《計(jì)算機(jī)控制技術(shù)》計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的常規(guī)控制技術(shù)

第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的常規(guī)控制技術(shù)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要是設(shè)計(jì)控制器，使得下圖示的閉環(huán)控制系統(tǒng)既要滿足系統(tǒng)的期望指標(biāo)，又要滿足實(shí)時(shí)控制的要求?？刂撇呗允菦Q定一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)工作性能的關(guān)鍵，設(shè)計(jì)一個(gè)可靠、實(shí)用、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單并易于實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的主要設(shè)計(jì)任務(wù)之一。數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)方法有經(jīng)典法和狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法，其中經(jīng)典法又分為間接設(shè)計(jì)法（或稱連續(xù)化設(shè)計(jì)法）和直接設(shè)計(jì)法（或稱離散化設(shè)計(jì)法）。本章主要討論直接設(shè)計(jì)法。圖4-1典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)4.1PID算法的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

按偏差的比例、積分和微分進(jìn)行控制的調(diào)節(jié)器簡(jiǎn)稱為PID調(diào)節(jié)器，是在連續(xù)系統(tǒng)中技術(shù)最為成熟，應(yīng)用最為廣泛的一種調(diào)節(jié)器。

PID調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)易于調(diào)整，當(dāng)被控對(duì)象精確數(shù)學(xué)模型難以建立、系統(tǒng)的參數(shù)又經(jīng)常發(fā)生變化時(shí)，應(yīng)用PID控制技術(shù)，在線整定最為方便。在計(jì)算機(jī)進(jìn)入控制領(lǐng)域后，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)字PID算法代替了模擬PID調(diào)節(jié)器。1．用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)模擬調(diào)節(jié)器，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字模擬，這種方法稱為模擬化設(shè)計(jì)方法。2．應(yīng)用采樣控制理論直接設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，這是一種直接設(shè)計(jì)方法（或稱離散化設(shè)計(jì)）

數(shù)字PID控制器的設(shè)計(jì)是按照1進(jìn)行的。連續(xù)生產(chǎn)過(guò)程中,設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的兩種方法:

圖4-2模擬PID控制4.1.1PID控制規(guī)律及其調(diào)節(jié)作用

PID控制器是一種線性控制器；根據(jù)對(duì)象的特性和控制要求，可靈活地改變其結(jié)構(gòu)。如比例（P）調(diào)節(jié)、比例積分（PI）和比例微分（PD）調(diào)節(jié)等

其中：為比例系數(shù)；

為控制量的基準(zhǔn)。

比例調(diào)節(jié)的特點(diǎn)：比例調(diào)節(jié)器對(duì)于偏差是即時(shí)反應(yīng)，偏差一旦產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生控制作用使被控量朝著減小偏差的方向變化，控制作用的強(qiáng)弱取決于比例系數(shù)。只有當(dāng)偏差發(fā)生變化時(shí)，控制量才變化。

1、比例調(diào)節(jié)器缺點(diǎn)：不能消除靜差；過(guò)大Kp，會(huì)使動(dòng)態(tài)質(zhì)量變壞，引起被控量振蕩甚至導(dǎo)致閉環(huán)不穩(wěn)定。

圖4-3P調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)2、比例積分調(diào)節(jié)器積分調(diào)節(jié)的特點(diǎn)：調(diào)節(jié)器的輸出與偏差存在的時(shí)間有關(guān)。只要偏差不為零，輸出就會(huì)隨時(shí)間不斷增加，并減小偏差，直至消除偏差，控制作用不再變化，系統(tǒng)才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。缺點(diǎn)：降低響應(yīng)速度。

圖3PI調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)00upKpK0tiTut110t0et3、比例微分調(diào)節(jié)器微分調(diào)節(jié)的特點(diǎn)：在偏差出現(xiàn)或變化的瞬間，產(chǎn)生一個(gè)正比于偏差變化率的控制作用，它總是反對(duì)偏差向任何方向的變化，偏差變化越快，反對(duì)作用越強(qiáng)。故微分作用的加入將有助于減小超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。它加快了系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)整時(shí)間，從而改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

缺點(diǎn)：太大，易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖4理想PD調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)101et0t00tutpK0u4、比例積分微分調(diào)節(jié)器比例積分微分三作用的線性組合。在階躍信號(hào)的作用下，首先是比例和微分作用，使其調(diào)節(jié)作用加強(qiáng)，然后是積分作用，直到消除偏差。圖5理想PID調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)101et0t00tiTutpKpK0u4.1.2PID算法的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

