清單02 有理數(shù)及其運(yùn)算（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）-25學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（北師大版2024）

清單02有理數(shù)及其運(yùn)算（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】正數(shù)和負(fù)數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個(gè)問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。【清單02】有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種

【清單03】數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度（2）對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對應(yīng)的?！厩鍐?4】相反數(shù)（1）概念代數(shù)：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。（注意：當(dāng)“—”號的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取正號當(dāng)“—”號的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取負(fù)號）【清單05】絕對值（1）幾何意義：一個(gè)數(shù)的數(shù)量大小叫作這個(gè)數(shù)的絕對值。

（3）代數(shù)符號意義：注：非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（4）性質(zhì)：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個(gè)，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負(fù)性：任意一個(gè)有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對值大的反而小?！厩鍐?7】加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)?！厩鍐?8】加法運(yùn)算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清單09】減法法則減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b【清單10】乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個(gè)數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個(gè)因數(shù)是0。【清單11】乘法運(yùn)算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c?！厩鍐?2】倒數(shù)（1）定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.【清單13】除法法則（1）除以一個(gè)（不等于0）的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。【清單01】乘方法則運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0【清單01】混合運(yùn)算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩步走：先確定符號，再求值。【清單01】科學(xué)計(jì)數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個(gè)n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點(diǎn)后某位。（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×1053.有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)。注：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5。【考點(diǎn)題型一】正負(fù)數(shù)

【典例1】微信錢包收入200元時(shí)在微信賬單中顯示為+200，那么支出50元將顯示為（

）A．+50 B．?50 C．+200 D．?200【答案】B【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，根據(jù)在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示，即可解題．【詳解】解：∵收入200元顯示為+200，∴支出50元將顯示為?50，故選：B．【變式1-1】史料證明：追溯到兩千多年前，中國人已經(jīng)開始使用負(fù)數(shù)，并應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中．在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，如果增產(chǎn)100kg記為+100kg，那么減產(chǎn)50kgA．?100kg B．+100kg C．?50kg【答案】C【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：增產(chǎn)100kg記為+100kg，那么減產(chǎn)50kg故選：C．【變式1-2】中國是最早采用正、負(fù)數(shù)來表示相反意義的量的國家．如果收入200元記作+200元，那么虧損120元記作（

）A．+120元 B．?80元 C．?120元 D．+80元【答案】C【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)，熟練掌握具有相反意義的量可以用正負(fù)數(shù)表示是解題的關(guān)鍵；根據(jù)“正負(fù)數(shù)是具有相反意義的兩個(gè)量，規(guī)定哪一個(gè)為正，則和它意義相反的量記為負(fù)”進(jìn)行求解即可．【詳解】∵正、負(fù)數(shù)來表示相反意義的量，∴收入200元記作+200元，那么虧損120元記作?120元，故選：C．【變式1-3】如果風(fēng)車順時(shí)針旋轉(zhuǎn)66°，記作+66°，那么逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)78°，記作（

）A．?78° B．78° C．?12° D．12°【答案】A【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，明確相反意義的量是解答本題的關(guān)鍵，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．正確審題明確正負(fù)的意義，即得答案．【詳解】如果風(fēng)車順時(shí)針旋轉(zhuǎn)66°，記作+66°，那么逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)78°，記作?78°．故選：A．【考點(diǎn)題型二】相反意義的量表示

【典例2】中國是最早使用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量的國家，若向東走20米記作+20米，那么向西走30米記作米．【答案】?30【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是具有相反意義的量．根據(jù)具有相反意義的量的表示方法求解即可．【詳解】解：若向東走20米記作+20米，那么向西走30米記作?30米．故答案為：?30．【變式2-1】如圖，表中列出了國外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差，其中帶正號的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)，比如北京的時(shí)間是7：00時(shí)，東京時(shí)間為8：00．則當(dāng)北京的時(shí)間為2024年1月28日9：00時(shí)，紐約的時(shí)間是．城市紐約巴黎東京芝加哥時(shí)差/時(shí)?13﹣7+1?14【答案】2024年1月27日20：00時(shí)【分析】本題主要考查正負(fù)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，結(jié)合表格信息即可求得答案．【詳解】解：當(dāng)北京的時(shí)間為2024年1月28日9：00時(shí)，紐約的時(shí)間是2024年1月27日20：00時(shí)，故答案為：2024年1月27日20：00時(shí)．【變式2-2】如果?50元表示支出50元，那么+40元表示．【答案】收入40元【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對相反意義的量：支出為負(fù)，則收入為正，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：如果?50元表示支出50元，那么+40元表示收入40元；故答案為：收入40元．【變式2-3】中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義量的國家，如果盈利100元記作+100元，那么虧損10元可記作元．【答案】?10【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【詳解】解：盈利100元記作+100元，那么虧損10元可記作?10元故答案為：?10．【考點(diǎn)題型三】有理數(shù)的概念辨析

