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#/10中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)——分類討論問題教學(xué)目標(biāo).掌握常見題型分類方法;能夠靈活運(yùn)用一般的分類技巧。.明確分類的“界點”、“標(biāo)準(zhǔn)”。一、熱點再練.等腰三角形的一個角是80°,則它頂角的度數(shù)是()A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°.已知三角形相鄰兩邊長分別為13cm和15cm,第三邊上的高為12cm,則此三角形的面積為 cm2A84B24C84或24D54.在直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點,已知A(1,1),在x軸上確定點P,使得△AOP為等腰三角形,則符合條件的P點共有個。.半徑為5的圓中,有弦AB平行CD,AB=8,CD=6,則AB與CDN間的距離 .在半徑為1的圓中,弦AB、AC的長分別是、2、/,則NBAC的度數(shù)是。.已知方程m2x2+(2m+1)x+1=o有實數(shù)根,則m的取值圍。知識點:.等腰三角形的角有和其中的底角可以是 .(按角的類型進(jìn)行分類).三角形的高可以在 也可以在 (按圖形的形狀進(jìn)行)
(按定義分類).圓是軸對稱圖形,相等的弦,如平行弦,從一個頂點出發(fā)的弦會在對稱抽的兩側(cè)(按圖形的性質(zhì))(按定義分類).初中階段的方程有二、規(guī)律剖析D兩點Bp4p2X1例1正方形ABCD的邊長為10cm,一動點P從點A出發(fā),以2cm/秒的速度沿正方形的邊逆時針勻速運(yùn)動。如圖,回到A點停止,求點P運(yùn)動D兩點Bp4p2X1D間的距離??偨Y(jié):本題從運(yùn)動的觀點,考查了動點P與定點0之間的距離,應(yīng)根據(jù)P點的不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形,關(guān)鍵找出分界點。練習(xí):例2.如圖,已知。。的半徑為6cm,射線PM經(jīng)過點O,OP=10cm,射線PN與。O相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發(fā),點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動,點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)?(1)求PQ的長;(2)當(dāng)t為何值時,直線AB與。0相切?課堂檢測:1.若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1,則此等腰三角形的周長為( )A.5 B.7 C.5或7D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,三點坐標(biāo)分別是(0,0)(4,0)(3,2),以三點為頂點TOC\o"1-5"\h\zD C畫平行四邊形,則第四個頂點不可能在( )。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四易J .如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,點P是邊AB上一點,若4APD與4BPC相似,則滿足條件的點P有個..若等腰三角形的兩個角度的比是1:2,則這個三角形的頂角為( )度。A30 B60 C30或90D60.若直線y二一x+b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2,則b的值為;.已知關(guān)于X的一元二次方程⑺-1?2+X+1=0有實數(shù)根,則m的取值圍是:總結(jié):運(yùn)動與數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類四、板書設(shè)計1:分式方程無解的分類討論問題;2:“一元二次”方程系數(shù)的分類討論問題;3:三角形、圓等幾何圖形相關(guān)量求解的分類討論問題;4:分類問題在動點問題中的應(yīng)用;常見平面問題中動點問題的分類討論;4.2組合圖形(二次函數(shù)、一次函數(shù)、平面圖形等組合)中動點問題的分類。1:分式方程無解的分類討論問題3ax4例題1:(2011) + = 無解,求a=x—3x2—9x+3解:去分母,得:3(x+3)+ax=4(x一3)n(a-1)x=-2121 21由已知 =—3或 =3或a—1=0a-1 a-1a=8,a=6.或者a=1猜想:把“無解”改為“有增根”如何解?a=8或a=—62a例題2:(2011)--——-=2無解,求@=x+1x—12:“一元二次”方程系數(shù)的分類討論問題例題3:(2010)已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值圍。當(dāng)m2=0時,即m=0時,方程為一元一次方程x+1=0,有實數(shù)根x=-1當(dāng)m2中0時,方程為一元二次方程,根據(jù)有實數(shù)根的條件得:1A=(2m+1)2—4m2=4m+1>0,即m>-—,且m2中04綜(1)(2)得,m>—14常見病癥:(很多同學(xué)會從(2)直接開始而且會忽略m2w0的條件)總結(jié):字母系數(shù)的取值圍是否要討論,要看清題目的條件。一般設(shè)置問題的方式有兩種(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“兩實數(shù)根”。這都是表明是二次方程,不需要討論,但切不可忽視二次項系數(shù)不為零的要求,本題是根據(jù)二次項系數(shù)是否為零進(jìn)行討論的。例題4:(2011)當(dāng)山是什么整數(shù)時,關(guān)于x的一元二次方程mx2—4x+4=0與x2—4mx+4m2—4m—5=0的根都是整數(shù)。解:因為是一元二次方程,所以二次項系數(shù)不為0,即m2w0,mw0,A1>0,解得m<1.同理,A2之°,解得m2-4二一4Vm41且m牛。,又因為小為整數(shù)二m取-1或1.