浙江省浙東北聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙東北聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的方程為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因為，所以.故選：B.2.雙曲線的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在雙曲線中，，，，所以焦距為．故選：B．3.已知點為圓：外一動點，過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，且，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，因為，與圓相切，所以，，，，又，所以四邊形為正方形，所以，則，即動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以動點的軌跡方程為．故選：A．4.古希臘的幾何學(xué)家用一個不過頂點的平面去截一個圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.如圖所示的圓錐中，為底面圓的直徑，為中點，某同學(xué)用平行于母線且過點的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線.若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】因為M是PB的中點，O是AB的中點，則，，截圓錐的平面平行于母線PA且過母線PB的中點M，故O也在截面上，根據(jù)對稱性可知拋物線的對稱軸為，焦點在上，建立以M為原點，為x軸，過M點的垂線為y軸，設(shè)拋物線與底面交點為E，則，設(shè)拋物線為，則，解得，即該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為p，即為.故選：B.5.如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A6.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,根據(jù)上述觀點,當(dāng)取得最小值時，實數(shù)的值為（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】，表示平面上點與點，的距離和，連接，與軸交于，此時直線方程為，令，則的最小值為，此時故選：C．7.已知曲線，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線與直線無公共點C.曲線上的點到直線的最大距離是D.曲線與圓有三個公共點【答案】C【解析】A選項，點滿足直線對稱的對稱點是，將點代入得，整理得，所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項正確.B選項，聯(lián)立，將代入，得，所以曲線與直線無公共點，B選項正確.下面分析曲線的圖象：曲線，當(dāng)時，曲線方程可化為；當(dāng)時，曲線方程可化為，不符合.當(dāng)時，曲線方程可化為；當(dāng)時，曲線方程可化為.由此畫出曲線的圖象如下圖所示，對于C選項，由于可知，曲線上的點到直線的最大距離是，即圓弧（）的半徑，所以C選項錯誤.對于D選項，圓的圓心為，半徑是，與圓?。ǎ┑膱A心距為，所以圓與圓相內(nèi)切，切點為.結(jié)合圖象可知曲線與圓有三個公共點，D選項正確.故選：C8.已知是橢圓的左?右焦點，直線與橢圓相切于點，過左焦點作直線的垂線，垂足為，則點與原點之間的距離為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】直線的斜率顯然存在，所以設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，消去，得，因為直線與橢圓相切于點，所以，整理得，解得，所以切線方程為，由橢圓，可得，所以，可得左焦點，所以過左焦點與直線的垂直的直線方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以，所以點與原點之間的距離為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，所以，A正確；B：，所以，B錯誤；C：，，所以，C正確；D：，不存在實數(shù)，使得，故與不平行，D錯誤．故選：AC．10.已知直線，直線，則下列命題正確的有（）A.直線恒過點 B.直線的斜率一定存在C.若，則或 D.存在實數(shù)使得【答案】AD【解析】將點代入直線中可得等號成立，所以直線恒過點，故A正確；當(dāng)時，直線的斜率不存在，故B錯誤；當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時直線即與直線重合，故，所以，故C錯誤；當(dāng)時，，，此時，故D正確．故選：AD．11.已知拋物線，點，過點的直線交拋物線與兩點，設(shè)，，下列說法正確的有（）A. B.的最小值為C.以為直徑的圓過原點 D.【答案】ABD【解析】對于A,設(shè)直線的方程為，則由，消去整理，得，因為直線交拋物線與兩點，設(shè)，，所以，，故A正確.對于B,，m=0時等號成立，故B正確.對于C,如果以為直徑的圓過原點，則.由于，，結(jié)合A選項，，故不垂直.故C不正確.對于D.,即，故D正確.故選：ABD.非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，因為與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，所以兩圓相交，則，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______．【答案】【解析】向量在向量上的投影向量等于，故答案為：.14.已知雙曲線，斜率為的直線與曲線的兩條漸近線分別交于兩點，點的坐標(biāo)為，直線分別與漸近線交于，若直線的斜率也為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的漸近線為，且，直線，直線，聯(lián)立方程，解得，不妨令，同理可得：，，，且，則，因為三點共線，則，則，整理可得，同理由三點共線可得，即，整理可得，因，即，則，解得，即，所以雙曲線的離心率.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知點，圓；（1）若直線過點且在坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點，且，求直線的方程.解：（1）①當(dāng)?shù)慕鼐嗑鶠?，即直線過原點時，設(shè)直線的方程為：代入點，解得，直線的方程為；②當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線的方程為：，點入點，解得，直線的方程為；綜上所述，直線的方程為或.（2）且圓的半徑為2，圓心到直線的距離為1.①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為：，符合題意；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為：即，又圓心到直線距離為解得，直線的方程為：；綜上所述，直線的方程為或.16.如圖，在棱長都為2的平行六面體中，，點在底面上的投影恰為與的交點；（1）求點到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題意可知，底面為菱形，可得，依題意兩兩垂直，故以點為坐標(biāo)原點，以為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知；設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則即，據(jù)此可得平面的一個法向量為：，又易知,點到平面的距離.（2）設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為，又,則即，據(jù)此可得平面的一個法向量為，又,因此，故直線與平面所成角的正弦值為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，點在線段上，且.（1）求二面角的余弦值；（2）在線段上是否存在一點，使得四點共面.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為平面，以點為坐標(biāo)原點，平面內(nèi)與垂直的直線為軸，方向為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，易知：，由可得點的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面的法向量為：m=x,y,z則，據(jù)此可得平面的一個法向量為：，很明顯平面的一個法向量為，，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.（2）已知，設(shè)由，可得，則，由（1）得平面的一個法向量為：，令，即，解得，故線段上存在一點，當(dāng)時，可使四點共面.18.已知雙曲線C:x2a2-y（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)點為的左頂點，若過點的直線與的右支交于兩點，且直線與軸分別交于兩點，記四邊形的面積為的面積為，求的取值范圍.解：（1）由題意可知，的一條漸近線方程為，右焦點為，右焦點到漸近線的距離，解得，由離心率，又，解得，雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，恒成立，，直線與雙曲線的右支交于兩點，，解得.，.19.在平面直角坐標(biāo)系中，有點.若以軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個半平面（如圖所示），則稱此時點在空間中的距離為“點關(guān)于軸的折疊空間距離”，記為.（1）若點在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，求的值.（2）若點在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，試用文字描述滿足的點在平面直角坐標(biāo)系中的軌跡是什么？并求該軌跡與軸圍成的圖形的面積.（3）若在平面直角坐標(biāo)系中，點是橢圓上一點，過點的兩條直線，分別交橢圓于兩點，且其斜率滿足，求的最大值.解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點在空間中的坐標(biāo)分別為，；；（2）由題意可知，點在空間中的坐標(biāo)分別為，對點分類討論，①當(dāng)點在軸的上半平面，即時，點在空間中的坐標(biāo)為，，化簡得：，因此在平面直角坐標(biāo)中，點在軸上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的半圓.②當(dāng)點在軸的下半平面，即時，點在空間中的坐標(biāo)為