當(dāng)采樣周期足夠小時(shí)，在模擬調(diào)節(jié)器的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值逼近的方法，用求和代替積分、用后向差分代替微分，使模擬PID離散化變?yōu)椴罘址匠??？勺魅缦陆?式中，T為采樣周期，k為采樣序號(hào)。兩種標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字PID控制算法

1、數(shù)字PID位置型控制算法

控制算法提供了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置。

式中：或：2、數(shù)字PID增量型控制算法

由位置型算法又∵，得：得：增量型算法只需保持前3個(gè)時(shí)刻的偏差值。3、兩種標(biāo)準(zhǔn)PID控制算法比較

圖6兩種PID控制算法實(shí)現(xiàn)的閉環(huán)系統(tǒng)（a）位置型（b）增量型算法比較

：

（1）增量型算法不需要做累加，計(jì)算誤差或計(jì)算精度問(wèn)題，對(duì)控制量的計(jì)算影響較小。而位置型算法要用到過(guò)去誤差的所有累加值，容易產(chǎn)生大的累加誤差。（2）增量型算法得出的是控制量的增量，誤動(dòng)作影響小，而位置型算法的輸出是控制量的全量輸出，誤動(dòng)作影響大。（3）采用增量型算法，由于算式中不出現(xiàn)項(xiàng)，則易于實(shí)現(xiàn)手動(dòng)到自動(dòng)的無(wú)沖擊切換。4.1.3幾種改進(jìn)的PID算法

1.什么是飽和效應(yīng)？在實(shí)際過(guò)程中，控制變量因受到執(zhí)行元件機(jī)械和物理性能的約束而限制在有限范圍內(nèi)，即其變化率也有一定的限制范圍，即

如果計(jì)算機(jī)給出的控制量在所限制范圍內(nèi)，能得到預(yù)期結(jié)果；若超出此范圍，實(shí)際執(zhí)行的控制量就不再是計(jì)算值，將得不到期望的效果。這種效應(yīng)稱為飽和效應(yīng)。2.抑制飽和的方法

過(guò)程的起動(dòng)、結(jié)束、大幅度增減設(shè)定值短時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的輸出會(huì)出現(xiàn)很大的偏差，致使積分部分幅值快速上升。由于系統(tǒng)存在慣性和滯后，這就勢(shì)必引起系統(tǒng)輸出出現(xiàn)較大的超調(diào)和長(zhǎng)時(shí)間的波動(dòng)，特別對(duì)于溫度、成分等變化緩慢的過(guò)程，這一現(xiàn)象更為嚴(yán)重，有可能引起系統(tǒng)振蕩（即積分飽和現(xiàn)象）。采用積分分離PID或變速積分PID等控制算法可以解決。1)積分分離法積分分離PID控制算法式中，為邏輯變量；為積分分離限值，它根據(jù)具體對(duì)象要求確定。過(guò)大，達(dá)不到積分分離的目的；過(guò)小，一旦被控量無(wú)法跳出積分分離區(qū)，只進(jìn)行PD控制，將會(huì)出現(xiàn)靜差。圖7PID控制算法比較系數(shù)與偏差當(dāng)前值的關(guān)系可以是線性的或非線性的，可設(shè)為

變速積分的PID積分項(xiàng)表達(dá)式為2）變速積分PID控制算法在變速積分中，

是緩慢變化的，它對(duì)積分項(xiàng)采用線性控制，比積分分離的PID控制算法更優(yōu)越。

2．抑制微分飽和方法

微分環(huán)節(jié)的引入對(duì)于干擾特別敏感。當(dāng)系統(tǒng)中存在高頻干擾時(shí)，會(huì)降低控制效果。當(dāng)被控量突然變化時(shí)，正比于偏差變化率的微分輸出就很大。但由于持續(xù)時(shí)間很短，執(zhí)行部件因慣性或動(dòng)作范圍的限制，其動(dòng)作位置達(dá)不到控制量的要求值，很容易引起調(diào)節(jié)過(guò)程的振蕩，導(dǎo)致調(diào)節(jié)品質(zhì)下降，這樣就產(chǎn)生了所謂的微分失控（飽和）。采用不完全微分可以收到較好理想效果。不完全微分PID控制器結(jié)構(gòu)（1）（2）1）不完全微分的PID控制算法不完全微分的PID算法的基本思想是：在PID控制中的微分環(huán)節(jié)串聯(lián)上一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，變?yōu)椴煌耆⒎汁h(huán)節(jié)，（3）（4）進(jìn)行離散化，得到不完全微分PID位置型控制算式

