湖南省長(zhǎng)沙市名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）（解析版）

名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年秋季高一年級(jí)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分考試范圍：必修第一冊(cè)第1章一第5章5.4一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系，列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出，從而得到答案.【詳解】由題意得，且，解得，所以.故選：B3.若，且，則角α是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】A【解析】【分析】先由條件判斷出與的符號(hào)，進(jìn)而判斷角的終邊所在的象限.【詳解】，又，，因此角為第一象限角.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的真假判斷方法，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D錯(cuò)誤.故選：B5.已知角的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若角的終邊所在直線(xiàn)的方程為，則的值為（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊所在直線(xiàn)的方程為，在角的終邊取一點(diǎn)，則，所以，則.故選：C.6.已知條件P：，條件Q：，則P是Q的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)條件P：成立時(shí)，因?yàn)闉樯显龊瘮?shù)，又，所以，又為上減函數(shù)，所以成立，所以是的充分條件；當(dāng)時(shí)，取，滿(mǎn)足條件，但此時(shí)無(wú)意義，所以不是的必要條件，故是的充分不必要條件.故選：A.7.計(jì)算（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算及根式運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】.故選：C8.已知，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的各個(gè)等式，分別構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理確定所在區(qū)間即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且的圖象在直線(xiàn)上方，的圖象在直線(xiàn)下方，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，遞減，則遞增，顯然，即有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得，設(shè)，函數(shù)在R上遞減，在R上遞增，則在R上遞減，顯然，即有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得，令，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象如圖，觀(guān)察圖象知，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然，，即有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20.分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析AD，利用冪函數(shù)的性質(zhì)分析B，利用特殊值分析C，從而得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減D.若直線(xiàn)與函數(shù)相交于兩點(diǎn)P，，則|PQ|的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】求出最小正周期判斷A；利用奇偶性定義判斷B；由余弦函數(shù)單調(diào)性判斷C；由正切函數(shù)的周期列式計(jì)算判斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期，A錯(cuò)誤；由，得函數(shù)是奇函數(shù)，又其定義域?yàn)?，B正確；由，得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；由直線(xiàn)與函數(shù)相交于兩點(diǎn)，得，則的最小值為，D正確.故選：BCD11.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷AB，利用基本不等式“1”的妙用判斷C，由基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.是周期為2的周期函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的值域D.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】根據(jù)周期性和奇函數(shù)可判斷AB，由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷C，結(jié)合周期性以及奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷D.【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)槭嵌x在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且，所以，則是周期為2的周期函數(shù)，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，令，則的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋十?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，進(jìn)而可得時(shí)，的值域?yàn)?，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則的值域?yàn)椋吹闹涤驗(yàn)?，又，故值域?yàn)椋謺r(shí)，的值域?yàn)椋虼藭r(shí)，的值域?yàn)椋蔇正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則等于__________.【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)與偶函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以.故答案為：.14.化簡(jiǎn)：___________.【答案】4【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式計(jì)算即得.【詳解】.故答案為：415.已知函數(shù)，若在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組并求解即得.【詳解】由函數(shù)在R上是增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：16.已知函數(shù)（），.記表示，中的最小者，設(shè)函數(shù)（），若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，按分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)圖象求解即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，若，則，，則不是的實(shí)數(shù)解，若，則，因此，則是的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，則只需討論在區(qū)間的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，由，得，即問(wèn)題等價(jià)于與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合在區(qū)間上的圖象知，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.四.解答題；本題共6小題.共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.己知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定等式，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求得.（2）由（1）的結(jié)論，利用齊次式法計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以18.已知全集為R，集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式求出，根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念求出答案；（2）分和兩種情況，得到不等式，求出答案.【小問(wèn)1詳解】，時(shí)，，故或，或；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，需滿(mǎn)足，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知二次函數(shù)滿(mǎn)足：，不等式的解集為，函數(shù)，.（1）求函數(shù)解析式；（2）證明；函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).并求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)解析式，再結(jié)合給定的解集列出方程求解即得.（2）求出函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性定義推理即得，由此求出最大值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得，則，又不等式的解集為，則1，2是方程的兩根，且，因此，解得，所以函數(shù)解析式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，且，顯然，而，則，于是，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，.20.1903年前蘇聯(lián)（俄羅斯）航天之父齊奧爾科夫斯基推導(dǎo)出火箭的理想速度公式為：，其中為火箭的初始質(zhì)量，為火箭燃燒完畢熄火后的剩余質(zhì)量，稱(chēng)為火箭的質(zhì)量比，為火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度.100多年來(lái)，所有的大小火箭都遵循齊奧爾科夫斯基公式的基本規(guī)律.已知某型號(hào)火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度為第一宇宙速度7900m/s.（1）當(dāng)該型號(hào)火箭的質(zhì)量比為10時(shí)，求該型號(hào)火箭的理想速度；（2）經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，某型號(hào)火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度提高到了原來(lái)的2倍，質(zhì)量比縮小為原來(lái)的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前質(zhì)量比的最小整數(shù)值，參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】（1）；（2）7.【解析】【分析】（1）將給定數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即得.（2）利用給定的信息，列出不等式，再解指對(duì)數(shù)不等式即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，.【小問(wèn)2詳解】技術(shù)改進(jìn)前的理想速度，技術(shù)改進(jìn)后的理想速度，要使火箭理想速度至少增加，則，即，因此，即，所以，所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前質(zhì)量比的最小整數(shù)值為7.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí).都有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得.（2）探討函數(shù)的單調(diào)性，求出在上的最值，再借助恒成立的不等式求解即得.【小問(wèn)1詳解】由，得，由，得，且，于是，解得，即，所以不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】由是增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上為減函數(shù)，因此，因?yàn)楫?dāng)，滿(mǎn)足，則只需，則，即對(duì)任意成立，由，得函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，(1)若，總有成立，則；(2)若，總有成立，則；(3)若，使得成立，則；(4)若，使得成立，則.22.已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足.（1）求函數(shù)與的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若，，求實(shí)數(shù)m取值的