決策理論與方法第四章 隨機(jī)性決策問題的決策準(zhǔn)則

第四章隨機(jī)性決策問題的決策準(zhǔn)則第一節(jié)引言一、決策問題的表示1、決策樹將一個(gè)決策問題的相關(guān)方案、狀態(tài)、結(jié)果、損益值和概率等用由一些節(jié)點(diǎn)和邊組成的類似于“樹”的圖形表示出來。包括：決策點(diǎn)、狀態(tài)點(diǎn)、結(jié)果點(diǎn)。2023/2/54:042023/2/54:04決策樹表示法決策點(diǎn)機(jī)會(huì)點(diǎn)C1決策枝機(jī)會(huì)枝后果點(diǎn)C2C3C4后果值a1a2(1)(2)(1)(2)2、決策表將一個(gè)決策問題的自然狀態(tài)、概率、行動(dòng)與損益值用表格的形式表示出來，叫做決策表或者決策矩陣。若決策問題的后果是用損失表示的，也稱損失矩陣。繪制決策表時(shí)需要假設(shè)：若決策人知道實(shí)際上出現(xiàn)的自然狀態(tài)，則他就可以確定采取任何一種行動(dòng)的后果。因此，假設(shè)自然只有有限種互不相容的可能的狀態(tài)，決策者只有有限種可行的行動(dòng)。2023/2/54:042023/2/54:04決策表表示法12

…j…n(j)(1)(2)…(j)…(n)a1c11c12…c1j…c1na2c11c12…c1j…c1n…………………aici1ci2…cij…cin…………………amcm1cm2…cmj…cmn狀態(tài)行動(dòng)后果(效用值、損失值、價(jià)值)二、決策問題的分類1、確定型決策問題確定型決策問題的特點(diǎn)是決策人在進(jìn)行行動(dòng)之前了解真實(shí)的自然狀態(tài)，即他可以確切地知道各種行動(dòng)的后果（屬于運(yùn)籌學(xué)中的純量?jī)?yōu)化問題）。2、嚴(yán)格不確定型問題決策人只能知道哪些自然狀態(tài)可能出現(xiàn)，他無法以任何方式量化這種不確定性。3、風(fēng)險(xiǎn)型決策決策人可以確定各種可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)及其概率分布。2023/2/54:04三、決策準(zhǔn)則無論是不確定型問題還是風(fēng)險(xiǎn)型問題，都需要根據(jù)某種準(zhǔn)則來選擇決策規(guī)則，使結(jié)果最優(yōu)或滿意，這種準(zhǔn)則就是決策準(zhǔn)則。2023/2/54:04第二節(jié)嚴(yán)格不確定型決策問題的決策準(zhǔn)則一、求解嚴(yán)格不確定型決策問題的主要決策準(zhǔn)則1、悲觀準(zhǔn)則即極小化極大準(zhǔn)則（Wald,

1950）決策人應(yīng)選擇盡可能最小化最大損失的行動(dòng)或方案，或選擇使最小效用（價(jià)值）最大化的行動(dòng)。該準(zhǔn)則下決策者極端保守，是悲觀主義者，認(rèn)為老天總跟自己作對(duì)，總是假設(shè)會(huì)發(fā)生最糟的情況會(huì)被自己遇上。2023/2/54:042、樂觀主義準(zhǔn)則決策者總是選擇最小化最小損失的行動(dòng)或方案，或最大化最大效用（價(jià)值）的行動(dòng)或方案。Hurwitz在1951年提出，現(xiàn)實(shí)中很少有人絕對(duì)的悲觀與樂觀，因此，他提出了折衷主義準(zhǔn)則，即決策者應(yīng)根據(jù)悲觀與樂觀準(zhǔn)則的加權(quán)平均值來排列行動(dòng)的優(yōu)劣次序，其中加權(quán)的權(quán)數(shù)稱為樂觀系數(shù)。2023/2/54:043、遺憾準(zhǔn)則（后悔值極小化極大）Savage,1951年提出，真實(shí)的自然狀態(tài)是決策人無法控制的，在用損失矩陣來作決策時(shí)，決策人會(huì)把采用一種行動(dòng)在某一自然狀態(tài)下的結(jié)果與同樣的自然狀態(tài)下采用不同的行動(dòng)的結(jié)果加以比較。他定義了后果的后悔值，即在某一狀態(tài)下采取某一行動(dòng)的損失與該狀態(tài)下其他行動(dòng)的最佳結(jié)果之差。該準(zhǔn)則下用后悔值表代替決策表，并選擇最小化最大后悔值的行動(dòng)或方案。2023/2/54:044、等可能準(zhǔn)則Laplace認(rèn)為對(duì)真實(shí)的自然狀態(tài)一無所知“等價(jià)于”所有自然狀態(tài)具有相同的概率，因此選擇最小化期望損失值的行動(dòng)或方案。2023/2/54:045、四種決策準(zhǔn)則的比較Milnor給出了一個(gè)有4種狀態(tài)，4種行動(dòng)的決策問題的例子。決策問題的損失矩陣表2023/2/54:04qja1a2a3a4q1