（5）圖9PID輸出特性的比較(a)普通PID控制(b)不完全微分PID控制（1）普通PID控制的微分作用僅局限于第一個(gè)采樣周期有一個(gè)大幅度的輸出。一般的工業(yè)用執(zhí)行機(jī)構(gòu)，無(wú)法在較短的采樣周期內(nèi)跟蹤較大的微分作用輸出，而且理想微分容易引進(jìn)高頻干擾。（2）不完全微分PID控制的微分作用能緩慢地持續(xù)多個(gè)采樣周期。由于不完全微分PID算式中含有一個(gè)低通濾波器，因此抗干擾能力也較強(qiáng)。4.數(shù)字PID控制器參數(shù)的整定

1）采樣周期的選擇

（1）必須滿足香農(nóng)采樣定理的要求；（2）采樣周期應(yīng)遠(yuǎn)小于對(duì)象擾動(dòng)信號(hào)的周期，一般使擾動(dòng)信號(hào)周期與采樣周期成整數(shù)倍關(guān)系；（3）當(dāng)系統(tǒng)純滯后占主導(dǎo)地位時(shí)，應(yīng)盡可能使純滯后時(shí)間接近或等于采樣周期的整數(shù)倍。（4）如果執(zhí)行器的響應(yīng)速度比較慢，那么采樣周期過(guò)小將失去意義。（5）采樣周期的下限是使計(jì)算機(jī)完成采樣、運(yùn)算和輸出三件工作所需要的時(shí)間（對(duì)單回路而言）。一般應(yīng)考慮如下因素：

2）PID參數(shù)的工程整定法

（l）擴(kuò)充臨界比例度法整定步驟如下：①選擇一足夠小的采樣周期。若系統(tǒng)存在純滯后，采樣周期應(yīng)小于純滯后的1／10。

②投入純比例控制，使控制系統(tǒng)出現(xiàn)臨界振蕩。記下臨界比例系數(shù)和臨界振蕩周期。圖10系統(tǒng)的臨界振蕩狀態(tài)③選擇控制度；

控制度

④按擴(kuò)充臨界比例度法參數(shù)整定計(jì)算公式，求取、、、。

⑤按求得的參數(shù)運(yùn)行，在運(yùn)行中觀察控制效果，用試湊法適當(dāng)調(diào)整有關(guān)控制參數(shù)，以便獲得滿意的控制效果。

（2）擴(kuò)充響應(yīng)曲線法對(duì)于不允許進(jìn)行臨界振蕩實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)，可采用此方法。

整定步驟如下：①斷開(kāi)數(shù)字PID控制器，使系統(tǒng)在手動(dòng)狀態(tài)下工作，給被控對(duì)象一個(gè)階躍輸入信號(hào)；②用儀表記錄下在階躍輸入信號(hào)下的對(duì)象階躍響應(yīng)曲線；

圖11對(duì)象階躍響應(yīng)曲線

⑤選擇擴(kuò)充響應(yīng)曲線法參數(shù)整定計(jì)算公式，根據(jù)測(cè)得的和，求取控制參數(shù)、和。④選擇控制度；⑥按求得的參數(shù)運(yùn)行，觀察控制效果，適當(dāng)修正參數(shù)，直到滿意為止。③在響應(yīng)曲線上的拐點(diǎn)處作切線，得到對(duì)象等效的純滯后時(shí)間和對(duì)象等效的時(shí)間常數(shù)；4..2最少拍無(wú)差隨動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

圖12典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

最少拍控制是一種直接數(shù)字設(shè)計(jì)方法。所謂最少拍控制，就是要求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于某種特定的輸入在最少個(gè)采樣周期內(nèi)達(dá)到無(wú)靜差的穩(wěn)態(tài)，使系統(tǒng)輸出值盡快地跟蹤期望值的變化。

其中：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)則：數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

廣義對(duì)象脈沖傳遞函數(shù)4.2.1典型輸入下理想最少拍無(wú)差系統(tǒng)的設(shè)計(jì)三種典型的輸入表示形式為

1、單位階躍輸入

2、單位速度輸入（單位斜坡輸入）

3、單位加速度輸入由此得到典型輸入信號(hào)z變換的一般形式

T為采樣周期1、最少拍無(wú)差系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

(z)的確定

由前面可知由最少拍無(wú)差設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性要求，穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)該為零，即：

