浙江省臺州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，故，所以.故選：D2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，在中，即，所以的定義域?yàn)?故選：A.3.下列函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】反比例函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在定義域上不單調(diào)，A選項(xiàng)不滿足條件；指數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)不滿足條件；對數(shù)函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)滿足條件；正切函數(shù)在定義域上不單調(diào)，D選項(xiàng)不滿足條件.故選：C.4.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若，，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ珺選項(xiàng)正確；，得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ珻選項(xiàng)錯(cuò)誤；，得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.5.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A選項(xiàng)中，函數(shù)與，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；B選項(xiàng)中，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù)；C選項(xiàng)中，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)镽，定義域不同，不是同一函數(shù)；D選項(xiàng)中，函數(shù)與函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù).故選：A.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，，則.故選：A.7.已知，若是10位數(shù)，則的最小值是（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】B【解析】若是10位數(shù)，則取最小值時(shí)，應(yīng)滿足，則有，，由，則的最小值是30.故選：B.8.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)，令，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：圖象關(guān)于對稱，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，在處達(dá)到最大值，由圖象得：，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可得：圖象關(guān)于對稱，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，在處達(dá)到最大值，則，且最大值為，結(jié)合圖象可知，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由，得，，AB正確；顯然，即，C正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)的最大值為1【答案】BC【解析】結(jié)合題意：，即，對于選項(xiàng)A:由可得，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B:將代入得：，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C:對于，令，則，因?yàn)椋?，而在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D:對于，當(dāng)，即，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC11.定義域均為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，則（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有【答案】ACD【解析】因?yàn)?，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)和為偶函數(shù)，所以，所以，聯(lián)立，可得，，對于選項(xiàng)A:由，易判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?，使得，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B:由，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故（不能同時(shí)取等），故不存在，使得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C:由，，可得，而，，所以，故，都有，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)和為偶函數(shù)，所以，，故，都有，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.設(shè)是正整數(shù)，集合對于集合中任意元素和，記，.則（）A.當(dāng)時(shí)，若，則B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，恒成立D.當(dāng)時(shí)，若集合，任取中2個(gè)不同的元素，，則集合中元素至多7個(gè)【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對于B，，而，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值，比如時(shí)，，故B正確；對于C，時(shí)，，，，不符合，故C錯(cuò)誤；對于D，不妨設(shè)中一個(gè)元素，，由于，則中相同位置上的數(shù)字最多有兩對互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同，若中相同位置中有一對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同，不妨設(shè)此時(shí)，那么與相同位置中有一對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同的元素有此時(shí)，其中，，而，與中相同位置上的數(shù)字有兩對是不相同的，此時(shí)，滿足，若與相同位置中有2對的數(shù)字互為相反數(shù)，那么就與有3對相同位置上的元素互為相反數(shù)，不符合，因此此時(shí)中滿足條件的元素有7個(gè)，若中相同位置中有兩對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同，不妨設(shè)，此時(shí)與元素重復(fù)，綜上可知中元素最多7個(gè)，D正確.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.角是第_____________象限角.【答案】二【解析】由象限角的定義可知，的角是第二象限角．故答案為：二.14.已知函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是_________.【答案】【解析】在函數(shù)（，且）中，令，則，所以該定點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.15.已知，的值為_________.【答案】2【解析】因?yàn)椋?故答案為：2.16.若函數(shù)在上的最小值為1，則正實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【解析】由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為1，當(dāng)時(shí)，在上，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，在上在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，在上，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若，則，，所以.（2）若是的充分不必要條件，則，得，故的取值范圍是.19.已知函數(shù)的最大值為2.（1）求常數(shù)的值；（2）先將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的取值范圍.解：（1），因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，故.（2），函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得，由，得，所以，，故在區(qū)間上的取值范圍是.20.從①；②函數(shù)為奇函數(shù)；③的值域是，這三個(gè)條件中選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面問題中，并解答下面的問題.問題：已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）若填①：由，可得，解得，所以.若填②：由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故，可得，解得，所以，即，經(jīng)驗(yàn)證：，符合題意，所以.若填③：由，可得，則，即，又由的值域是，可得，故，所以.（2），且，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，滿足，所以為奇函數(shù)，由不等式，可得，則，所以，令，記，所以，所以，所以的最小值為.21.如圖是一種升降裝置結(jié)構(gòu)圖，支柱垂直水平地面，半徑為1圓形軌道固定在支柱上，軌道最低點(diǎn)，，.液壓桿、，牽引桿、，水平橫桿均可根據(jù)長度自由伸縮，且牽引桿、分別與液壓桿、垂直.當(dāng)液壓桿、同步伸縮時(shí)，鉸點(diǎn)在圓形軌道上滑動，鉸點(diǎn)在支柱上滑動，水平橫桿作升降運(yùn)動（鉸點(diǎn)指機(jī)械設(shè)備中鉸鏈或者裝置臂的連接位置，通常用一根銷軸將相鄰零件連接起來，使零件之間可圍繞鉸點(diǎn)轉(zhuǎn)動）.（1）設(shè)劣弧的長為，求水平橫桿的長和離水平地面的高度（用表示）；（2）在升降過程中，求鉸點(diǎn)距離的最大值.解：（1）記軌道圓心為，則，設(shè)劣弧的長為，則，得，.（2）由已知，，，，則，又，所以，則，令，有，則，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號，所以鉸點(diǎn)距離的最大值為.22.已知函數(shù).（1）用單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增；（2