(1)當(dāng)m=-1時,第'一個方程的根為%=一2±2-\2不是整數(shù),所以m=—1舍去。(2)當(dāng)m=1時,方程1、2的根均為整數(shù),所以m=1.練習(xí):已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)%2+%+1=0有實數(shù)根,則m的取值圍是:m—1豐0 5nm<—Mm豐1A>0 43:三角形、圓等幾何圖形相關(guān)量求解的分類討論問題例題:5:(2011)方程%2—9%+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰,則這個三角形的周長為()A12 B12或15C15 D不能確定例題6:(2011)三角形一邊長AB為13cm,另一邊AC為15cm,BC上的高為12cm,求此三角形的面積。(54或84)例題8:(2011四校聯(lián)考)一條繩子對折后成右圖A、B,A.B上一點C,且有8。=2人。,將其從C點剪斷,得到的線段中最長的一段為.. . .40cm,請問這AC B條繩子的長度為:60cm或120cm4:動點問題的分類分類討論問題4.1:常見平面問題中動點問題的分類討論;例題9:(2011永州)正方形ABCD的邊長為10cm,一動點P從點A出發(fā),以2cm/秒的速度沿正方形的邊逆時針勻速運(yùn)動。如圖,回到八點停止,求點P運(yùn)動t秒時,P,D兩點間的距離。
解:點P從A點出發(fā),分別走到B,C,D,A所用時間是秒,秒,秒,秒,即5秒,10秒,15DpAB1p42秒,20秒。「.(1)當(dāng)0Wt<5時,點P在線段AB上,田口|=上〃=(cm)DpAB1p42(2)當(dāng)5Wt<10時,點P在線段BC上,|PD|=|P2D|=(3)當(dāng)10Wt<15時,點P在線段CD上,|PD|=|PR=30-2t3(4)當(dāng)15WtW20時,點P在線段DA上,|PD|=|P4D|=2t-30綜上得:|PD|=總結(jié):本題從運(yùn)動的觀點,考查了動點P與定點D之間的距離,應(yīng)根據(jù)P點的不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形,將線段PD放在直角三角形中求解或直接觀察圖形求解。4.2:組合圖形(一次函數(shù)、二次函數(shù)與平面圖形等組合)中動點問題的分類。3例題10:(2010)已知一次函數(shù)y=-kx+3V3與x軸、y軸的交點分別為八、8,試在x軸上找一點P,使△PAB為等腰三角形。分析:本題中APAB由于P點位置不確定而沒有確定,而且等腰三角形中哪兩條是腰也沒有確定。APAB是等腰三角形有幾種可能?我們可以按腰的可能情況加以分類:(1)PA=PB;(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出B點坐標(biāo)(0,34),A點坐標(biāo)(9,0)。設(shè)P點坐標(biāo)為(x,0),利用兩點間距離公式可對三種分類情況分別列出方程,求出P點坐標(biāo)有四解,分別為(―9,0)、(3,0)、(9+6+:3,0)、(9—6v:3,0)。(不適合條件的解已舍去)總結(jié):解答本題極易漏解。解答此類問題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能位置,緊扣條件,分類畫出各種符合條件的圖形。另外,由點的運(yùn)動變化也會引起分類討論。由于運(yùn)動引起的符合條件的點有不同位置,從而需對不同位置分別求其結(jié)果,否則漏解。
例11:(2010)如圖,正方形ABCD的邊長是2,BE=CE,MN=1,線段MN的兩端在CD、AD上滑動?當(dāng)DM二時,AABE與以D、M、N為項點的三角形相似。分析與解答勾股定理可得A£=45?當(dāng)AABE與以D、M、N為項點的三角形相似時,DM可以與BE是對應(yīng)邊,也可以與AB是對應(yīng)邊,所以本題分兩種情況:DM=1=,DM=立,
DM=1=,DM=立,
<5 5(2)當(dāng)DM與AB是對應(yīng)邊時,DM=MN,即DM=工dm="故DM的長是直或人!ABAE2<5'5 5 5例題12:(2011)如圖,直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A,B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).(1)求拋物線的解析式;(1)求拋物線的解析式;的前提下,正確應(yīng)用分類思想方法,恰當(dāng)?shù)剡x擇分類標(biāo)準(zhǔn),是準(zhǔn)確全面求解的根本保證.解析:(1)拋物線解析式的求法:1,三點式;2,頂點式(h,k);3,交點式。易得:y=a(x+1)(x—3)再結(jié)合點B(0,3)在拋物線上,y=—x2+2x+3(2)依題意得AB=v10,拋物線的對稱軸為x=1,設(shè)Q(1,y)1)以AQ為底,則有AB=QB,與10="2+(y—3)2解得,y=0或y=6,又因為點(1,6)在直線AB上(舍去),所以此時存在一點Q(1,0)2)以BQ為底,同理則有AB=AQ,解的Q(1,<6)Q(1,--.而)3)以AB為底,同理則有QA=QB,存在點Q(1,1).綜上,共存在四個點分別為:(1,0)、(1,1)、(1,區(qū))、(1,--v6)[作業(yè)訓(xùn)練]?已知等腰AABC的周長為18cm,BC=8cm?若AABC2△A'B'C',則△A‘B'C'中一定有一定有條邊等于()A-7mB-2m<7cmC-5mD-2m<7cm.(2010)若等腰三角形的兩個角度的比是1:2,則這個三角形的頂角為()度。A30 B60 C30或90D60-A、B兩地相距450千米,甲、乙兩車分別從八、8兩地同時出發(fā),相向而行?已知甲車速度為120千米/時,乙車速度為80千米/時,以過1小時兩車相距50千米,則才的值是( )A-2或2-5 B-2或10 C-10或12-5 D-2或12-5?已知。。的半徑為2,點P是。。外一點,OP的長為3,那么以P這圓心,且與。0相切的圓的半徑一定是()A-1或5B-1 C-5D-不能確定.(2011株洲市)兩圓的圓心距d=5,他們的半徑分別是一元二次方程x2-5x+4=0的兩根,判
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