因?yàn)锳(z)不包含(1-z-1)，所以欲使上式為零，必須使式中F(z)是關(guān)于z-1的待定系數(shù)多項(xiàng)式。所以

且p≥q

且p≥q

由最少拍無(wú)差設(shè)計(jì)的快速性要求，n取最小值，所以F(z)=1，p=q。因此最少拍無(wú)差控制器設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)選擇的

(z)和

e(z)為此時(shí)最少拍無(wú)差數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)為2．三種典型輸入下的理想最少拍無(wú)差控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析表4-3三種典型輸入信號(hào)的最小拍控制器輸入信號(hào)單位階躍單位速度單位加速度偏差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)最小拍控制器4.2.2最少拍控制器的物理可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性要求1、最少拍控制器的物理可實(shí)現(xiàn)性要求（1）控制器的物理可實(shí)現(xiàn)性是指在控制算法中不允許出現(xiàn)未來(lái)時(shí)刻的偏差值，這就要求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)不含有z的正冪次項(xiàng)，即m≤n(2)如果被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)中包含純滯后環(huán)節(jié)，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)中將含有這個(gè)正冪項(xiàng)，物理不可實(shí)現(xiàn)。因此要使控制器物理可實(shí)現(xiàn)，就必須消除純滯后對(duì)系統(tǒng)的影響，用閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)去抵消G(z)中的純滯后環(huán)節(jié)，即

(z)中也應(yīng)該包含純滯后環(huán)節(jié)，所以2、最少拍控制器的穩(wěn)定性要求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)為可以看出，如果G(z)存在不穩(wěn)定的零極點(diǎn)，D(z)會(huì)把G(z)穩(wěn)定的極點(diǎn)當(dāng)作零點(diǎn)，把不穩(wěn)定的零點(diǎn)當(dāng)作極點(diǎn)，因此數(shù)字控制器是不穩(wěn)定的，控制器輸出的控制量u發(fā)散，造成執(zhí)行機(jī)構(gòu)不穩(wěn)定，機(jī)械磨損加快，影響控制質(zhì)量。因此最少拍無(wú)差系統(tǒng)設(shè)計(jì)的兩個(gè)穩(wěn)定性約束條件為①當(dāng)G(z)中包含單位圓上或圓外的零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該把這些零點(diǎn)作為

(z)的零點(diǎn)保留在

(z)的表達(dá)式中；②當(dāng)G(z)中包含單位圓上或圓外的極點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該把這些極點(diǎn)作為

e(z)的零點(diǎn)保留在

e(z)的表達(dá)式中。4.2.3最少拍有紋波控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為式中Gc(s)是被控對(duì)象的傳遞函數(shù)；H(s)是零階保持器的傳遞函數(shù)；u是廣義被控對(duì)象在單位圓上或圓外的零點(diǎn)數(shù)；bi是G(z)中不穩(wěn)定的零點(diǎn)；v是廣義被控對(duì)象在單位圓上或圓外的極點(diǎn)數(shù)；aj是G(z)中不穩(wěn)定的極點(diǎn)；m是廣義被控對(duì)象包含純滯后環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；G0(z)是G(z)中不含純滯后環(huán)節(jié)、不含不穩(wěn)定的零極點(diǎn)的部分。根據(jù)最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的物理可實(shí)現(xiàn)要求，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

(z)中應(yīng)包含

z-m；根據(jù)穩(wěn)定性要求，

(z)中應(yīng)包含；根據(jù)輸入信號(hào)的形式和快速性要求，

(z)應(yīng)包含

。綜合考慮各個(gè)因素，當(dāng)G(z)中不包含單位圓上z=1的極點(diǎn)時(shí)，最少拍有紋波系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

(z)應(yīng)該具有以下形式：式中q為輸入信號(hào)因子，當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍、單位速度、單位加速度時(shí)，q分別為1,2,3；

為個(gè)待定系數(shù)；4-1另外，根據(jù)最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性要求，誤差脈沖傳遞函數(shù)

e(z)中應(yīng)包含；根據(jù)準(zhǔn)確性要求，

e(z)中應(yīng)包含綜合考慮各個(gè)因素，當(dāng)G(z)中不包含單位圓上z=1的極點(diǎn)時(shí)，最少拍有紋波系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)

