2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題01 集合的概念4題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

專題01集合4題型分類1．集合與元素（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性．（2）元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或?表示．（3）集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．（4）常見數(shù)集的記法．集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關(guān)系（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A．（2）真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．（3）相等：若A?B，且B?A，則A＝B．（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補(bǔ)集{x|x∈U，且x?A}?UA（一）集合的含義與表示1．元素與集合關(guān)系的判斷（1）元素與集合的關(guān)系：①一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．②元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性2．解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)．（1）確定構(gòu)成集合的元素．（2）確定元素的限制條件．（3）根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．題型1：集合的含義與表示1-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）用列舉法寫出集合＝.【答案】【分析】根據(jù)列舉法可得結(jié)果.【詳解】由且，得或或或或或或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.故答案為：1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：（1）πQ；（2）Z；（3）3.5N；（4）{0}；（5）{0，1}R．【答案】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合間的關(guān)系，逐個(gè)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合間的關(guān)系，可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.故答案為：，，，，.1-3．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C（二）集合間的基本關(guān)系1．集合的相等（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．2．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用（1）如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．（2）如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．3．空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．4．已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．題型2：集合間的基本關(guān)系2-1．（2024·江蘇·一模）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以集合是由所有奇?shù)的一半組成，而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.故選：B2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，，若，則.故答案為：2-3．（2024高一下·重慶萬州·開學(xué)考試）已知集合，集合．若，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互異性，得到正確答案.【詳解】集合，集合．①若，解得：或.當(dāng)時(shí)，與元素的互異性相矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，符合題意.②若，解得：.舍去.故.故答案為：-1.2-4．（2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】0，±1【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，集合，滿足；當(dāng)時(shí)，，又，所以若，則有，綜上實(shí)數(shù)的值為0，±1．考點(diǎn)：利用子集關(guān)系求參數(shù)．2-5．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)，分和，兩種情況討論求解.【詳解】因?yàn)榧?，，且，?dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：2-6．（重慶市育才中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）滿足的集合A的個(gè)數(shù)是.【答案】8【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，從而可求出集合A【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以滿足集合A的個(gè)數(shù)為8，故答案為：8（三）集合的運(yùn)算1．交集及其運(yùn)算（1）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．（2）運(yùn)算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．2．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算（1）集合交換律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．（2）集合結(jié)合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．（6）集合求補(bǔ)律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝?．3．利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)．（1）對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示．（2）如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．題型3：集合的運(yùn)算3-1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）設(shè)全集，集合，，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合，由補(bǔ)集和并集的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)槿?，，所以，又因?yàn)?，所以故選：D．3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知全集，，則；【答案】【分析】化簡(jiǎn)集合和，再根據(jù)補(bǔ)集的概念可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則，所以.故答案為：.3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，集合，，若只有一個(gè)元素，則滿足的關(guān)系為.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為直線與圓相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)元素，所以直線與圓相切，所以，即.故答案為：.3-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】化簡(jiǎn)集合，將化為，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】由，，得，因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：3-5．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】由題可得或，然后分和討論，結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，即，適合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.3-6．（2024高一上·吉林白城·階段練習(xí)）已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】首先求得集合，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)，即時(shí)，，滿足，當(dāng)，即時(shí)，由得，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：（四）集合新定義問題1.（1）解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義．（2）結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．2．新定義問題．（1）看清集合中的元素．（2）對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)使問題變得簡(jiǎn)單明了．（3）注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．題型4：集合新定義問題4-1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個(gè)不同的“AB互襯對(duì)”，則滿足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．4 C．27 D．8【答案】C【分析】直接列舉可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為.故滿足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為27.故選：C4-2．（2024高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】計(jì)算，得到元素個(gè)數(shù).【詳解】，則，則中元素的個(gè)數(shù)為故選：C4-3．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)A、B：不妨設(shè)，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則集合S中至少有7個(gè)元素，排除選項(xiàng)A，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，所以，排除選項(xiàng)B；對(duì)C：對(duì)，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)C；對(duì)D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：不妨設(shè)，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則顯然，則集合S中至少有7個(gè)元素，所以不可能，故排除A選項(xiàng)；其次，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，則，故排除B項(xiàng)；對(duì)于集合T，取，則，此時(shí)，，故D項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)而言，，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.4-4．（2024·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合.【詳解】由韋恩圖可知，，因?yàn)?，，則，，因此，.故選：D.4-5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合新定義可知，求得，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】結(jié)合新定義可知，又，所以．故選：A一、單選題1．（2024·廣東江門·一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列式求得的值，即可得出答案.【詳解】根據(jù)條件分別令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故選：C．2．（2024·陜西西安·一模）定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【分析】根據(jù)集合新定義求解即可.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?，所?故選：C.3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A4．（2024·北京東城·一模）已知集合，且，則a可以為（