【典例3】?3.782（

）A．是負(fù)數(shù)，不是分?jǐn)?shù) B．不是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)C．是負(fù)數(shù)，也是分?jǐn)?shù) D．是分?jǐn)?shù)，不是有理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)及有理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：?3.782是小數(shù)，是有理數(shù)，是負(fù)數(shù)也是分?jǐn)?shù)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)和正數(shù)和負(fù)數(shù)的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)，有理數(shù)的概念．【變式3-1】在?2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：在?2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理數(shù)有?2，3.14，227，有3個(gè)，π，0.101001000故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的定義，熟練掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】下列各數(shù)：0，?5.11，3.151151115，227，7π中，有理數(shù)有【答案】4【分析】本題考查有理數(shù)的概念，根據(jù)有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：所給的數(shù)中，0，?5.11，3.151151115，227故答案為：4．【變式3-3】在“?1，?0.3，+116，0，?2.7”這五個(gè)數(shù)中，負(fù)有理數(shù)是【答案】?1，?0.3，?2.7【分析】本題考查負(fù)有理數(shù)的知識點(diǎn)，負(fù)有理數(shù)是指小于零的有理數(shù)，包括負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，根據(jù)負(fù)有理數(shù)的概念逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：負(fù)有理數(shù)是?1，?0.3，?2.7．故答案為：?1，?0.3，?2.7．【考點(diǎn)題型四】有理數(shù)的分類

【典例4】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號里：5，14，?3，?312，0，2010，?35，6.2正數(shù)：{

?}；負(fù)數(shù)：{

?}；非負(fù)整數(shù)：{

?}；整數(shù)：{

?}；分?jǐn)?shù)：{

?}；負(fù)分?jǐn)?shù)：{

?}．【答案】5，14，2010，6.2；?3，?312，?35，?1；5，0，2010；5，?3，0，2010，?35，?1；14，?31【分析】本題考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)、非負(fù)整數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，根據(jù)定義直接求解即可，解題的關(guān)鍵是正確理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、非負(fù)整數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的定義．【詳解】正數(shù)：{5，14，2010，6.2?負(fù)數(shù)：{?3，?312，?35，?1非負(fù)整數(shù)：{5，0，2010?}；整數(shù)：{5，?3，0，2010，?35，?1?}；分?jǐn)?shù)：{14，?312，6.2負(fù)分?jǐn)?shù)：{?312故答案為：5，14，2010，6.2；?3，?312，?35，?1；5，0，2010；5，?3，0，2010，?35，?1；14，?31【變式4-1】請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里．1，0.0708，?700，?3.88，0，3.14，?723，正有理數(shù)集合：{

…}，負(fù)整數(shù)集合：{

…}，正分?jǐn)?shù)集合：{

…}，非負(fù)整數(shù)集合：{

…}．【答案】見解析．【分析】本題考查了有理數(shù)的知識，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．根據(jù)有理數(shù)的分類填寫即可．【詳解】解：正有理數(shù)集合：{1，0.0708，3.14，0.23，負(fù)整數(shù)集合：{?700，…}，正分?jǐn)?shù)集合：{0.0708，3.14，0.23，非負(fù)整數(shù)集合：{1，0，…}．故答案為：1，0.0708，3.14，0.23；?700；0.0708，3.14，【變式4-2】將有理數(shù)?2.5,0,21整數(shù)：{

…}；負(fù)數(shù)：{

…}；正分?jǐn)?shù)：{

…}【答案】0，2023；?2.5，?35%；212【分析】本題考查了有理數(shù)的概念及分類，根據(jù)有理數(shù)的概念分類即可．【詳解】解：整數(shù)：0，2023；負(fù)數(shù)：?2.5，?35%正分?jǐn)?shù)：212，故答案為：0，2023；?2.5，?35%；212

【考點(diǎn)題型五】有理數(shù)的大小比較【典例5】a，b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a,b,?a,?b用“<”連接，正確的是（A．?b<?a<a<b B．?b<a<?a<bC．a(chǎn)<b<?a<?b D．a(chǎn)<?b<?a<b【答案】B【分析】本題考查利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，先由數(shù)軸得到?1<a<0<1<b，再在數(shù)軸上準(zhǔn)確找到?a，【詳解】解：由圖可知，?1<a<0<1<b，∴?b<?1，?a<1，∴?b<?1<a<0<?a<1<b，即?b<a<?a<b，故選：B．【變式5-1】在0、1、?12、?2四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（A．?2 B．?12 C．0【答案】A【分析】本題主要考查了尋找一組數(shù)據(jù)中最小的數(shù)．熟練掌握比較數(shù)的大小是解決問題的關(guān)鍵．把0、1、?12、?2四個(gè)數(shù)用“【詳解】把0、1、?12、?2四個(gè)數(shù)用“<”連接起來：∴最小的數(shù)是：?2．故選：A．【變式5-2】在??5，?0.8，0，|?6|A．??5 B．?0.8 C．0 D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小，正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)其絕對值大的反而小，負(fù)數(shù)都小于0是解題關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)其絕對值大的反而小，可得答案．【詳解】解：??5故最小的數(shù)是?5．故選：B【變式5-3】比較大?。?2?(?6)；?123?65（填“>”“【答案】<<【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較、化簡多重符號、求絕對值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)都大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)進(jìn)行比較，絕對值大的反而小，比較即可得出答案．【詳解】解：∵?(?6)=6，∴?2<?(?6)，∵?123=?5∴?12故答案為：<，<．