e(z)應(yīng)該具有以下形式：

式中，是關(guān)于的有限多項(xiàng)式，共有個(gè)待定系數(shù)。兩種

(z)和

e(z)計(jì)算方法：

4-2①待定系數(shù)法

上式兩邊z的相同冪次對(duì)應(yīng)的系數(shù)應(yīng)該相等，所以可以得到方程組并求解，得到各個(gè)待定系數(shù)，確定

(z)和

e(z)，從而求出D(z)。②利用最少拍控制器的設(shè)計(jì)要求，求出待定系數(shù)由準(zhǔn)確性可知，中包含，所以全部為零，因此,

全部為零，由此可得到q個(gè)方程。因此,

，全部為零，由此可得到q個(gè)方程。由穩(wěn)定性約束條件，中包含，所以，因此

（j=1,2,3,…,v），由此可得到v個(gè)方程。由上頁(yè)①和②可列出q+v個(gè)方程。當(dāng)廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)中含有單位圓上z=1的極點(diǎn)，即aj=1時(shí)，方程的個(gè)數(shù)少于q+v個(gè)。根據(jù)快速性要求，此時(shí)應(yīng)該降階處理，所降階數(shù)等于G(z)中z=1的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。假設(shè)G(z)中有w個(gè)z=1的極點(diǎn)，則

(z)、

e(z)的表達(dá)式為的表達(dá)式為：式中，是關(guān)于z的有限多項(xiàng)式，共有個(gè)待定系數(shù)；，aj是單位圓外的極點(diǎn)。

4-34-4例4-1

已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為采樣周期T=1s，針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)差系統(tǒng)，畫出控制量U和閉環(huán)系統(tǒng)的輸出C的波形。解：該系統(tǒng)廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)差系統(tǒng)，有m=3，v=1，u=0，q=2，q+v-1=2，因?yàn)镚(z)包含一個(gè)單位圓上的極點(diǎn)z=1，w=1，所以可以降一階來(lái)處理。由q+v-w-1=1，待定系數(shù)有兩個(gè)，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為由式

，

p=2，m

+u

+q-p-1=2，待定系數(shù)有兩個(gè)，誤差脈沖傳遞函數(shù)為

根據(jù)準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性要求，得方程組也可利用待定系數(shù)法，得方程組所以數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為4.2.4最少拍無(wú)差控制器的局限性最少拍無(wú)差控制器的設(shè)計(jì)基于采樣系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理論，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法可以方便地得到其控制結(jié)構(gòu)，使系統(tǒng)在有限拍內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而且在采樣點(diǎn)上不存在靜差，這是最少拍無(wú)差控制器的優(yōu)點(diǎn)。它也存在一些缺點(diǎn)，限制了它的應(yīng)用。（1）對(duì)不同輸入信號(hào)的適應(yīng)性差針對(duì)某種典型輸入而設(shè)計(jì)的最少拍無(wú)差控制器可以使系統(tǒng)對(duì)某一特定輸入的響應(yīng)為最少拍，但對(duì)于其他類型的輸入不一定為最少拍，甚至?xí)疠^大的超調(diào)和穩(wěn)態(tài)誤差。例4-2

已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，采樣周期T=1s。①針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)差系統(tǒng)，并分析其輸出響應(yīng)以及系統(tǒng)的偏差。②試分析①所設(shè)計(jì)的最少拍無(wú)差系統(tǒng)在單位階躍，單位加速度輸入下的輸出響應(yīng)以及系統(tǒng)的偏差。解：①該系統(tǒng)廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)差系統(tǒng)，m=1，v=1，u=0，q=2，q+v-1=2，因?yàn)镚(z)包含一個(gè)單位圓上的極點(diǎn)z=1，w=1，所以可以降一階來(lái)處理。由q+v-w-1=1，待定系數(shù)有兩個(gè)，選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

由于p=2，m+u+q

–

p-1=0，選擇誤差脈沖傳遞函數(shù)為根據(jù)準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性要求，得方程組可以看出，經(jīng)過(guò)2拍以后，在采樣點(diǎn)上系統(tǒng)的輸出能準(zhǔn)確地跟蹤輸入，靜差為0，系統(tǒng)具有最少拍無(wú)差的特性。②當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出為經(jīng)過(guò)兩拍以后，采樣點(diǎn)上系統(tǒng)的輸出能準(zhǔn)確地跟蹤輸入，靜差為0。調(diào)節(jié)時(shí)間Ts=2s，超調(diào)量為100%，系統(tǒng)不具備最少拍無(wú)差的特性。③當(dāng)輸入信號(hào)為單位加速度時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，在采樣點(diǎn)上系統(tǒng)的輸出不能準(zhǔn)確跟蹤輸入，不具備最少拍無(wú)差的特性

