專題08 等差數(shù)列通項與前n項和（12大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）

專題08等差數(shù)列通項與前n項和知識點1等差數(shù)列的定義1、文字語言：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．2、符號語言：若，則數(shù)列為等差數(shù)列（通?？煞Q為AP數(shù)列）【注意】（1）“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合．（2）“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調(diào)了：①作差的順序；②這兩項必須相鄰．（3）定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數(shù)，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．知識點2等差數(shù)列的通項與性質(zhì)1、等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則通項公式為：2、等差中項如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．這三個數(shù)滿足的關(guān)系式是A＝eq\f(a＋b,2).3、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則.特別地，當(dāng)m＋n＝2k（m，n，k∈N*）時，.（2）對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即（3）若是公差為d的等差數(shù)列，則①（c為任一常數(shù)）是公差為d的等差數(shù)列；②（c為任一常數(shù)）是公差為cd的等差數(shù)列；③（k為常數(shù)，k∈N*）是公差為2d的等差數(shù)列．（4）若，分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列(p，q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列．（5）通項公式的推廣：(n，m∈N*)．知識點3等差數(shù)列的前n項和與性質(zhì)1、等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式2、等差數(shù)列的前n項和的常用性質(zhì)（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，為其前n項和，等差數(shù)列的依次項之和，，，…組成公差為的等差數(shù)列；（2）數(shù)列是等差數(shù)列?(a，b為常數(shù))?數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；（3）若S奇表示奇數(shù)項的和，表示偶數(shù)項的和，公差為d；①當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，，，；②當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，，，.（4）在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則3、等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)將等差數(shù)列前n項和公式，整理成關(guān)于n的函數(shù)可得.當(dāng)時，關(guān)于n的表達(dá)式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式，即點在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點．考點1等差數(shù)列的基本量計算【例1】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的公差是（）A．B．C．D．3【變式1-1】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀?shù)列為等差數(shù)列，若,，則（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A．240B．180C．120D．60【變式1-3】（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．B．C．2022D．2023【變式1-4】（2023·江西新余·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則等差數(shù)列的公差（）A．3B．2C．D．4考點2等差數(shù)列通項性質(zhì)應(yīng)用【例2】（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則的值為（）A．20B．15C．10D．5【變式2-1】（2023·寧夏銀川·高二銀川二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列，其前項和為，則（）A．24B．36C．48D．64【變式2-2】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（）A．4B．5C．D．【變式2-3】（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，，，則（）A．39B．76C．78D．117【變式2-4】（2023·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則.考點3等差數(shù)列單調(diào)性及應(yīng)用【例3】（2023·高二課時練習(xí)）（多選）已知等差數(shù)列的公差,則下列四個命題中真命題為（）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【變式3-1】（2023·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則（）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．D．【變式3-3】（2023·河北衡水·高二安平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列中最大的項為第（）項．A．4B．5C．6D．7考點4增減項構(gòu)造等差新數(shù)列【例4】（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）在和兩個實數(shù)之間插入個實數(shù)，，，，使數(shù)列為等差數(shù)列，那么這個數(shù)列的公差為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2023·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入4個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則（）A．4043B．4044C．4045D．4046【變式4-2】（2023·上海·高二?？计谥校┰诤椭g插入個數(shù)，組成首項為，末項為的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前項的和，后項的和之比為，則插入數(shù)的個數(shù)是（）A．個B．個C．個D．個【變式4-3】（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項公式為，在和之間插入個形成一個新數(shù)列，則的前2024項的和為.【變式4-4】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列．（1）求新數(shù)列的通項公式；（2）16是新數(shù)列中的項嗎？若是，求出是第幾項，若不是，說明理由．考點5等差數(shù)列的片段和性質(zhì)【例5】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則.【變式5-1】（2023·甘肅酒泉·高三酒泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則.【變式5-2】（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列的前m項的和為20，前3m項的和為90，則它的前2m項的和為.【變式5-3】（2022·陜西西安·高二西光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項和，若，則（）A．10B．20C．30D．15【變式5-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，則.考點6等差數(shù)列前n項和與n的比值【例6】（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則等于（）A．10B．100C．110D．120【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【變式6-2】（2023·河南·高三安陽縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．B．C．D．【變式6-3】（2023·江蘇常州·高二奔牛高級中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中,,其前項和為,則.