【考點(diǎn)題型六】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離

【典例6】M點(diǎn)在數(shù)軸上表示?4，N點(diǎn)離M的距離是3，那么N點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A．?1 B．?7 C．?1或?7 D．?1或1【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，注意數(shù)軸上到一個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，要考慮全面．?dāng)?shù)軸上與?4距離為3的點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)在?4左，一個(gè)在?4右，可得N點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】解：?4+3=?1，?4?3=?7，故選：C．【變式6-1】數(shù)軸上與原點(diǎn)距離是2的點(diǎn)有兩個(gè)，它們表示的數(shù)是（

）A．?2和0 B．2和0C．?2和2 D．?1和1【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上與原點(diǎn)距離的定義即可，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的表示及幾何意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：數(shù)軸上與原點(diǎn)距離是2的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為?2和2，故選：C．【變式6-2】數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為?3，與點(diǎn)P距離為4個(gè)單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】?7或1【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，設(shè)該點(diǎn)表示的數(shù)為x，根據(jù)題意得?3?x=4【詳解】解：設(shè)該點(diǎn)表示的數(shù)為x，根據(jù)題意得：?3?x=4∴?3?x=4或?3?x=?4，解得：x=?7或x=1，故答案為：?7或1．【變式6-3】數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是5，其中一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為3，則另一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】8或?2/?2或8【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離且結(jié)合題意進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)另一個(gè)點(diǎn)在3的右邊時(shí)，此時(shí)另一點(diǎn)表示的數(shù)為3+5=8；當(dāng)另一個(gè)點(diǎn)在3的左邊時(shí)，此時(shí)另一點(diǎn)表示的數(shù)為3?5=?2．故答案為：8或?2．【考點(diǎn)題型七】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

【典例7】已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的數(shù)分別為?1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是．(2)數(shù)軸的原點(diǎn)右側(cè)有點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離之和為8．請你求出x的值．(3)現(xiàn)在點(diǎn)A，點(diǎn)B分別以每秒2個(gè)單位長度和每秒0.5個(gè)單位長度的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P以每秒6個(gè)單位長度的速度從表示數(shù)1的點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為3個(gè)單位長度時(shí)，直接寫出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)1(2)x的值是5(3)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是?3或?27【分析】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)及兩點(diǎn)間距離，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)與運(yùn)動(dòng)前表示的數(shù)的關(guān)系．（1）根據(jù)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)列方程即可解得答案；（2）分兩種情況，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，由PA+PB=x??1+3?x=4≠8，知這種情況不存在；當(dāng)P（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，表示出運(yùn)動(dòng)后A表示的數(shù)是?1+2t，B表示的數(shù)是3+0.5t，P表示的數(shù)是1?6t，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為3個(gè)單位長度得：?1+2t?3+0.5t=3【詳解】（1）解：∵A，B對應(yīng)的數(shù)分別為?1，3，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴3?x=x??1解得x=1，∴點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是1；（2）解：當(dāng)P在線段AB上時(shí)，PA+PB=x?∴這種情況不存在；當(dāng)P在B右側(cè)時(shí)，x??1解得x=5，答：x的值是5；（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，則運(yùn)動(dòng)后A表示的數(shù)是?1+2t，B表示的數(shù)是3+0.5t，P表示的數(shù)是1?6t，根據(jù)題意得：?1+2t?解得t=23或當(dāng)t=23時(shí)，P表示的數(shù)是當(dāng)t=143時(shí)，P表示的數(shù)是答：點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是?3或?27．【變式7-1】如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，其中a是最大的負(fù)整數(shù)，b、c滿足b?92+c?12