從上面的計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，按照單位速度輸入設(shè)計(jì)的最少拍無(wú)差系統(tǒng)，在單位階躍下有100%的超調(diào)；在單位加速度輸入下存在靜差。結(jié)果表明，針對(duì)某種特定的典型輸入設(shè)計(jì)的最少拍無(wú)差控制器，不具備廣泛適應(yīng)性。當(dāng)輸入信號(hào)發(fā)生變化，系統(tǒng)不具備最少拍無(wú)差的特性。（2）對(duì)參數(shù)變化過(guò)于敏感（3）未考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性（4）采樣點(diǎn)之間存在紋波4.3最少拍無(wú)紋波隨動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)最少拍無(wú)差系統(tǒng)的準(zhǔn)確性要求是使系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上的輸出準(zhǔn)確地跟蹤輸入，即在采樣點(diǎn)上，。然而在采樣點(diǎn)之間最少拍無(wú)差系統(tǒng)的輸出能否準(zhǔn)確的跟蹤輸入呢？下面通過(guò)例題分析最少拍控制作用下系統(tǒng)在采樣點(diǎn)之間的輸出響應(yīng)。例4-3

已知廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為采樣周期T=1s，試求單位速度輸入時(shí)的最少拍無(wú)差系的控制器，并分析其控制量序列和系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。解：根據(jù)式

，

可以確定閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和偏差的表現(xiàn)形式分別為從而可求得系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為3T，穩(wěn)態(tài)誤差為0，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上是穩(wěn)定的。下面檢驗(yàn)控制量U是否收斂。如果收斂，系統(tǒng)的連續(xù)過(guò)程是穩(wěn)定的。從的表達(dá)式可以看出，控制量正負(fù)相間，幅值越來(lái)越小，它是振蕩收斂的，因此系統(tǒng)的連續(xù)過(guò)程是穩(wěn)定的，可以保證系統(tǒng)的輸出在采樣點(diǎn)上能準(zhǔn)確跟蹤輸入，靜差為0。但是振蕩收斂的控制量的過(guò)渡過(guò)程也延續(xù)了無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間，在它的控制下，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)之間會(huì)出現(xiàn)紋波。這不僅破壞了預(yù)期的控制效果，而且會(huì)使執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生磨損，因此必須消除紋波。

1．設(shè)計(jì)無(wú)紋波系統(tǒng)的必要條件無(wú)紋波系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求系統(tǒng)的輸出在采樣點(diǎn)之間也能準(zhǔn)確地跟蹤輸入，這就要求被控對(duì)象必須有能力給出與輸入信號(hào)r(t)相同且平滑的輸出c(t)，保證控制量U在有限拍內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。輸入信號(hào)的一般表達(dá)式為，控制器輸出，要使控制量在有限拍內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，必須是穩(wěn)定的。因此廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)中應(yīng)該至少包含q個(gè)積分環(huán)節(jié)，以抵消輸入函數(shù)中單位圓上的q個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，這樣被控對(duì)象的傳遞函數(shù)中應(yīng)該至少包含q-1個(gè)積分環(huán)節(jié)，這就是無(wú)紋波系統(tǒng)設(shè)計(jì)的必要條件。

2．最少拍無(wú)紋波設(shè)計(jì)的約束條件數(shù)字控制器的輸出式中是的極點(diǎn)多項(xiàng)式，是的零點(diǎn)多項(xiàng)式。因此最少拍無(wú)紋波設(shè)計(jì)除了滿足最少拍無(wú)差系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一切條件以外，中還必須包含的所有零點(diǎn)。3．最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一般方法在被控對(duì)象的傳遞函數(shù)滿足無(wú)紋波設(shè)計(jì)必要條件的前提其中是中所有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，w是中單位圓上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。共有個(gè)待定系數(shù)4-54-6例4-4

采樣周期T=1s，已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波控制器。解：中包含1個(gè)積分環(huán)節(jié)，滿足無(wú)紋波設(shè)計(jì)的必要條件。廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)，則m=3，v=1，=1，q=2，w=1，q+v-w-1=1，p=2，m++q-p-1=3。所以利用待定系數(shù)法，得方程組