2343q2

2301q3

4344q4

3344二、理想的決策規(guī)則應(yīng)當(dāng)具備的幾種性質(zhì)公理4.1完全的優(yōu)劣次序公理4.2標(biāo)號(hào)無關(guān)性公理4.3決策結(jié)果的標(biāo)度無關(guān)性公理4.4強(qiáng)優(yōu)勢(shì)原則公理4.5無關(guān)方案獨(dú)立性公理4.6某行中各元素加常數(shù)的無關(guān)性公理4.7某一行動(dòng)的各種后果排列次序的無關(guān)性公理4.8某種狀態(tài)下各種后果所在行復(fù)制的無關(guān)性2023/2/54:04四個(gè)準(zhǔn)則滿足八條公理的證明分析2023/2/54:04

WaldHurwitzSavageLaplace公理4.1完全序√√√√公理4.2標(biāo)號(hào)無關(guān)性√√√√公理4.3標(biāo)度無關(guān)性√√√√公理4.4強(qiáng)優(yōu)勢(shì)原則√√√√公理4.5無關(guān)方案獨(dú)立性√√－√公理4.6同一狀態(tài)下各后果值加常數(shù)的無關(guān)性－－√√公理4.7某一行動(dòng)的各種后果排列次序的無關(guān)性√√－√公理4.8某種狀態(tài)下各種后果所在行復(fù)制的無關(guān)性√√√－對(duì)比分析后的結(jié)論：雖然真實(shí)自然狀態(tài)是不確定的，但這種不確定與嚴(yán)格不確定性概念所說的不確定有本質(zhì)的區(qū)別，因此現(xiàn)實(shí)中的決策問題都不可能是真正的嚴(yán)格不確定性的，于是我們要連同嚴(yán)格不確定性的概念一起拋棄公理4.7與4.8。研究問題的思路：為了判斷某些方法的優(yōu)劣，需要有一套衡量標(biāo)準(zhǔn)，這套標(biāo)準(zhǔn)以公理的形式表述，在用這些標(biāo)準(zhǔn)判斷方法的優(yōu)劣時(shí)還需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的合理性加以權(quán)衡，甚至可以從根本上否定最初提出的基本概念的合理性。2023/2/54:042023/2/54:04第三節(jié)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題的決策準(zhǔn)則1、最大可能值準(zhǔn)則決策者決策時(shí)都需要根據(jù)某種準(zhǔn)則來選擇決策方案——決策準(zhǔn)則。準(zhǔn)則不同，決策結(jié)果就可能不同。下面介紹風(fēng)險(xiǎn)型決策中常用的幾種決策準(zhǔn)則。最大可能值準(zhǔn)則：（眾數(shù)原則）j123E(ai)=Σi(j)cij(j)0.20.50.3a17344.1a26.5413.6a36503.7注：后果為損失值此準(zhǔn)則在狀態(tài)出現(xiàn)的概率差距不大時(shí)的決策效果可能很差！2023/2/54:042、貝葉斯準(zhǔn)則：期望效用最大或期望損失最小。在實(shí)際決策中，一般先確定后果對(duì)決策人的實(shí)際價(jià)值即效用函數(shù)（若是損失則使用負(fù)效用）（稱為伯努利過程），然后再應(yīng)用貝葉斯準(zhǔn)則。j123E(ai)=Σi(j)cij(j)0.20.50.3a17344.1a26.5413.6a36503.7注：后果為損失值2023/2/54:043、E-V準(zhǔn)則：用期望與方差（度量風(fēng)險(xiǎn)）共同判決一個(gè)方案的優(yōu)劣。帕累托優(yōu)：若不存在方案al，使得方案ak的期望與風(fēng)險(xiǎn)均劣于al，稱ak為有效方案或帕累托優(yōu)。評(píng)價(jià)函數(shù)：fi(E,V)=E(ai)+i2。反映了決策人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，>0風(fēng)險(xiǎn)厭惡；=0風(fēng)險(xiǎn)中立（對(duì)應(yīng)于貝葉斯準(zhǔn)則）；<0風(fēng)險(xiǎn)追求。j123E(ai)i2=Σi(cij-E(ai))2

