平行性質(zhì)解（求一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）3、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題（1）實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線（2）=1\*GB3①當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則=2\*GB3②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為4、直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題（1）當(dāng)與l相交時(shí)：此問題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對(duì)稱問題；求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程（2）當(dāng)與l平行時(shí)：對(duì)稱直線與已知直線平行.兩條對(duì)稱直線到已知直線的距離相等，利用平行線間距離公式建立方程即可解得?？键c(diǎn)1計(jì)算直線的傾斜角與斜率【例1】（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的斜率為（）A．B．C．D．【變式1-1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，若直線過點(diǎn)，則的傾斜角為（）A．B．C．D．【變式1-2】（2022秋·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則的斜率為（）A．B．C．D．【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過不重合的兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的取值為．【變式1-4】（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式1-5】（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（）A．B．∪C．D．考點(diǎn)2由斜率解決三點(diǎn)共線問題【例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列三點(diǎn)是否在同一條直線上：（1），，；（2），，.【變式2-1】（2023秋·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)m的值為．【變式2-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)不同的點(diǎn)、、在同一條直線上，求實(shí)數(shù)的值．【變式2-3】（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，若在線段上，則的最小值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)3直線與線段有公共點(diǎn)問題【例3】（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（）A．B．C．或D．【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（）A．B．C．D．【變式3-2】（2022秋·重慶·高二?？计谥校┲本€經(jīng)過點(diǎn)和以，為端點(diǎn)的線段相交，直線斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式3-3】（2023秋·山西晉城·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（）A．或B．或C．D．【變式3-4】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段相交，求直線的斜率的取值范圍.考點(diǎn)4求直線的方程【例4】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角，則直線的方程為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2023秋·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且在軸上的截距為3的直線方程是．（請(qǐng)寫出一般式方程）【變式4-2】（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能是（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023秋·湖北恩施·高二巴東一中?？茧A段練習(xí)）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，求：（1）BC所在直線的方程；（2）BC邊上的中垂線的方程.【變式4-4】（2023秋·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點(diǎn)，所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.考點(diǎn)5根據(jù)方程判斷直線的圖象【例5】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角范圍是（）A．B．C．D．【變式5-1】（2023秋·河南焦作·高二校考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過第一、二、三象限，則（）A．，B．，C．，D．，【變式5-2】（2023秋·江蘇連云港·高二校考開學(xué)考試）如果，，那么直線不通過（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式5-3】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習(xí)）如果，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式5-4】（2023秋·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）一次函數(shù)與為常數(shù)，且，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象可能為（）A．B．C．D．【變式5-5】（2022秋·四川涼山·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過第一、二、四三個(gè)象限，則（）A．若，則，B．若，則，C．若，則，D．若，則，考點(diǎn)6直線與坐標(biāo)圍成面積問題【例6】（2023秋·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則面積最小值為．【變式6-1】（2023秋·河北邯鄲·高二校考階段練習(xí)）直線的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則直線的方程可能是（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023秋·遼寧丹東·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線，若直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大，則直線l的方程是（）A．B．C．D．【變式6-3】（2022秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：（1）直線的斜率為；（2）直線與兩坐標(biāo)軸在第二象限圍成的三角形面積為.【變式6-4】（2022秋·天津?qū)幒印じ叨？茧A段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（3）若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.考點(diǎn)7兩條直線平行及應(yīng)用【例7】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）若與為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（）A．若，則它們的斜率相等B．若與的斜率相等，則C．若，則它們的傾斜角相等D．若與的傾斜角相等，則【變式7-1】（2022秋·天津·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與直線平行，則a＝（）A．B．或0C．0D．-2【變式7-2】（2022秋·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）下列直線與直線x-y-1=0平行的是（）A．x+y-1=0B．x-y+1=0C．a(chǎn)x-ay-a=0（a≠0）D．x-y+1=0或ax-ay-a=0（a≠0）【變式7-3】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線，，，則“”的必要不充分條件是（）A．B．C．或D．【變式7-4】（2023秋·云南大理·高二?？茧A段練習(xí)）若直線過點(diǎn)且與平行，則直線的一般方程為.考點(diǎn)8兩條直線垂直及應(yīng)用【例8】（2023秋·寧夏·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）下列直線中，與垂直的是（）A．B．C．D．【變式8-1】（2022秋·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（）A．B．C．D．【變式8-2】（2022秋·福建莆田·高二?？计谥校┤魞芍本€與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．3C．D．【變式8-3】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A．B．C．D．【變式8-4】（2023秋·四川樂山·高二?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程是.考點(diǎn)9兩條直線相交問題【例9】（2022秋·天津?yàn)I海新·高二?？茧A段練習(xí)）直線，直線，則與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式9-1】（2022秋·江西贛州·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．或B．C．D．【變式9-2】（2022秋·河南信陽·高二校考階段練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式9-3】（2022秋·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．或B．或C．或D．且【變式9-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若關(guān)于、的方程組無解，則實(shí)數(shù)【變式9-5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）關(guān)于x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則a與b的積是.考點(diǎn)10三條直線相交問題【例10】（2022秋·天津·高二?？茧A段練習(xí)）直線和交于一點(diǎn)，則m的值為.【變式10-1】（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）若三條直線，，交于一點(diǎn)，則a的值為（）A．B．3C．1D．2【變式10-2】（2022秋·山東聊城·高二?？茧A段練習(xí)）若三條直線，，能圍成一個(gè)三角形，則的值可能是（）A．B．1C．D．【變式10-3】（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知a為實(shí)數(shù)，若三條直線，和不能圍成三角形，則a的值為．【變式10-4】（2023秋·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．B．C．D．2【變式10-5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三條直線，，.（1）若直線，，交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線，，不能圍成三角形，求實(shí)數(shù)的值.考點(diǎn)11直線中的距離問題【例11】（2023秋·寧夏·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，且兩點(diǎn)的距離為5，則（）A．0B．8C．0或8D．4【變式11-1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)直線與原點(diǎn)的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)（）A．3B．4C．5D．6【變式11-2】（2023·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）若，求的面積為（）A．28B．14C．56D．20【變式11-3】（2022秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A．1B．C．3D．4【變式11-4】（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)P在直線上，且點(diǎn)P到直線的距離為，則m的值可能是（）A．B．10C．5D．0考點(diǎn)12直線中的對(duì)稱問題【例12】（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（）A．B．C．D．【變式12-1】（2023秋·山西大同·高二校考階段練習(xí)）已知直線：與關(guān)于直線對(duì)稱，與平行，則（）A．B．C．D．2【變式12-2】（2022秋·全國·高二期中）如果直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，那么直線的方程為（）A．B．0C．D．【變式12-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【變式12-4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，點(diǎn)．（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；（2）求直線，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程．【變式12-5】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，求：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程．1．（2022秋·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為（）A．B．C．D．2．（2023春·山東濰坊·高二?？茧A段練習(xí)）若直線過兩點(diǎn)，則直線的一般式方程是（）A．B．C．D．3．（2023秋·河北滄州·高二校考階段練習(xí)）兩條平行直線：與：之間的距離是（）A．0B．C．1D．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線不過第二象限，則的取值范圍為（）A．B．C．D．5．（2023秋·河南開封·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)且平行于直線的直