經(jīng)過(guò)5拍后，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在采樣點(diǎn)上靜差為0，輸出能夠準(zhǔn)確地跟蹤輸入，調(diào)節(jié)時(shí)間為5s。控制量收斂于常數(shù)0.333，系統(tǒng)的連續(xù)過(guò)程是穩(wěn)定的，而且在采樣點(diǎn)之間無(wú)紋波。例4-5已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為：，采樣周期T=1s，①針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)，并分析其輸出響應(yīng)以及系統(tǒng)的偏差。②試分析所設(shè)計(jì)的最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)在單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)以及系統(tǒng)的偏差。解：中包含1個(gè)積分環(huán)節(jié)，滿足無(wú)紋波設(shè)計(jì)的必要條件。廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為①針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)，則m=1，v=1，=1，q=2，q+v-1=2，q+v-w-1=1，p=2，m++q-p-1=1。根據(jù)式4-5和式4-6選取和利用待定系數(shù)法，得方程組經(jīng)過(guò)3拍以后，系統(tǒng)的輸出能準(zhǔn)確跟蹤輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為0。經(jīng)過(guò)3拍以后，控制量收斂于常數(shù)0.1，系統(tǒng)輸出在采樣點(diǎn)之間無(wú)紋波。②當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出為經(jīng)過(guò)3拍以后，系統(tǒng)的輸出能準(zhǔn)確跟蹤輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為0，超調(diào)量增大為59%。數(shù)字控制器輸出的控制量為經(jīng)過(guò)3拍以后，控制量收斂于常數(shù)0，系統(tǒng)輸出在采樣點(diǎn)之間無(wú)紋波。系統(tǒng)仍然是無(wú)紋波的系統(tǒng)。4.4純滯后對(duì)象的控制算法-Dahlin(大林)算法

Dahlin算法屬于離散化設(shè)計(jì)方法，Dahlin算法的設(shè)計(jì)目的是根據(jù)純滯后系統(tǒng)的主要控制要求，設(shè)計(jì)一個(gè)合適的數(shù)字控制器，使期望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)成為一個(gè)帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，且純滯后時(shí)間與被控對(duì)象的純滯后時(shí)間相同。即（4-41）

為被控對(duì)象的純滯后時(shí)間（設(shè)，是正整數(shù)）。為期望閉環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)，其值由設(shè)計(jì)者用試湊法給出。Dahlin算法是一種極點(diǎn)配置方法，適用于廣義對(duì)象含有滯后環(huán)節(jié)且要求等效系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)的控制系統(tǒng)（等效系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，且無(wú)超調(diào)量）。4.4.1大林算法的設(shè)計(jì)原則及數(shù)字控制器的形式1、被控對(duì)象的描述一般具有純滯后特性的被控對(duì)象可以用帶純滯后的一階或二階系統(tǒng)來(lái)描述。其中：K——放大系數(shù)；τ——純滯后時(shí)間;T1,T2——慣性時(shí)間常數(shù)2、大林算法介紹

不論是對(duì)一階慣性對(duì)象還是對(duì)二階慣性對(duì)象，大林算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)都是：使閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)相當(dāng)于一個(gè)純滯后環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。①閉環(huán)系統(tǒng)的純滯后環(huán)節(jié)的滯后時(shí)間τ與被控對(duì)象的純滯后時(shí)間完全相同；②慣性時(shí)間常數(shù)為Tτ

按要求選擇。這樣就能保證使系統(tǒng)不產(chǎn)生超調(diào)，同時(shí)保證其穩(wěn)定性。3、大林算法的數(shù)字控制器設(shè)計(jì)通常認(rèn)為對(duì)象與一個(gè)零階保持器相串聯(lián)，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為式中

，r取正整數(shù)；T是系統(tǒng)的采樣周期。因此數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為（1）當(dāng)被控對(duì)象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)（2）當(dāng)被控對(duì)象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)4.4.2振鈴現(xiàn)象的產(chǎn)生及其消除

所謂振鈴(Ringing)現(xiàn)象，是指數(shù)字控制器的輸出以二分之一采樣頻率大幅度衰減的振蕩。振鈴現(xiàn)象中的振蕩是衰減的。由于被控對(duì)象中慣性環(huán)節(jié)的低通特性，使得這種振蕩對(duì)系統(tǒng)的輸出影響較小。但是振鈴現(xiàn)象卻會(huì)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，在有交互作用的多參數(shù)控制系統(tǒng)中，振鈴現(xiàn)象還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例4-6

