浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線(xiàn)：與直線(xiàn)：互相平行，則（）A.1 B.4 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閮芍本€(xiàn)平行，則有，解得，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)兩直線(xiàn)不重合，故選：C.2.已知等差數(shù)列中，，則（）A.24 B.36 C.48 D.54【答案】D【解析】由題意.故選：D.3.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，故選：A.4.過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意設(shè)直線(xiàn)方程為：，因?yàn)樵撝本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線(xiàn)方程為：，故選：C5.圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】由題可得圓C：，則其圓心，半徑為；圓，則其圓心為，半徑為.則兩圓圓心距為，故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.故選：D6.已知為直線(xiàn)的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說(shuō)法中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意或.故選：B.7.法國(guó)天文學(xué)家喬凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，并稱(chēng)為卡西尼卵形線(xiàn)（CassiniOval）小張同學(xué)受到啟發(fā)，提出類(lèi)似疑問(wèn)，若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所成向量的數(shù)量積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么呢？設(shè)定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)為，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.直線(xiàn) B.圓 C.橢圓 D.拋物線(xiàn)【答案】B【解析】設(shè)，以線(xiàn)段的中點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，即，所以的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.故選：B8.已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)分別交軸、軸于兩點(diǎn)，則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，由題意，化簡(jiǎn)得，解得，所以過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)方程為，在該直線(xiàn)方程中分別令，依次解得，所以，即點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上面運(yùn)動(dòng)，雙曲線(xiàn)的圖象如圖所示：若在右支上面，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，不妨設(shè)其左焦點(diǎn)為，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，其中點(diǎn)為線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)右支的焦點(diǎn)，若在左支上面，如圖所示：所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，其中點(diǎn)為線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)左支的焦點(diǎn)，綜上所述，點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，C正確；對(duì)D，，D正確.故選：ACD10.已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項(xiàng)的值可能是（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】BC【解析】由題意，得，所以.故選：BC.11.已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)在兩點(diǎn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的（）A.拋物線(xiàn)的方程為：B.C.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，三角形面積的最小值為1D.若，則最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以由拋物線(xiàn)定義可知，故B正確；對(duì)于C，由題意拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)斜率存在，如圖所示：不妨取直線(xiàn)的方程為，且，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，得，所以，所以，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以三角形面積為，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形面積的最小值為2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然直線(xiàn)斜率存在，不妨取直線(xiàn)的方程為，且，如圖所示：聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，得，所以，所以，，因?yàn)?，所以，解得或，即或，而，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，此時(shí)或，且此時(shí)滿(mǎn)足，即，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.12.“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖，是一個(gè)八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠(chǎng)商制作一個(gè)這種形狀棱長(zhǎng)為，重量為的實(shí)心玩具，則下列說(shuō)法正確的是（）A.將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長(zhǎng)最小為.B.將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為.C.將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為.D.將玩具放至水中，其會(huì)飄浮在水面上.【答案】AD【解析】將該幾何體放置在如圖正方體中，對(duì)于A，將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長(zhǎng)最小為圖中正方體的棱長(zhǎng)，由題意，該幾何的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，正確；對(duì)于B，將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為該幾何體外接球的半徑，根據(jù)正方體和多面體的對(duì)稱(chēng)性知，該幾何體外接球直徑為正方體面對(duì)角線(xiàn)，即，解得，所以包裝盒的半徑最小為，錯(cuò)誤；對(duì)于C，將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為兩平行平面與平面的距離，證明求解過(guò)程如下：如圖，不妨記正方體為，，，故四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，設(shè)對(duì)角線(xiàn)分別交平面和平面于點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，故即為平面與平面的距離，則，由正方體棱長(zhǎng)為得，由題意得，為等邊三角形，故，根據(jù)，得，解得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，所以，則平面與平面的距離為，即該玩具的高度為，錯(cuò)誤；對(duì)于D，該幾何體的體積為.因?yàn)橥婢叩拿芏葹?，小于水的密度，所以將玩具放至水中，其?huì)飄浮在水面上，正確.故選：AD非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為_(kāi)_______．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，則，故答案為：4.14.任取一個(gè)正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1,這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱(chēng)“角谷猜想”等).如取正整數(shù),根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)8步“雹程），數(shù)列滿(mǎn)足冰雹猜想，其遞推關(guān)系為：（m為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為_(kāi)_______．【答案】1和8【解析】因?yàn)椋?，所以或（舍去）；或（舍去）；或，故答案為?和815.如圖，在四面體中，分別是上的點(diǎn)，且是和的交點(diǎn)，以為基底表示，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所?故答案為：.16.已知橢圓的離心率為為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在橢圓上，則斜率的取值構(gòu)成的集合為_(kāi)_______．【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，從而點(diǎn).點(diǎn)在橢圓上，則，，即則,則，，或.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在一次招聘會(huì)上，兩家公司開(kāi)出的工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初想從這兩家公司中選擇一家去工作．（1）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作年，第年的月工資是分別為多少？（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報(bào)酬較多？（）．解：（1）選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加元,則他第年的月工資是：（元）；選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增．則他第年的月工資（元）．（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司、公司得到的報(bào)酬分別為：公司A：（元）．公司B：（元），因?yàn)?，故從公司得到的?bào)酬較多.18.如圖，已知圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)是下底面圓周上異于的動(dòng)點(diǎn)，圓柱的兩條母線(xiàn)．（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值．解：（1）為圓柱的母線(xiàn)，平面，又平面．①是下底面圓的直徑，．②①②及平面,平面，平面，又平面平面平面．（2）在中，設(shè)，則，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“=”號(hào)．故的最大值為18．19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程．解：（1）設(shè)圓的半徑為，圓與直線(xiàn)相切，，所以圓的方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則，則,又由，得，解得或所以直線(xiàn)的方程為或．20.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)平面，平面是過(guò)直線(xiàn)的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若平面交于點(diǎn)，求的值；（3）若二面角的大小為，求的長(zhǎng)．解：（1）四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.（2）由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，則，即三點(diǎn)共線(xiàn)，由平面，平面，則，如圖，在中，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，于是，設(shè)，由，得，，，從而，所以，即．（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由平面，平面，則，而平面，則平面，而平面，于是，則有為二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，則，由（2）得，所以.21.已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：解：（1）當(dāng)時(shí)，．①，②，①-②得：，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以；（2），，，．（3），③，④③-④得：，，，．故.22.已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為的面積為．已知，設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與的另一交點(diǎn)分別為．