(1)a=____________；b=_____________；線段BC=____________；(2)若點(diǎn)A以每秒3個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)C以每秒5個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C兩點(diǎn)之間的距離為11個(gè)單位長度時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)若線段AB和CD同時(shí)開始向右運(yùn)動(dòng)，且線段AB的速度小于線段CD的速度．在點(diǎn)A和點(diǎn)C之間有一點(diǎn)M，始終滿足AM=CM，在點(diǎn)B和點(diǎn)D之間有一點(diǎn)N，始終滿足BN=DN，此時(shí)線段MN為定值嗎?若是，請求出這個(gè)定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)a=?1，b=9，BC=3(2)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒或1秒(3)MN=【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題，（1）根據(jù)題意和平方絕對值的非負(fù)性可求出a，b，c，用點(diǎn)B表示的數(shù)減去點(diǎn)A表示的數(shù)，即可求解；（2）運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)A表示的數(shù)為?1?3t，點(diǎn)B表示的數(shù)為12?5t，根據(jù)A、C兩點(diǎn)之間的距離為11個(gè)單位長度列式求解即可；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段AB的速度為a，線段CD的速度為b(a<b)，根據(jù)題意表示出MN即可求解【詳解】（1）解：∵a是最大的負(fù)整數(shù)，∴a=?1；∵b?92∴b?9=0,c?12=0，解得b=9,c=12，∴BC=12?9=3；故答案為：?1，9，3；（2）解：由題意得：運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)A表示的數(shù)為?1?3t，點(diǎn)B表示的數(shù)為12?5t，∵A、C兩點(diǎn)之間的距離為11個(gè)單位長度，∴|?1?3t?12?5t∴?13+2t=11或?13+2t=?11，解得：t=12或t=1，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒或1秒；（3）解：線段MN為定值；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段AB的速度為a，線段CD的速度為b(a<b)，由（1）得：c=12，BC=3，∵BC=CD，∴d=15，則點(diǎn)A：?1+at，點(diǎn)B：9+at，點(diǎn)C：12+bt，點(diǎn)D：15+bt，∵點(diǎn)A和點(diǎn)C之間有一點(diǎn)M，始終滿足AM=CM，在點(diǎn)B和點(diǎn)D之間有一點(diǎn)N，始終滿足BN=DN，∴M:?1+at+12+bt2=∴MN=12+a+b【變式7-2】如圖，點(diǎn)A對應(yīng)的有理數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的有理數(shù)為b，點(diǎn)C對應(yīng)的有理數(shù)為c，且c=?2，點(diǎn)C向左移動(dòng)3個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)A，向右移動(dòng)5個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B．

(1)a=，b=；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以3個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以6個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)C開始以4個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，則7QM?2PM的值是否隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】(1)?5，3(2)0(3)不改變，值是29【分析】（1）根據(jù)題意求解即可；（2）由題意可求得折疊點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，再求點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)即可；（3）分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)后的數(shù)，再結(jié)合7QM?2PM進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵c=?2，點(diǎn)C向左移動(dòng)3個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)A，向右移動(dòng)5個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為：a=?2?3=?5，點(diǎn)B表示的數(shù)為：b=?2+5=3，故答案為：?5，3；（2）解：∵將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴折疊點(diǎn)對應(yīng)的有理數(shù)為：?5+32∴點(diǎn)C到折疊點(diǎn)的距離為：?1??2∴與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)為：?1+1=0；（3）解：7QM?2PM的值不會(huì)隨著t的變化而變化，理由如下：∵點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以3個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以6個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)C開始以4個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)P表示的數(shù)為：?5?3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為：3+6t，點(diǎn)M表示的數(shù)為：?2+4t，∴PM=?2+4t??5?3t=7t+3∴7QM?2PM=72t+5∴7QM?2PM的值不會(huì)隨著t的變化而變化，該值是29．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，讀懂題意，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】倒數(shù)的概念和相反數(shù)的概念

【典例8】?2的相反數(shù)是（

）A．?12 B．12 C．【答案】D【分析】本題考查相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)求解即可．【詳解】解：?2的相反數(shù)是2，故選：D．【變式8-1】2024的倒數(shù)是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．【答案】C【分析】本題考查了倒數(shù)，乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解∶2024的倒數(shù)是12024故選∶C．【變式8-2】?57的相反數(shù)是，倒數(shù)是【答案】57【分析】本題主要考查了相反數(shù)和倒數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的定義“只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”，倒數(shù)定義“乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，進(jìn)行求解即可．熟練掌握相反數(shù)和倒數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?57的相反數(shù)是57；?故答案為：57；?【考點(diǎn)題型九】相反數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用

