2024秋高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)達標練習含解析新人教A版選修2-2

PAGE4-第一章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在探討函數(shù)中的應用1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)[A級基礎鞏固]一、選擇題1．函數(shù)y＝(3－x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1)解析：求導函數(shù)得y′＝(－x2－2x＋3)ex.令y′＝(－x2－2x＋3)ex>0，可得x2＋2x－3<0，所以－3<x<1.所以函數(shù)y＝(3－x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3，1)．答案：D2．若在區(qū)間(a，b)內(nèi)有f′(x)＞0，且f(a)≥0，則在(a，b)內(nèi)有()A．f(x)＞0 B．f(x)＜0C．f(x)＝0 D．f(x)≥0解析：依題意，f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，f(a)≥0，所以f(x)＞0.答案：A3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝xe2C．y＝x3－x D．y＝lnx－x解析：對于A，明顯y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有減，故解除A；對于B，函數(shù)y＝xe2，因e2為大于零的常數(shù)，不用求導就知y＝xe2在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)；對于C，y′＝3x2－1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))，故函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))上為減函數(shù)；對于D，y′＝eq\f(1,x)－1(x>0)．故函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，在(0，1)上為增函數(shù)．故選B.答案：B4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)解析：由f′(x)圖象可知函數(shù)f(x)在(－∞，c)上單調(diào)遞增，在(c，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，又a，b，c∈(－∞，c)，且a<b<c，故f(c)>f(b)>f(a)．答案：C5．已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，則不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))C．(－∞，3) D．(3，＋∞)解析：因為f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)f′(x)＝1－cosx≥0，則函數(shù)f(x)是增函數(shù)，則不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等價為f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x<3，故不等式的解集為(－∞，3)．答案：C二、填空題6．若函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)＝x2－4x＋3，則函數(shù)f(1＋x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1<x<3，由1<1＋x<3，解得0<x<2，故函數(shù)f(1＋x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)．答案：(0，2)7．若函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋5的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2，2)，則實數(shù)a的值為________．解析：f′(x)＝3x2＋a，依題意3x2＋a＜0的解集為(－2，2)，所以a＝－12.答案：－128．若函數(shù)y＝－eq\f(4,3)x3＋ax有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是________．解析：因為y′＝－4x2＋a，且函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，所以方程－4x2＋a＝0有兩個不等的實根，所以Δ＝02－4×(－4)×a＞0，所以a＞0.答案：(0，＋∞)三、解答題9．若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)減區(qū)間為(－1，3)，求b和c的值．解：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由條件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）＝0，,f′（3）＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝0，,27＋6b＋c＝0，))解得b＝－3，c＝－9.10．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x，探討f(x)的單調(diào)性．解：f(x)的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝eq\f(1,x)－2ax＋(2－a)＝－eq\f(（2x＋1）（ax－1）,x).(1)若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)若a>0，則由f′(x)＝0得x＝eq\f(1,a)，且當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))時，f′(x)>0；當x>eq\f(1,a)時，f′(x)<0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞減．B級實力提升1．設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為()ABCD解析：由函數(shù)的圖象可知：當x<0時，函數(shù)單調(diào)遞增，導數(shù)始終為正；當x>0時，函數(shù)先增后減再增，即導數(shù)先正后負再正，比照選項，應選D.答案：D2．函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點個數(shù)是____．解析：因為f(x)＝2x＋x3－2，0＜x＜1，所以f′(x)＝2xln2＋3x2＞0在(0，1)上恒成立，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增．又f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(0)f(1)＜0，則f(x)在(0，1)內(nèi)至少有一個零點，又函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)有且僅有1個零點．答案：13．已知f(x)＝aex－x－1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．解：(1)因為f′(x)＝aex－1，當a≤0時，有f′(x)<0在R上恒成立；當a>0時，令f′(x)≥0，得ex≥eq\f(1,a)，有x≥－lna.綜上，當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋∞)，當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－lna，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－lna]．(2)f′(x)＝aex－1.若f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則aex－1≤0在(－∞，0]上恒成立