）A．－2 B．－1 C． D．【答案】B【分析】求出集合，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D錯(cuò)誤；，故B正確.故選：B5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.【詳解】由題意，且，解得，故選：B6．（2024高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無解【答案】C【分析】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，分，兩種情況討論，即可得解.【詳解】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，有一解，則，解得：，綜上可得：或，故選：C.7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由橢圓的性質(zhì)得，再列舉出集合的元素即得解.【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得，又,所以集合共有11個(gè)元素.故選：C8．（2024高二下·湖南·階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據(jù)題意推出，由此列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意集合，，若，則，此時(shí)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故,故；若，則，此時(shí)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故,故；若，則，此時(shí)，滿足,綜合以上可得，故選：C9．（2024·廣東茂名·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合,再根據(jù)列不等式直接求解.【詳解】集合，.要使，只需，解得：.故選：A10．（2024·廣東廣州·二模）已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義求出集合，即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故集合的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.11．（2024·河北張家口·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得出，根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可得出答案.【詳解】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.12．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的Venn圖逐一判斷即可.【詳解】，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，故選：B13．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)集合滿足的條件①②可知要使得集合中元素盡可能多，則相鄰的兩個(gè)自然數(shù)最少差為，故先考慮集合中元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，判斷集合元素的個(gè)數(shù)的最多情況，再對(duì)部分元素進(jìn)行調(diào)整即可得答案.【詳解】對(duì)于條件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個(gè)元素，又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個(gè)數(shù)最多不能超過10個(gè)，故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個(gè)元素，例如.故選：B.14．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A．55 B．76 C．110 D．113【答案】C【分析】根據(jù)集合的特征列出集合與的前若干項(xiàng)，找出集合中元素的特征，進(jìn)而即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．相?dāng)于集合中除去形式的數(shù)，其前45項(xiàng)包含了15個(gè)這樣的數(shù)，所以．則，故選：C.15．（2024·全國）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.16．（2024·全國）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.17．（2024·全國）已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.18．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，若集合，則（

）A．{-2，0，2，3} B．{-2，2，3} C．{0，2，3} D．{-2，-1}【答案】C【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由得，所以，故選：C．19．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,即可由集合的交運(yùn)算求解.【詳解】由得，所以，故選：C20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，且，則（

）A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合A、B，根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù)即可.【詳解】由，可得或，即或，而，∵，∴，可得.故選：C21．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.【詳解】由知：，當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；當(dāng)，即或，若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；若，則，，滿足要求.綜上，.故選：A22．（2024·河北張家口·一模）已知集合，，，則（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用并集和補(bǔ)集的運(yùn)算求解.【詳解】解：由，得，故，所以，，．故選：B．23．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知P，Q為R的兩個(gè)非空真子集，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)條件畫出圖，根據(jù)圖形，判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，對(duì)于選項(xiàng)A：由題意知P是Q的真子集，故，，故不正確，對(duì)于選項(xiàng)B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正確.對(duì)于選項(xiàng)C：由是的真子集知，，，故不正確，對(duì)于選項(xiàng)D：Q是的真子集，故，，故不正確，故選：B24．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根號(hào)下大于等于0求出集合，再利用交集和補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳解】由題意得，解得，故，因?yàn)?，?故選：B.25．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以或，又，所以，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.26．（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【分析】利用給定條件，結(jié)合元素的互異性直接列式計(jì)算作答.【詳解】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為0.故選：A27．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意化簡(jiǎn)集合，根據(jù)中有且僅有三個(gè)整數(shù)列不等式求解，可得答案.【詳解】由題意可得，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則只能是，故，解得，故選：B．28．（2024·湖南懷化·二模）已知集合，則的真子集共有（