【典例9】設(shè)a與b互為相反數(shù)，則?13【答案】0【分析】本題考查了相反數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意可得a+b=0，代入即可求解．【詳解】解：∵a與b互為相反數(shù)∴a+b=0，∴?13(a+b)=故答案為：0．【變式9-1】若a、b互為相反數(shù)，c是最小的非負(fù)數(shù)，d是最小的正整數(shù)，(a+b)d+d?c=．【答案】1【分析】根據(jù)題意求得a與b的關(guān)系，c，d的值，代入代數(shù)式求值．【詳解】∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，∵c是最小的非負(fù)數(shù)，∴c=0，∵d是最小的正整數(shù)，∴d=1．∴(a+b)d+d?c=0+1?0=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查互為相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】已知a+4與2互為相反數(shù)，那么a=．【答案】?6【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵a+4與2互為相反數(shù)，∴a+4+2=0，∴a=?6，故答案為：?6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟知互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為零是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】若m、n互為相反數(shù)，則|m?5+n|=．【答案】5【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，可得?5的絕對值，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：m、n互為相反數(shù)，|m?5+n|=|?5|=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，先算m+n的值，再算絕對值．【考點(diǎn)題型十】絕對值定義、絕對值的性質(zhì)

【典例10】若a，b互為相反數(shù)，m的絕對值為1，則m2022+a+b的值是（A．?1 B．0或?2 C．0或?1 D．1【答案】D【分析】此題重在考查、相反數(shù)、絕對值的意義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識點(diǎn)．正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵；根據(jù)a，b互為相反數(shù)，可得a+b=0，m的絕對值為1，求出m的值，代入計(jì)算即可求解；【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)∴a+b=0∵m的絕對值為1m=±1∴m故選：D【變式10-1】?2024的絕對值是（）A．?12024 B．12024 C．2024【答案】C【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：?2024的絕對值是，?2024=2024故選：C．【變式10-2】?2的絕對值是（

）A．?2 B．?12 C．2 【答案】C【分析】本題考查的是求一個(gè)數(shù)的絕對值，熟知負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?2的絕對值是?2=2故選：C．【變式10-3】若m=6，則m的值是（

A．?6 B．6 C．16 D．?6【答案】D【分析】本題主要考查了絕對值的定義，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵m=6∴m=±6，故選：D．【變式10-3】若x=7，則x=【答案】±7【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，根據(jù)若x=aa>0，則【詳解】解：∵x=7∴x=±7，故答案：±7．

【考點(diǎn)題型十一】化簡絕對值

【典例11】已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡a+1?b?a的結(jié)果為（

A．2a?b+1 B．?b+1 C．?b?1 D．?2a?b?1【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的表示特征，絕對值的性質(zhì)．根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的表示可知，左邊的數(shù)都小于右邊的數(shù)，判斷出a+1<0，【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的表示可知，a<?1<0<b<1，∴a+1<0，∴原式=?a?1?b+a=?1?b，故選：C．【變式11-1】若ab≠0，那么aaA．?2 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本題考查了絕對值的意義，由ab≠0，可得：①a>0，b>0，②a<0，b<0，③a>0，b<0，④a<0，b>0；分別計(jì)算即可，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵ab≠0，∴有四種情況：①a>0，b>0，②a<0，b<0，③a>0，b<0，④a<0，b>0；①當(dāng)a>0，b>0時(shí)，aa②當(dāng)a<0，b<0時(shí)，aa③當(dāng)a>0，b<0時(shí)，aa④當(dāng)a<0，b>0時(shí)，aa綜上所述，aa+b故選：C．【變式11-2】有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列各式子正確的是（

）A．m?n=m?nB．m?n=n?m C．n?m=n+m【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸的知識，先觀察數(shù)軸得出m<n<0，再根據(jù)絕對值的意義、有理數(shù)的大小比較法則，對四個(gè)答案依次分析即可．【詳解】由圖可知：m<n<0，∴n?m>0,m?n<0則m?n故選：B．【變式11-3】已知x為有理數(shù)，則x+5+x?3的最小值是【答案】8【分析】本題考查絕對值的幾何意義求含絕對值的代數(shù)式的最值，理解絕對值的幾何意義，分類討論求解即可得到答案，熟記絕對值的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：x表示的點(diǎn)為數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由絕對值的幾何意義可知，x+5+x?3指x表示的點(diǎn)與?5表示的點(diǎn)的距離+x表示的點(diǎn)與當(dāng)x≤?5時(shí)，如圖所示：x+5+x?3=?5?x當(dāng)?5<x<3時(shí)，如圖所示：x+5+x?3=x+5當(dāng)x≥3時(shí)，如圖所示：x+5+x?3=x+5綜上所述，x+5+x?3的最小值是為故答案為：8．

【考點(diǎn)題型十二】非負(fù)性的性質(zhì)