已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，采樣周期T=1s，試用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，并分析其輸出響應(yīng)和控制器的輸出序列。解：假設(shè)根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)選擇閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，采樣周期T=1s，被控對(duì)象的滯后時(shí)間為2.4s，它不是采樣周期的整數(shù)倍，必須利用擴(kuò)展z變換求廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)。根據(jù)大林算法，閉環(huán)系統(tǒng)的滯后時(shí)間也應(yīng)該為2.4s，但為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，取純滯后時(shí)間為2s，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍時(shí)，系統(tǒng)的輸出為數(shù)字控制器的控制量輸出為可以看出，系統(tǒng)的輸出波形在采樣點(diǎn)上按照期望里指數(shù)形式變化，系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)，但是控制量輸出波形以二分之一的采樣頻率大幅度的擺動(dòng)，大林把這種現(xiàn)象稱為振鈴（Ringing）現(xiàn)象。1、振鈴現(xiàn)象的分析D(z)G(z)R(z)E(z)U(z)Y(z)-+令：Φu(z)是分析振鈴的基礎(chǔ)。控制器輸出U(z)與參考輸入R(z)之間的關(guān)系為:振鈴現(xiàn)象的主要原因：（1）Ku(z)的極點(diǎn)在z平面的負(fù)實(shí)軸上，并且與z=-1點(diǎn)相近（2）單位階躍輸入函數(shù)R(z)，含有z=1的極點(diǎn)

從而使數(shù)字控制器的輸出序列u(k)中將含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項(xiàng)，而且瞬態(tài)項(xiàng)的符號(hào)在不同時(shí)刻是不相同的。從而造成數(shù)字控制器輸出序列大幅度波動(dòng)。因此如果存在Z平面上靠近-1的極點(diǎn)，系統(tǒng)就會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，極點(diǎn)越靠近-1，振鈴現(xiàn)象就越強(qiáng)烈。

下面從的極點(diǎn)分布情況分析帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)的振鈴現(xiàn)象。（1）帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)

存在極點(diǎn)，顯然它是大于零的，所以此時(shí)從的極點(diǎn)分布情況來(lái)分析，系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。如果滯后時(shí)間是采樣周期的整數(shù)倍（2）帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)存在兩個(gè)極點(diǎn)，。第一個(gè)極點(diǎn)永遠(yuǎn)大于零，不會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象；第二個(gè)極點(diǎn)小于零，在負(fù)實(shí)軸上，所以用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器必然會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。而且當(dāng)采樣周期時(shí)，，相應(yīng)控制量的z變換有一個(gè)非常接近-1的極點(diǎn)，振鈴幅度是很大的。2．振鈴幅度RA衡量振鈴現(xiàn)象的強(qiáng)烈程度的量是振鈴幅度RA（RingingAmplitude）。振鈴幅度RA被定義為：在單位階躍輸入作用下，控制器第零次輸出幅度與第一次輸出幅度的差值。時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象；時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，其值越大，振鈴幅度就越大。設(shè)的一般表達(dá)式為則在單位階躍輸入作用下，數(shù)字控制器輸出的控制量的一般表達(dá)式為（1）對(duì)于帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，可得其振鈴幅度為當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)時(shí)，，不會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象；當(dāng)時(shí)，，即使滯后時(shí)間是采樣周期的整數(shù)倍，系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。所以選擇時(shí)，應(yīng)該滿足，而且滯后時(shí)間是采樣周期的整數(shù)倍，系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。（2）對(duì)于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)振鈴幅度為當(dāng)采樣周期時(shí)，，必然存在振鈴現(xiàn)象。3．振鈴現(xiàn)象的消除振鈴現(xiàn)象會(huì)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，在有交互作用的多參數(shù)控制系統(tǒng)中，振鈴現(xiàn)象還可能影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此必須消除。消除振鈴現(xiàn)象的方法是先找出中產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的振鈴因子，再令此因子中的，便消除了引起振鈴現(xiàn)象的極點(diǎn)。根據(jù)終值定理，，說(shuō)明這樣處理并不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值，可以消除振鈴現(xiàn)象。帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中，按照大林算法設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器為其中極點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，就是振鈴因子，令此因子中，代入，就可消除這個(gè)振鈴極點(diǎn)。修改后的為這種方法雖然消除了振鈴現(xiàn)象，但是它修改了控制器的結(jié)構(gòu)，改變了控制器的動(dòng)態(tài)特性，會(huì)影響閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。按照大林算法設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為其中，極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上，會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，可用上面的方法消除振鈴現(xiàn)象。令因子（）中的，代入，得可以看出，控制量序列朝一個(gè)方向衰減，不再以二分之一的采樣頻率振蕩，因此消除了振鈴現(xiàn)象。4.4.3大林算法的設(shè)計(jì)步驟（1）確定被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，求出其傳遞函數(shù)；（2）選擇采樣周期T，一般應(yīng)選擇對(duì)象的滯后時(shí)間