）A．3個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】先利用交集運(yùn)算求解交集，再根據(jù)交集的元素個(gè)數(shù)來求解答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的真子集共有個(gè).故選：C.29．（2024·北京）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A30．（2024·全國）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.31．（2024·全國）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．故選：A．32．（2024·全國）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．33．（2024·天津）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；【詳解】由，而，所以.故選：A34．（2024·全國）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：.故選：B.35．（2024高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由集合M中元素的特征，對(duì)元素進(jìn)行判斷.【詳解】且，則；且，則，所以.故選：A36．（2024·天津）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再根據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故，故選：A.37．（2024·全國）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D38．（2024·全國）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:39．（2024·全國）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因?yàn)?，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．40．（2024·重慶·一模）已知集合，則B中元素個(gè)數(shù)為A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的元素特征，即可求解【詳解】，，中元素個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的化簡(jiǎn)，注意集合元素的滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.41．（2014年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試一理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合A＝，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【詳解】試題分析：，的取值有、、、，又，值分別為、、、，故集合中的元素個(gè)數(shù)為，故選C.考點(diǎn)：數(shù)的整除性42．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知集合，集合中至少有3個(gè)元素，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)橹械缴儆袀€(gè)元素，即集合中一定有三個(gè)元素，所以，故選C.考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).43．（2024高一下·廣西·階段練習(xí)）若集合中只有一個(gè)元素，則A． B． C．0 D．0或【答案】D【分析】分與兩種情況討論元素的個(gè)數(shù)可得答案．【詳解】解：集合中只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，可得，集合只有一個(gè)元素為：．當(dāng)時(shí)：方程只有一個(gè)解：即，可得：．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合描述法的意義，涉及集合元素的確定和個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．44．（2007·山西）設(shè)a,b∈R，集合，則=(

)A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計(jì)算作答.【詳解】因，則，從而得，有，于是得，所以.故選：C45．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將兩個(gè)集合化簡(jiǎn)后比較分子的關(guān)系可得兩個(gè)集合的關(guān)系.【詳解】，表示整數(shù)，表示奇數(shù)，故，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確，而中的元素有分?jǐn)?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C．46．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，則A∩B子集的個(gè)數(shù)為()A．10 B．16 C．8 D．7【答案】C【詳解】因?yàn)锳＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的個(gè)數(shù)為23＝8，故選C.點(diǎn)睛：若集合有個(gè)元素，則的子集個(gè)數(shù)為，其中包括空集和集合本身．47．（2024高三·河南南陽·階段練習(xí)）已知全集，則如圖所示的陰影部分所表示的集合為

A． B．或 C． D．【答案】D【詳解】,所以陰影部分所表示的集合為,選D.48．（2024高三·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，，若，則A．3 B．2 C．3或2 D．3或1【答案】A【詳解】由題，，，且，當(dāng)，符合題意；當(dāng)，此時(shí)，不符合題意.故故選A.49．（2024·吉林·三模）設(shè)全集集合，集合若，則應(yīng)該滿足的條件是A． B．≥ C． D．≤【答案】B【詳解】由得：，由，得≥，故選B.50．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知均為的子集，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用集合的包含關(guān)系或者畫出Venn圖，結(jié)合Venn圖即可確定集合的運(yùn)算結(jié)果.【詳解】解法一：,，據(jù)此可得.故選：B.解法二：如圖所示，設(shè)矩形ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合，矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足，結(jié)合圖形可得：.故選：B.51．（2024高一上·河北石家莊·期中）已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（

）A．M B．N C．I D．【答案】A【分析】由交集為空集可確定兩集合的包含關(guān)系，進(jìn)而得到并集結(jié)果.【詳解】

故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集和并集運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠通過交集運(yùn)算結(jié)果確定集合的包含關(guān)系.二、多選題52．（2024·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可得，故選項(xiàng)正確；因?yàn)榍遥?，則，故選項(xiàng)正確；由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：.53．（河南省安陽市第一中學(xué)2023屆高三第四次全真模擬數(shù)學(xué)試題）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．是一個(gè)戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素【答案】BD【分析】根據(jù)戴德金分割的定義,舉例或舉反例一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；對(duì)于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，則，而內(nèi)也有有理數(shù)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，故選：BD54．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若集合，且，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)子集關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，，，，故選：ABD55．（2024·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“”滿足：①，；②，對(duì)，：③，使，，有；④，，則稱構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的構(gòu)成一個(gè)群的是（