【典例12】如果a+1+(b?2)2=0，則A．1 B．3 C．?1 D．?3【答案】A【分析】本題考查了絕對值及平方非負(fù)性的應(yīng)用，由題意得a+1=0,【詳解】解：∵a+1≥0,(b?2)2∴a+1∴a=?1,b=2∴a+b=1故選：A【變式12-1】已知|3a?9|+4+b2=0，則a+b=【答案】?1【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)加數(shù)都為零．根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性可知3a?9=0，4+b=0，求出a、b的值代入即可得出答案．【詳解】解：∵|3a?9|+∴3a?9=0，4+b=0∴a=3，b=?4∴a+b=3+(?4)=?1故答案為：?1．【變式12-2】已知a?3+(4?b)2=0【答案】7【分析】本題考查非負(fù)性，代數(shù)式求值，根據(jù)非負(fù)性，求出a,b的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．【詳解】解：∵a?3+∴a?3=0,4?b=0，∴a=3,b=4，∴a+b=7；故答案為：7．【變式12-3】已知a+22與b?3互為相反數(shù)，則a?b=【答案】?5【分析】此題考查了平方和絕對值的非負(fù)性、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)式的值等知識，根據(jù)a+22與b?3互為相反數(shù)得到a+22+【詳解】解：∵a+22與b?3∴a+22又∵a+22≥0∴a+2=0,b?3=0∴a=?2,b=3∴a?b=?2?3=?5，故答案為：?5【考點(diǎn)題型十三】有理數(shù)的加減運(yùn)算【典例13】計(jì)算：(1)?4+(2)13【答案】(1)?18(2)2【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）先去括號，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先去括號，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：?4=?4?6?13+5=?18；（2）解：1===2

【變式13-1】將?3?(+6)?(?5)+(?2)寫成省略加號的和的形式是（

）A．?3+6?5?2 B．?3?6+5?2C．?3?6?5?2 D．?3?6+5+2【答案】B【分析】本題主要考查了去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項(xiàng)都不改變正負(fù)號；括號前面是“?”號，把括號和它前面的“?”號去掉，括號里各項(xiàng)都改變正負(fù)號．根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，變?yōu)檫B加，加號和括號省略，即可．【詳解】解：?3?(+6)?(?5)+(?2)=?3?6+5?2，故選：B．【變式13-2】已知x=3，y=2，且x<y，則x+y的值為【答案】?1或?5【分析】本題考查了絕對值的定義．由絕對值的定義，求出x=±3，由y=±2，且x<y，求得x=?3，y=2或x=?3，y=?2，即可求出x+y的值．【詳解】解：∵x=3，∴x=±3，y=±2，∵x<y，∴x=?3，y=2或x=?3，y=?2，當(dāng)x=?3，y=2時(shí)，x+y=?3+2=?1；當(dāng)x=?3，y=?2時(shí)，x+y=?3?2=?5；故答案為：?1或?5．【變式13-3】(?8)+10+2+(?1)【答案】3【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．先將原式進(jìn)行交換結(jié)合，再利用加法運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式=?8?1【考點(diǎn)題型十四】有理數(shù)乘除法運(yùn)算

【典例14】計(jì)算下列各題：(1)?24×(2)?81÷2【答案】(1)0(2)1【分析】（1）根據(jù)分配率進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解．【詳解】（1）解：?24===0（2）解：?81==1．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，注意在進(jìn)行有理數(shù)的四則混合運(yùn)算時(shí)，能用運(yùn)算律的可以用運(yùn)算律簡化運(yùn)算．【變式14-1】計(jì)算：?1.5×【答案】3【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的乘除法“先將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算并確定符號，再按順序計(jì)算”可以解答本題．【詳解】解：?1.5==3【變式14-2】計(jì)算：(1)?1255(2)?7【答案】(1)25(2)?【分析】（1）把除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法分配律簡便運(yùn)算；（2）先算括號內(nèi)，再算乘除，最后計(jì)算加法【詳解】（1）?125==125×=25+=251（2）原式=?=?=?=?=?1【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵，注意利用運(yùn)算律簡便運(yùn)算．【考點(diǎn)題型十五】有理數(shù)的乘方

【典例15】下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（

）A．23和32 B．(?2)2和?22 C．2和|?2|【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算和絕對值，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：A、23=8，B、(?2)2=4，C、2=|?2|，故C選項(xiàng)數(shù)值相等，符合題意；D、232=故選：C．【變式15-1】在??3，?32，??3，?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】考查了有理數(shù)的乘方、絕對值、相反數(shù)等知識，判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，要把它化簡成最簡形式再判斷．先把各式化簡，然后根據(jù)負(fù)數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：??3=3，?32=9，∴負(fù)數(shù)有??3=?3，故選：B．【變式15-2】下面對有理數(shù)的大小關(guān)系判斷錯(cuò)誤的是（

）A．35<23 B．+?5<?【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的比較大小，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的比較大小的法則．根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對值大的反而小進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、∵35=9又∵915∴35B、∵+?5=?5，∴+?5C、∵?56=又∵56∴?5D、∵?22=?4∴?2故選：C．【考點(diǎn)題型十六】有理數(shù)混合運(yùn)算