(j)(j)0.20.50.3a17344.12.29a26.5413.63.79a36503.75.9672023/2/54:04決策準(zhǔn)則—E-V準(zhǔn)則2023/2/54:044、優(yōu)勢(shì)原則在實(shí)際決策中，主觀概率的確定有時(shí)是很困難的，因此可利用優(yōu)勢(shì)原則進(jìn)行決策。給不出準(zhǔn)確的主觀概率；任何兩個(gè)行動(dòng)(方案)之間都不存在絕對(duì)優(yōu)；決策方法(以損失函數(shù)為例)：列出方案ak最優(yōu)的判別不等式組E(ak)≤E(ai),i=1,…,m求解不等式組的解即得到ak方案最優(yōu)的概率分布判斷這種概率分布是否可能2023/2/54:04當(dāng)(1)>0.6時(shí)，方案a1最優(yōu)；當(dāng)(1)<0.6時(shí)方案a3最優(yōu)；方案a2被稱為強(qiáng)劣的(stronglydominated)。決策準(zhǔn)則—優(yōu)勢(shì)原則j12a117a245a351注：后果為損失值2023/2/54:04第四節(jié)貝葉斯決策分析一、

貝葉斯定理?xiàng)l件概率：設(shè)A、B為隨機(jī)試驗(yàn)E中的兩個(gè)事件，在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率稱為條件概率，記為(B|A)，且(B|A)=(AB)/(A)。(A→B)若Aj(j=1,…,n)是樣本空間S中n個(gè)互不相容的事件，且(Aj)>0，(AkAl)=0(k≠l)；∪j(Aj)=S。稱Aj是樣本空間的一個(gè)劃分。則對(duì)任一事件B，有：2023/2/54:04貝葉斯定理：已知(B|Aj)、(Aj)(先驗(yàn)概率)(j=1,…,n)，求當(dāng)事件B發(fā)生(隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果或觀察值)時(shí)Ak發(fā)生的概率(后驗(yàn)概率)。貝葉斯定理在決策分析中的意義：在實(shí)際決策中，我們需要準(zhǔn)確估計(jì)的隨機(jī)變量是未來的自然狀態(tài)Θ，而通過隨機(jī)試驗(yàn)所觀察到的往往是與之相關(guān)的另一個(gè)隨機(jī)變量。例如，疾病診斷往往是通過觀察癥狀如發(fā)燒、咳嗽等來判斷其疾病如感冒、甲流。貝葉斯定理可以幫助我們判斷當(dāng)出現(xiàn)發(fā)燒時(shí)患甲流的概率。2023/2/54:04例：經(jīng)臨床觀察，患甲流的病人約70%發(fā)燒超過38度，患感冒的病人約40%發(fā)燒超過38度，而肺炎病人中有60%發(fā)燒超過38度。統(tǒng)計(jì)表明當(dāng)前甲流發(fā)病率約15‰，感冒7‰