）A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運(yùn)算B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)新定義，判斷各選項(xiàng)中是否滿足題中4個(gè)條件即可得．【詳解】A．時(shí)，不滿足③，若，則由得，若，則在中設(shè)，由得，所以不能構(gòu)成群；B．G為正有理數(shù)集，①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然，對(duì)任意，，③對(duì)任意正有理數(shù)，也是正有理數(shù)，且，即，④有理數(shù)的乘數(shù)滿足結(jié)合律，B中可構(gòu)造群；C．(i為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證中任意兩數(shù)（可相等）的乘積仍然屬于；②，滿足任意，有；③，滿足任意，存在，有，實(shí)質(zhì)上有；④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；D．，①任意兩個(gè)整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于，②，滿足對(duì)任意，，③，，，除以7余數(shù)為0；④加法滿足交換律，又除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)加除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此，，D中可構(gòu)造群；故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題．解題方法是根據(jù)新定義的4個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論．三、填空題56．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.【答案】3【分析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即得.【詳解】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有(人)，因此，至少看了一支短視頻的有(人)，所以沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.故答案為：357．（2024·湖北·二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為．【答案】7【分析】令，列舉出所有三元子集，結(jié)合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，所以的三元子集，如下共有35個(gè)：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿足要求的有：、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個(gè)元素.故答案為：758．（2024·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中；；.【答案】【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：；；.59．（2024高三·全國·專題練習(xí)）集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】.【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合元素的互異性，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.60．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為.【答案】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及集合的互異性可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，所以或，若，則或；若，即，則或.由與互異，得，故或，又，即，所以，解得且，綜上所述，的取值集合為.故答案為：61．（2024高三·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空，使之成為正確的集合關(guān)系式：①A；

②A∩A；

③A?＝；

④（A∩B）（A?B）；⑤{x|x＝2k－1，k∈Z}{x|x＝2k＋1，k∈Z}；⑥{x|x＝2k，k∈Z}{x|x＝4k，k∈Z}；⑦{x|x＝a2＋1，a∈R}{x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；⑧{x|x＝a2＋1，a∈N}{x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}【答案】【分析】根據(jù)集合表示方法，集合間的包含關(guān)系，以及集合的交集、并集的運(yùn)算，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】①由空集為任何集合的子集，可得；②因?yàn)?，所以；③根?jù)空間的概念和并集的運(yùn)算，可得；④根據(jù)集合的交集和并集的概念，可得；⑤由和表示所有的奇數(shù)，所以；⑥由表示所有的偶數(shù)，表示的倍數(shù)的偶數(shù)，所以；⑦由，所以，又由，所以，所以；⑧由，又由，所以.故答案為：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）集合的子集的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】直接根據(jù)公式可得結(jié)果.【詳解】集合的子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.63．（2024高一上·四川成都·階段練習(xí)）同時(shí)滿足（1）；（2）若，則的非空集合M有個(gè)．【答案】7【分析】由集合的元素所滿足的兩個(gè)性質(zhì)，找出集合的元素，從而確定集合的個(gè)數(shù)，得到答案.【詳解】因?yàn)棰?；②若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；同時(shí)，集合中若有，則成對(duì)出現(xiàn)，有時(shí)，也成對(duì)出現(xiàn)，所以滿足題意點(diǎn)的集合有：，共有7個(gè)集合滿足條件.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系的判定與應(yīng)用，其中熟記元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.64．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，則；【答案】【分析】解方程組求出交集中的元素，再根據(jù)列舉法可得答案.【詳解】由，得，所以.故答案為：.65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為【答案】12【詳解】設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，則只喜愛籃球的有(15-x)人，只喜愛乒乓球的有(10-x)人,(15-x)+(10-x)+x+8=30解得x=3,所以15-x=12故喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為12人.66．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知全，A?(CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝.【答案】【分析】由全集，根據(jù)A?(CUB)，應(yīng)用韋恩圖即可求集合B.【詳解】由題意，，

∵A?(CUB)，，∴.故答案為：.67．（2024高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題目條件可得，對(duì)進(jìn)行分類討論求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，當(dāng)時(shí)滿足題意，即，所以；當(dāng)時(shí)，或，解得：或；綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.68．（河南省淮陽縣陳州高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一集合的子集時(shí)稱這兩個(gè)集合之間構(gòu)成“全食”，當(dāng)兩個(gè)集合有