【典例16】計(jì)算：(1)?23×25?6×25+18×25+25(2)?1【答案】(1)?250(2)22【分析】（1）根據(jù)逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：原式=25×(?23?6+18+1)=25×(?10)=?250；（2）解：原式==4+18=22．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則以及運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【變式16-1】計(jì)算：(1)26?27×(2)?【答案】(1)?6(2)23【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）先按照分配律計(jì)算乘法運(yùn)算，再計(jì)算括號內(nèi)的加減運(yùn)算，最后合并即可；（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：26?27×=26?=26?=26?32=?6；（2）解：?=?49+2×9+6÷=?49+18+6×9=?49+18+54=23．【變式16-2】計(jì)算：(1)?9(2)?【答案】(1)?3；(2)0．【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對值的意義，有理數(shù)的乘方等知識，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算絕對值，有理數(shù)的乘方，再根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先算絕對值，有理數(shù)的乘方，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】（1）解：原式=9÷3+=3+6?8?4=?3；（2）解：原式=?1?=?1+2?1=0．【變式16-3】計(jì)算：(1)16÷(2)?12+3×【答案】(1)?3(2)0【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，然后計(jì)算加減，即可求解；（2）先計(jì)算有理數(shù)的乘方和括號內(nèi)的，再計(jì)算乘法，然后計(jì)算加減，即可求解．【詳解】（1）解：16÷=16÷=?2?2+1=?3；（2）解：?12+3×=?1+32=?1+==0．【變式16-4】計(jì)算：(1)?13??22(2)16(3)?2(4)?1【答案】(1)?19(2)?1(3)1(4)2【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，有理數(shù)的加減計(jì)算，有理數(shù)乘法分配律：（1）根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則求解即可；（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算括號內(nèi)的減法，最后計(jì)算乘方即可；（3）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法即可；（4）先利用乘法分配律去括號，然后計(jì)算加減法即可．【詳解】（1）解：?13?=?13+22?28=?19；（2）解：1===?1；（3）解：?=?4?9×=?4?1+4×=?4?1+6=1；（4）解：?=?=?4+14?9?=2【考點(diǎn)題型十七】算“24”點(diǎn)

【典例17】根據(jù)“二十四點(diǎn)”游戲的規(guī)則，用僅含有加、減、乘、除及括號的運(yùn)算式（每個(gè)數(shù)字只能用一次），使12，?12，3，?1的運(yùn)算結(jié)果等于24：（只要寫出一個(gè)算式即可）【答案】3×【分析】根據(jù)“二十四點(diǎn)”游戲的規(guī)則列算式，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：3×?12故答案為：3×?12【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式17-1】“24點(diǎn)的規(guī)則是四個(gè)數(shù)用且只用一次進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，使結(jié)果等24”．現(xiàn)在有四個(gè)有理數(shù)7，?2，3，?4，運(yùn)用上述規(guī)則列出算式=24．【答案】?2+3?7【分析】由“24點(diǎn)”游戲規(guī)則，根據(jù)7，?2，3，?4，列出算式?2+3?7×?4，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算，其結(jié)果為【詳解】解：∵?2+3?7∴按上述規(guī)則寫出的算式為：?2+3?7×故答案為：?2+3?7×【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊，同級運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各種運(yùn)算法則計(jì)算．【變式17-2】有一種“24點(diǎn)”游戲的規(guī)則：用4個(gè)整數(shù)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算（可用括號和乘方）列出一個(gè)計(jì)算結(jié)果為24的算式，現(xiàn)有數(shù)2，﹣3，4，5，請列出“24點(diǎn)”的算式：（寫出一個(gè)算式即可）．【答案】-2×（-3-4-5）=24【分析】寫一個(gè)算式，可以用加減乘除，乘方，括號，使最后結(jié)果為24．【詳解】解：-2×（-3-4-5）=-2×[（-3）+（-4）+（-5）]=-2×（-12）=24．故答案為：-2×（-3-4-5）=24．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，考核學(xué)生的計(jì)算能力，注意運(yùn)算順序．【變式17-3】小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，并使得運(yùn)算結(jié)果等于24．(1)小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式；(2)請你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式．【答案】(1)5?3×2×6=24(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意將其進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算得到24即可；（2）假設(shè)一組數(shù)字，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意得：5?3×2×6=24（2）由題意得，假設(shè)抽取的卡牌上的數(shù)字為：2、3、4、6，則2×6+3×4=24．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十八】科學(xué)計(jì)數(shù)法

【典例18】2024年國慶檔全國電影票房為21.04億元，觀影人次為5209萬，國產(chǎn)影片票房為20.17億元，占比為95.87%，其中數(shù)據(jù)20.17億用科學(xué)記數(shù)法表示是（