，肺炎1‰

。現(xiàn)有一病人發(fā)燒超過38度，請(qǐng)?jiān)\斷該病人最可能患上哪種疾病。解：記發(fā)燒超過38度的事件為X；患甲流、感冒、肺炎分別記為A、B、C。先驗(yàn)概率分別為(A)=0.015,(B)=0.007,(C)=0.001。條件概率分別為(X|A)=0.7；(X|B)=0.4；(X|C)=0.6。則(X)=0.7×0.015+0.4×0.007+0.6×0.001=0.0139(A|X)=0.7×0.015/0.0139=75.54%(B|X)=0.4×0.007/0.0139=20.14%(C|X)=0.6×0.001/0.0139=4.32%2023/2/54:04二、貝葉斯分析貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)：當(dāng)決策人通過隨機(jī)試驗(yàn)得到觀察值x后，需要根據(jù)觀察值和某種決策準(zhǔn)則選擇行動(dòng)a，即a=(x)。對(duì)于自然狀態(tài)及其先驗(yàn)概率()，采取策略時(shí)損失函數(shù)l(,(x))對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果x和自然狀態(tài)的期望值稱為貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)，記為r()。r()=E(Ex(l(,(x))))=xl(,(x))p(x|)()貝葉斯規(guī)則(正規(guī)型)：若策略空間存在某個(gè)策略*，使得對(duì)于任意其他策略，均有r(*)≤r()，則稱*為貝葉斯規(guī)則或貝葉斯策略。即r(*)=min{r()}2023/2/54:04貝葉斯規(guī)則(擴(kuò)展型)：在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)行動(dòng)集、狀態(tài)集、觀察值集中的元素較多時(shí)，策略集很大，獲得r()的最小值很困難，因此可對(duì)r()的計(jì)算公式進(jìn)行變換：r()=xl(,(x))p(x|)()=x

l(,(x))p(x|)()若使

l(,(x))p(x|)()達(dá)到極小，r()必然達(dá)到最小又(x)>0，所以可使

l(,(x))p(x|)()/(x)達(dá)到極小后驗(yàn)概率(|x)=p(x|)()/(x)，因此r()的極小化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍?/p>

l(,(x))(|x)的極小化問題。2023/2/54:04貝葉斯決策分析—貝葉斯分析擴(kuò)展型貝葉斯分析過程原始信息：先驗(yàn)分布()追加樣本信息：觀察值x貝葉斯定理：后驗(yàn)概率(|x)求*：計(jì)算r()，找出使后驗(yàn)期望損失最小的2023/2/54:04信息的價(jià)值：隨機(jī)試驗(yàn)獲得觀察值x是需要成本的，而觀察值x也可以幫助我們減少?zèng)Q策損失。那么隨機(jī)試驗(yàn)觀察到的信息有多大價(jià)值呢？假設(shè)我們未進(jìn)行任何觀察，那么根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，最小決策損失期望為：minE(li(,ai))若試驗(yàn)獲得了觀察值x，則最小貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)即為最小決策損失：minr()觀察信息的期望價(jià)值為：

minE(li(,ai))-minr()j123E(ai)(j)0.20.50.3a17344.1a26.5413.6a36503.72023/2/54:04例:(油井鉆探問題)某公司擁有一塊可能有油的土地，公司或自己開采，或以以下兩種模式出租：①無條件出租，租金45萬元；②有條件出租，產(chǎn)量在20萬桶或以上時(shí)，每桶提成5元；產(chǎn)量不足20萬桶不提成。設(shè)鉆井費(fèi)用為75萬元，采油設(shè)備費(fèi)25萬元（有油時(shí)），油價(jià)為15元/桶。假設(shè)油產(chǎn)量的可能狀態(tài)及其先驗(yàn)概率分布如表。若決策人風(fēng)險(xiǎn)中立，決策人該選擇什么行動(dòng)？產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234(j)0.10.150.250.52023/2/54:04解：公司可采取的行動(dòng)有3種：a1-自己開采；a2-無條件出租；a3-有條件出租。決策表如下(單位:萬元)：根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，方案a1效用最大，故應(yīng)自己鉆井。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油期望效用j1234(j)0.10.150.250.5a1650200-25-7551.25a24545454545a325010000402023/2/54:04如果通過地質(zhì)勘探可以進(jìn)一步了解該地區(qū)的產(chǎn)油情況，那么我們又如何決策？假設(shè)勘探成本是12萬元，統(tǒng)計(jì)表明，產(chǎn)油量與地質(zhì)構(gòu)造（共四種類型,用xk表示）間的關(guān)系[p(xk|j)]如下表。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234p(x1|j)7/129/1611/243/16p(x2|j)1/33/161/611/48p(x3|j)1/121/81/413/48p(x4|j)01/81/85/162023/2/54:04解：計(jì)算后驗(yàn)概率，即已知地質(zhì)結(jié)構(gòu)情況下產(chǎn)油狀態(tài)的概率，并給出決策表。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234p(j|x1)0.1660.2400.