【變式6-4】（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．考點7兩個等差數(shù)列前n項和的比值【例7】（2023·黑龍江大慶·高二?？计谀┑炔顢?shù)列和的前項和分別為和，如果，的值是（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·福建寧德·高二寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知兩個等差數(shù)列、的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的的取值可以是（）A．B．C．D．【變式7-2】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為與,且,則（）A．B．C．D．【變式7-3】（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列，前n項和分別為，，若，則等于（）A．2B．C．1D．【變式7-4】（2023·福建南平·高二福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前n項和分別為，，若，則考點8等差數(shù)列的奇偶項和性質(zhì)【例8】（2023·甘肅定西·高二臨洮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有21項，若奇數(shù)項的和為110，則偶數(shù)項的和為（）A．100B．105C．90D．95【變式8-1】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的項數(shù)為其中奇數(shù)項之和為偶數(shù)項之和為則()A．B．C．D．【變式8-2】（2022·江蘇蘇州·高二蘇州第十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一個等差數(shù)列共有偶數(shù)項,偶數(shù)項之和為84,奇數(shù)項之和為51,最后一項與第一項之差為63,則該數(shù)列公差為.【變式8-3】（2023·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知公差，且，求的值．【變式8-4】（2023·高二課時練習(xí)）求下列兩題：（1）等差數(shù)列前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32∶27，求該數(shù)列的公差；（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求該數(shù)列的中間項．考點9等差數(shù)列前n項和最值【例9】（2022·江西新余·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則當(dāng)（）時，最大.A．B．C．D．【變式9-1】（2023·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則取得最大值時，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【變式9-2】（2023·福建寧德·高二寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且滿足，則對描述正確的有（）A．是唯一最大值B．是最大值C．D．是最小值【變式9-3】（2023·貴州貴陽·高二校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差.（1）求的表達(dá)式（2）是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由.【變式9-4】（2023·江蘇蘇州·高二沙洲中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選）已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項和為，（）A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值D．若，，則當(dāng)或14時，取得最大值考點10含絕對值的等差數(shù)列求和【例10】（2023·天津·高二天津市咸水沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，則等于（）A．445B．765C．1080D．3105【變式10-1】（2023·湖北黃岡·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，設(shè)的前項和為，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）求．【變式10-2】（2023·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項和，若.（1）求數(shù)列的通項公式與；（2）求數(shù)列的前50項和.【變式10-3】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若，求數(shù)列的前項和.【變式10-4】（2023·江蘇無錫·高二無錫市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，公比，且，又與的等比中項為2.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的前項和.考點11等差數(shù)列的判定與證明【例11】（2023·海南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項和，.（1）求；（2）證明是等差數(shù)列.【變式11-1】（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）已知數(shù)列中，，，.（1）求的值；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式.【變式11-2】（2023·江蘇鹽城·高二新豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.【變式11-3】（2023·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列等差數(shù)列.【變式11-4】（2023·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.（1）計算數(shù)列的前4項；（2）求證：是等差數(shù)列；（3）求的通項公式.考點12等差數(shù)列的實際應(yīng)用【例12】（2023·福建廈門·高二廈門集美中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這些節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為尺，前九個節(jié)氣日影長之和為尺，則芒種日影長為（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【變式12-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n，和d求各項的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七．借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問題中老人的長子的歲數(shù)為（）A．35B．32C．29D．26【變式12-2】（2023·江蘇揚州·高二邗江中學(xué)?？计谥校┈F(xiàn)有一張正方形剪紙，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，若經(jīng)過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為（）A．33B．34C．36D．37【變式12-3】（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升.”在該問題中前7天共分發(fā)多少升大米？（）A．1170B．1440C．1785D．1772【變式12-4】（2023·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將到這個自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項數(shù)為．1．（2023·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（）A．B．C．D．2．（2023·山東泰安·高二泰安第二中學(xué)校考階段練習(xí)）首項為的等差數(shù)列，從第項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（）A．B．C．D．3．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A．26B．27C．28D．294．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某中學(xué)的募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動一共進(jìn)行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天5．（2023·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，，都有，則的值為（）A．B．C．D．6．（202