A．20.17×108 B．2.017×109 C．【答案】B【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，【詳解】解：20.17億即2017000000，2017000000=2.017×10故選：B．【變式18-1】我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．【答案】A【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定【詳解】解：21500000=2.15×10故選：A．【變式18-2】2021年12月3日中老鐵路全線開通運(yùn)營，全長1035000米，將1035000米用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A．10.35×105米 B．C．0.1035×107米 D．【答案】B【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，【詳解】解：將1035000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為1.035×10故選：B．【變式18-3】2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，在中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時(shí)刻，我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個(gè)貧困縣全部摘帽，128000個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，數(shù)據(jù)128000用科學(xué)記數(shù)法表為．【答案】1.28×【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值【詳解】解：128000=1.28×10故答案為：1.28×【考點(diǎn)題型十九】近似數(shù)的表示【典例19】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.5（精確到十分位） D．0.0502（精確到0.0001）【答案】C【分析】本題考查四舍五入的近似法則，根據(jù)四舍五入近似的法則判斷：對于精確到的數(shù)位的后一位四舍五入，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】A.0.05019精確到0.1約為0.1，說法正確，不符合題意；B.0.05019精確到百分位約為0.05，說法正確，不符合題意；C.0.05019精確到十分位約為0.1，原說法錯(cuò)誤，符合題意；D.0.05019精確到0.0001約為0.0502，說法正確，不符合題意；故選：C．【變式19-1】用四舍五入法得到的近似數(shù)2.003萬，精確到（

）A．千分位 B．萬位 C．十位 D．百位【答案】C【分析】本題考查近似數(shù)的精確度求解；熟練掌握近似數(shù)的精確度是解題的關(guān)鍵；根據(jù)近似數(shù)精確度求解即可；【詳解】解：2.003萬=20030即精確到了十位；故選：C【變式19-2】有理數(shù)5.555精確到百分位的近似數(shù)為．【答案】5.56【分析】本題考查近似數(shù)：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)數(shù)的精確度在哪一位，把近似數(shù)精確度百分位，即按照四舍五入的方法把千分位上的數(shù)處理即可得到答案．掌握“利用四舍五入的方法確定近似數(shù)”是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：有理數(shù)5.555精確到百分位的近似數(shù)為5.56．故答案為：5.56．【變式19-3】對于近似數(shù)8.10×10?3，它有【答案】3【分析】本題考查的是有效數(shù)字的含義，根據(jù)有效數(shù)字的定義可以得到題目中的數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，從而可以解答本題．【詳解】解：近似數(shù)8.10×10故答案為：3．【考點(diǎn)題型二十】有理數(shù)實(shí)際應(yīng)用

【典例20】某快遞公司小哥騎三輪摩托車從公司A出發(fā)，在一條東西走向的大街上來回投遞包裹，現(xiàn)在他一天中七次連續(xù)行駛的記錄如下表（我們約定向東為正，向西為負(fù)，單位：千米）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次?3+7?9+10+4?5?2(1)快遞小哥最后一次投遞包裹結(jié)束時(shí)他在公司A的哪個(gè)方向上？距離公司A多少千米？(2)在第幾次記錄時(shí)快遞小哥距公司A地最遠(yuǎn)，計(jì)算說明理由．(3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，并且快遞小哥工作結(jié)束后要回公司A交回三輪摩托車，那么快遞小哥工作一天需要花汽油費(fèi)多少元？【答案】(1)快遞小哥最后一次投遞包裹結(jié)束時(shí)他在公司A的東邊，距離公司A有2千米(2)第五次距公司A地的距離最遠(yuǎn)(3)快遞小哥工作一天需要花汽油費(fèi)24.192元【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵：（1）求出所有數(shù)據(jù)的和，根據(jù)和的情況進(jìn)行說明即可；（2）求出每一次距離公司A地的距離，進(jìn)行判斷即可；（3）求出所有數(shù)據(jù)的絕對值的和再加上返回公司的路程，求出總路程，再乘以每千米的油耗，再乘以單價(jià)，即可．【詳解】（1）解：?3+7?9+10+4?5?2=2（千米）答：快遞小哥最后一次投遞包裹結(jié)束時(shí)他在公司A的東邊，距離公司A有2千米；（2）第一次距公司A地的距離：?3=3第二次：?3+7=4第三次：?3+7?9=5第四次：?3+7?9+10=5第五次：?3+7?9+10+4=9第六次：?3+7?9+10+4?5=4第七次距公司A地的距離：∣?3+7?9+10+4?5?2∣=2（千米）；∴第五次距公司A地的距離最遠(yuǎn)；（3）?3+0.08×42=3.36（升），7.2×3.36=24.192（元），答：快遞小哥工作一天需要花汽油費(fèi)24.192元．【變式20-1】科技改變生活，當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)銷售日益盛行，許多農(nóng)商采用網(wǎng)上銷售的方式進(jìn)行營銷，實(shí)現(xiàn)脫貧致富．小明把自家種的